Использование некоторых свойств функции

при решении трансцендентных уравнений и неравенств.

Методическая разработка

Ковалевой И.И.,

учителя математики

МОУ СШ № 96 г. Волгограда

Введение

Решение задач - это сердцевина, смысл и внутренняя пружина математики. Сна-

чала появляется задача, и лишь затем мы ищем и строим теорию для ее решения. И так,

современная математика часто пользуется схемой: построение модулей – исследование

модулей (создание теорий) – интерпретация. Изучать математику интереснее, на наш

взгляд, с помощью именно такой схемы приходя самостоятельно к необходимым теоре-

тическим выводам и обобщениям, совершая попытки систематизирования и классифи-

цирования условий или совершая поиск нужных сведений в различных публикациях.

Знакомство с различными публикациями по математике помогло мне отобрать

огромное количество сложносоставленных задач, внешний вид которых отпугивал, при-

менение известных из школьных учебников методов решения не давал результатов.

Применение же основных свойств функций позволяло решать такие задачи, ко-

торые решать обычными методами весьма затруднительно, если вообще возможно.

Вышесказанное позволяет говорить о том, что необходимо было обобщить мето-

ды решения уравнений и неравенств с использованием основных свойств функций и их

графиков, найти наиболее удобные из них, выделив наиболее типичные, и описать спо-

собы их решения. В методической литературе был найден так называемый метод деком-

позиции Моденова или метод замены множителей Голубева. Покажу их применение на

примере проведения уроков обобщения и систематизации « Решение логарифмических

уравнений и неравенств».

Без уроков обобщения и систематизации знаний нельзя считать завершенным процесс

усвоения учащимися учебного материала.

Структурные элементы такого урока;

-постановка целей и мотивация учебной деятельности;

-воспроизведение и коррекция опорных знаний;

-применение знаний для объяснения новых фактов;

-выполнение практических заданий с использованием нового;

-усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации;

-подведение итогов, рефлексия.

Цель урока: создание условий для обобщения и систематизации знаний учащимися,

творческого применения знаний по теме.

Задачи:

Образовательные задачи урока:

- повторить определение и свойства логарифма, логарифмической функции;

- повторить основные способы решения логарифмических уравнений и неравенств;

- исследовать применение уже полученных знаний при решении заданий из ЕГЭ;

- помочь учащимся выйти на новый, более качественный виток знаний по данной теме;

Развивающие цели урока:

- развивать творческую сторону мыслительной деятельности учащихся;

- создать условия для проявления познавательной активности учащихся;

- развивать коммуникативную и информационную компетенцию учащихся.

Воспитательные задачи урока:

- воспитывать культуру умственного труда;

- воспитывать умение принимать решения.

Формы работы учащихся:

Фронтальная, индивидуальная

Необходимое техническое оборудование:

Компьютер

Мультимедийный проектор

Экран

Предлагаю некоторые советы и рекомендации по проведению таких уроков.

1.История создания и развития логарифмов очень интересна. Их открытию способство-

вало бурное развитие в 16 веке торговли, мореплавания. Необходимы были точные аст-

рономические таблицы, чтобы определять положение кораблей по Солнцу и звездам. Ло-

гарифмы позволили свести операции умножения и деления к сложению и вычитанию.

Первые таблицы были составлены Джоном Непером и астрономом Бюрги. Развитие

вычислительной техники позволило отказаться от таблиц и линеек. Логарифмы исполь-

зуются при расчете скорости химических реакций, скорости радиоактивного распада ве-

щества, рассчитывается коэффициент звукоизоляции твердого вещества, в психологии

подсчитывается сила ощущения через логарифм от величины действующего раздражи-

теля.

2. Актуализация знаний.

Повторение основных теоретических положений.

3.Устная работа с проверкой (по возрастанию уровня сложности)

4. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств:

- потенцирование;

-введение новой переменной;

-функционально-графический;

-нестандартные методы.

