«Развитие пространственного мышления на уроках

математики»

Шахмуратова Т.Б,

учитель математики МБОУ СОШ №1

с. Летняя Ставка, Туркменского района

Ставропольского края

Цель работы:

1.

Выявить

причины

недостаточного

развития

пространственного

мышления у учащихся.

2.

Обобщить методику погружения в трехмерное пространство с учетом

программного материала.

Задачи:

1.

Провести анализ изученности в литературе вопросов определения и

структуры понятия «пространственное мышление».

2.

На

основе

теоретического

анализа

математической,

научно-

методической и психолого-педагогической литературы по проблеме

исследования

дать

определение

понятию

«пространственное

мышление», выявить основные элементы в его структуре.

3.

Выделить критерии сформированности пространственного мышления

у учащихся.

4.

Выделить

группы

задач

для

формирования

и

развития

пространственного воображения и мышления.

5.

Отслеживание

результатов

учебно-воспитательной

деятельности

(мониторинг учебно-воспитательной деятельности).

Введение.

Запросы современного общества диктуют переход на новое качество

образования, поэтому в условиях реализации программы приоритетного

национального проекта «Образование» фигурирует понятие информационно-

коммуникационных технологий. Пространственные способности - один из

важных факторов общих умственных способностей. Фактор аналитического

изучения

обеспечивает

сильную

и

последовательную

опору

для

существования

как

минимум

двух

различных

пространственных

способностей:

пространственная

визуализация

и

пространственная

ориентация.

Mark Mc Gee определяет пространственную визуализацию, как

способность мысленно манипулировать, вращать, крутить или поворачивать

иллюстрировано представленные стимулы. Пространственная способность

может быть определена, как врожденная способность отчетливо представлять

себе пространственные объекты и умение преобразовывать их в своем

воображении. А также позволяет развить у учащихся навыки моделирования,

сравнения, обобщения, конкретизации.

Трудно переоценить значение пространственного мышления в жизни

каждого человека. Нет ни одной сферы деятельности, где бы умение

ориентироваться в пространстве не играло бы существенной роли. Умение

свободно оперировать пространственными образами рассматривается как

одно

из

важнейших

качеств

индивидуума,

часть

его

общего

интеллектуального развития. Это то фундаментальное умение, которое

объединяет

разные

виды

учебной

и

трудовой

деятельности.

Овладение

научными

знаниями,

успешная

работа

во

многих

видах

теоретической

и

практической

деятельности

неразрывно

связано

с

оперированием пространственными образами. Современные представления о

времени и пространстве существенно влияют на развитие пространственного

мышления школьников. Выделение из математических объектов именно

пространственных свойств и отношений и отвлечение от всех остальных

возможны только путем теоретической абстракции в ходе познавательной

деятельности.

Академик Александров А. Д. говорил о том, что задача геометрии –

развить у учащихся 3 качества: пространственное воображение, практическое

понимание

и

логическое

мышление.

Он

ставил

пространственное

воображение на первое место не только в изучении геометрии, но и в

большинстве видов человеческой деятельности. Важность ясного наглядного

пространственного представления и, на основе этого, точного понимания

изучаемых понятий нельзя переоценивать. В 7-9 классах на уроках алгебры

фигуры не рассматриваются вообще, а на уроках геометрии все внимание

сосредотачивается на двумерных объектах, и учащимся не представляется

возможности работать с пространственными объектами, развивая свое

воображение. А в 10 классе учителя на первых же уроках геометрии

сталкиваются с множеством проблем: оказывается учащиеся не умеют

“читать” изображения пространственных тел; не умеют их изображать; все

изображения на доске и в тетради не вызывают у учащихся ощущения

пространственности; учащиеся не могут мысленно изменять взаимное

расположение элементов, и т.д. Многие учащиеся, не успев адаптироваться к

пространственным формам, поступают в ВУЗ. В частности, В.А. Далингер в

своих работах приводит следующие данные: в 1982 г. на вступительных

экзаменах

в

Омский

пединститут

со

стереометрической

задачей

на

письменном экзамене справилось лишь 18,9% (!) абитуриентов. Проведенное

В.А. Далингером анкетирование учащихся средних классов показало, что

73,4% школьников предпочитают алгебру геометрии. По мнению В.А.

Далингера, это в значительной степени объясняется низким уровнем

пространственного мышления. Приведу пример 2009-2010 учебного года: в

пробных диагностических работах, проводимых по заданиям Министерства

образования, стереометрическую задачу С2 правильно выполнили 4-6%

учащихся, а задачу С4 (планиметрия) – 0,5% учащихся. Между тем

овладение

пространственным

мышлением

необходимо

не

только

в

практической жизнедеятельности, но и во многих областях науки. По словам

А.Н.

Колмогорова,

«геометрическое

воображение,

или,

как

говорят,

"геометрическая интуиция", играет большую роль при исследовательской

работе почти во всех разделах математики, даже самых отвлеченных».

Поэтому формирование и развитие пространственного мышления учащихся

является актуальной проблемой математического образования на общем

уровне. А значит, и одной из главных задач обучения в школе является

развитие пространственного мышления учащихся посредством активизации

их пространственного воображения.

1.Основные

показатели

и

условия

развития

пространственного

мышления

Установлена

связь

между

пространственным

мышлением,

пространственным представлением и пространственным

воображением,

заключающаяся в том, что пространственное воображение и представление

являются

базой

пространственного

мышления.

На

основе

работ

Е.Н.Кабановой-Меллер, И.Я.Каплуновича, А.М.Пышкало, И.С.Якиманской и

проведенного анализа установлена связь между данными понятиями,

представленная на рис. 1.

База пространственного мышления

Потребность в созд-

ни образа

Создание нужного образа

Рис. 1.

И.С. Якиманская выделяет такие показатели развития пространственных

представлений:



глубина;



широта пространственного мышления;



гибкость пространственного мышления;



устойчивость;



полнота;



динамичность;



целенаправленность.

Пространственное

мышление

Простр. Воображение

(представливание) –

«инструмент» для

преобразования образа

Простр. Представление

(представливание) –

«инструмент»,

позволяющий увидеть

образ предмета

Глубина

характеризуется

целостностью

восприятия,

то

есть

способностью видеть весь объект в целом.

Широта

пространственного

мышления

характеризуется

способностью к формированию обобщенных способов действий, имеющих

широкий диапазон переноса и применимым к частным нетипичным случаям.

Гибкость

пространственного

мышления

характеризуется

способностью к варьированию способов действия; легкостью перестройки

при изменении условий действия; легкостью перехода от одной точки

отсчета к другой.

Устойчивость пространственных представлений представляет степень

свободы манипулирования образом с учетом той наглядной основы, на

которой образ первоначально создавался.

- умение сопоставлять различные изображения образа геометрической

конфигурации (оперировать различной наглядностью);

- умение анализировать образ геометрической конфигурации;

- умение синтезировать образ геометрической конфигурации.

Полнота пространственных представлений характеризует структуру

пространственного образа, то есть набор элементов, связи между ними, их

динамическое соотношение.

- умение вычленять форму образа геометрического объекта;

- умение определять величину образа геометрического объекта;

-

умение

определять

взаимное