Остановимся на последних.

Использование свойств функции при решении нестандартных задач по алгебре

1. Использование области существования функции при решении задач

В изученной литературе я обнаружила много уравнений и неравенств, которые

можно (и нужно) решать с использованием свойств функций, входящих в это уравнение

или неравенство. Оказалось, что такой метод даёт возможность решить уравнение или

неравенство проще, быстрее, изящнее. Покажем это на примере использования области

существования функций.

И так, если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его ча-

сти определены на множестве М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет

необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения (неравенства), доста-

точно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения

(неравенства).

ПРИМЕР 1. Решим уравнение

2

4

2

2

3

lg(1

4)

3

1

x

x

x

x















(1)

Решение. Обе части уравнения (1) определены только для тех х, которые удовле-

творяют системе неравенств

2

2

4

0,

4

0.

x

x



















(2)

Все решения системы (2) состоят из двух чисел: х

1

= 2 и х

2

= -2. Поэтому, если

уравнение (1) имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка

показывает, что число х

1

удовлетворяет уравнению (1), а число х

2

ему не удовлетворяет.

Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень x

1

.

Ответ. 2.

ПРИМЕР 2. Решим неравенство

2

2

5

1

6

5

1 log

12

2

10

1

0

5

x

x

x

x

x

x









































(3)

Решение. Обе части неравенства (3) определены только для тех х, которые удовле-

творяют системе неравенств

2

2

0,

6

5

0,

12

2

10

0.

x

x

x

x

x

























(4)

Системе неравенств (4) удовлетворяют лишь два числа: х

1

= 1 и х

2

= 5. Поэтому ес-

ли неравенство (3) имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел.

Проверка показывает, что число х

1

не удовлетворяет неравенству (3), а число х

2

ему удо-

влетворяет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение х

2

.

Ответ. 5.

Если множество М, на котором определены обе части уравнения (неравенства),

окажется пустым множеством, то ответ в таком случае ясен - уравнение (неравенство) не

имеет решений.

ПРИМЕР 3. Решим неравенство





2

1

lg

2

x

x







(5)

Решение. Обе части неравенства (5) определены только для тех х, которые удовле-

творяют системе неравенств

2

1

0,

2

0.

x

x



















Эта система неравенств не имеет решений. Поэтому множество, на котором опреде-

лены обе части неравенства (5), - пустое множество. Следовательно, неравенство (5) не

имеет решений.

Ответ. Нет решений.

Иногда знание множества М, на котором определены обе части уравнения (нера-

венства), помогает его решать даже в случае, когда множество М - бесконечное множе-

ство чисел.

ПРИМЕР 4. Решим неравенство





cos

1

2

2

2

log

1

sin

1

x

x

x











(6)

Решение.

Обе

части

неравенства

(6)

определены

только

для

тех

х,

для

кото-

рых

cos

1

x



.

Учитывая, что

cos

1

x



для любого х, получаем, что обе части неравен-

ства (6) определены только для тех х, для которых

cos

1

x



, т. е. для х

к

=

2 k



,

k

Z



.

Проверим, какие из них удовлетворяют неравенству. Так как









cos

1

2

2

2

2

2

2

log

1

1

log

4

1 ,

k

x

k

x

k













а

sin

1

1

k

x



, то остается

выяснить, для каких k справедливо неравенство





2

2

2

log

4

1

0

k







(7)

Очевидно, что для k = 0 неравенство (7) не выполняется, а для k



0 выполняется.

Следовательно, все решения неравенства (6) составляют числа x

k

=

2 k



,

k

Z



, k



0.

Ответ.

2 k



, k



0.

Предлагаемый метод можно применить при решении следующих уравнений и нера-

венств:

1.

а)

2

16

2

5

3

lg 1

16

;

x

x

x

























б)

2

1

2

9

2

lg 1

1

;

x

x

x

























2.

а)

2

2

3

9

81

2 log

81

1

4;

x

x

x

x





































б)





2

2

2

3

16

1 log

7

16

3

0;

2

x

x

x

x







































3.

а)





sin

1

2

3

3

log

3

cos

2;

x

x

x











б)

cos

1

3

3

log

cos

1.

2

x

x

x











2. Ограниченность функций при решении уравнений, неравенств.

Напомним вспомогательные понятия ограниченности функции сверху и снизу, кото-

рыми часто будем пользоваться .

Пусть функция ƒ(x) определена на множестве D. Будем говорить, что она ограничена

на этом множестве числом M сверху, если для любого x из множества D

выполняется

неравенство

ƒ(x) ≤

M

.

Функция ƒ(x) ограничена на множество D числом М снизу, если для любого числа x

на множестве D выполняется неравенство ƒ(x) ≥ M.

Утверждение (1). Известно, что если ƒ(x) и g(x) – некоторые функции, определён-

ные на множестве D, ƒ(x) ограниченная на этом множестве числом A

сверху, а g(x) огра-

ничена на этом множестве тем же числом A, но снизу, тогда уравнение ƒ(x) = g(x) равно-

сильно системе









,

.

f

x

A

g x

A















ПРИМЕР 1. Решить уравнение

2

2

2

5

6

log

6

13

1

x

x

x

x













Решение. Отметим, что

2

5

6

0

x

x







на области определения, а для оценки ло-

гарифма проведём преобразование:





2

2

2

2

2

log

6

13

log

3

4

log

4

1

x

x

x















Таким образом, первое слагаемое ограничено снизу числом 0, а второе слагаемое

ограничено снизу числом 1. Левая часть исходного уравнения ограничена снизу числом

1 и при этом становится равной числу 1 только в том случае, когда первое слагаемое об-

ращается в 0, а второе слагаемое – в 1.Исходное уравнение равносильно следующей си-

стеме уравнений

2

2

2

2,

5

6

0,

3.

3;

log

6

13

1.

3;

x

x

x

x

x

x

x

x

















































Ответ. 3.

Утверждение (2). Также мы знаем, что если ƒ(x) и g(x) – некоторые функции,

определённые на множестве D. И ƒ(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (свер-

ху) числами A и B

соответственно, тогда уравнение ƒ(x) + g(x) = A + B

равносильно си-

стеме уравнений









,

.

f

x

A

g x

B















ПРИМЕР 2. Решить неравенство









2

2

2

4

3 log

cos

1

1

x

x

x











Решение. Рассмотрим по отдельности каждый из сомножителей левой части неравен-

ства. Прежде всего отметим, что





2

2

2

log

cos

1

log 1

0

x













2

2

2

log

cos

1

log 2

1

x









Таким образом, сомножитель





2

2

log

cos

1

x





ограничен снизу числом 0, а сверху

– числом 1. Отметим также, что





2

2

4

3

1

2

1.

x

x

x











Сомножитель

2

4

3

x

x





ограничен сверху числом 1. Ясно, что те значения x, при ко-

торых сомножитель

2

4

3

x

x





отрицателен, не являются решениями исходного нера-

венства, так как левая часть при таких значения x становится отрицательной как произ-

ведение сомножителей разных знаков. Поэтому мы будем рассматривать только те зна-

чения x, на которых сомножитель

2

4

3

x

x





неотрицателен. На множестве таких зна-

чений x вся левая часть исходного неравенства ограничена сверху числом 1 и становится

равной 1 только в том случае, когда оба её сомножителя превращаются в 1. Значит ис-

ходное неравенство равносильно системе уравнений





2

2

2

4

3

1,

log

cos

1

1.

x

x

x























Первое уравнение, как квадратное, имеет решение x = 2, оно удовлетворяет и второе

уравнение.

Ответ. 2.

3.Решение уравнение вида

(

(

))

(

(

))

f

x

f

x







Решение различных уравнений вида

(

(

))

(

(

))

f

x

f

x







будет основано на несколь-

ких утверждениях.

Утверждение (1). Пусть функция





f

u

строго монотонна (строго возрастает или строго

убывает)

на

R.

Тогда

уравнение

(

(

))

(

(

))

f

x

f

x







равносильно

уравнению









x

x







.

ПРИМЕР 2. Решим уравнение

3

3

3

3

2

1

3

1

1

2

2

x

x

x

x

































(2)

Решение. Так как функция





1

2

u

f

u















строго убывает на R, то на основании

утверждения 12 уравнение (2) равносильно уравнению

3

3

3

3

2

1

3

x

x

x

x











(2')

Так как функция





3

u

u





строго возрастает на R, то на основании утверждения

12 уравнение (2') равносильно уравнению

3

3

2

1

3

x

x

x

x









(2")

имеющему два корня х

1

= -2 и х

2

= 1. Уравнение (2), равносильное уравнению (2"), имеет

те же два корня. Ответ:-2;

Далее можно порекомендовать задания для самостоятельной домашней работы .

Слайд № 11,12.

4. Особенности решения логарифмических неравенств

с переменной в основании логарифма

Теорема 1. Если a>0, a≠1, b>0, c>0, то:

1)

Неравенство logₐb>logₐc равносильно неравенству (a-1)(b-c) > 0;

2)

Неравенство logₐb≥logₐc равносильно неравенству (a-1)(b-c) ≥ 0;

3)

Неравенство logₐb<logₐc равносильно неравенству (a-1)(b-c) < 0;

4)

Неравенство logₐb≤logₐc равносильно неравенству (a-1)(b-c) ≤ 0;

Для упрощения записей целесообразно ввести символ . Там, где стоит этот символ, должен

стоять один из знаков ≤, ≥, > либо <. Таким образом, теорема 1 может быть сформулирована

более коротко:

1)

При всех допустимых значениях a,b и c неравенство logₐb

logₐc

равносильно неравенству (a-1)(b-c) 0.

Пример 1. Решить неравенство:

Следствие 1. При всех допустимых значениях a, b и c неравенство logₐb - logₐc

0 равно-

сильно неравенству (a-1)(b-c)

0. Действительно, так как неравенству

logₐb - logₐc

0 равносильно неравенство logₐb logₐc, то по теореме 1 оно равносильно

неравенству (a-1)(b-c)

0.

Следствие 2. При всех допустимых значениях a и b неравенство logₐb

0 равносильно не-

равенству

(a-1)(b-1)

0. Действительно, так как 0= logₐ1( при a>0,a≠1), то по теореме 1 неравенство

logₐb

logₐ1 равносильно неравенству (a-1)(b-1)0.

Теорема 2.

При всех допустимых значениях a,b, x и c неравенство logₐb ∙ logₓc

0 равно-

сильно неравенству (a-1)(b-c) ∙ (x-1)(c-1)0.

ПРИМЕР 2. Решить неравенство

:

Теорема 3.

При всех допустимых значениях a,b и x неравенство logₐb - logₓb

0 равно-

сильно неравенству (a-1)(b-c) 0. Действительно, так как неравенству logₐb -

logₐc

0 равносильно неравенству (a-1)(b-1)(x-1)(x-a)0.

ПРИМЕР 3. Решить неравенство

Метод равносильных преобразований позволяет получить емкие и, в то же время ,

компактные решения уравнений и неравенств, не прибегая ни к ОДЗ, ни к выполнению

проверки. Изучение метода равносильных замен не требует от ученика заучивания основ-

ных типов равносильности, которых в учебнике и нет, но при этом у ученика развивается

системное мышление. Наличие материала о равносильных заменах при решении логариф-

мических уравнений и неравенств позволяет учителю активно работать с учащимися, про-

являющими склонность к проведению самостоятельных исследований.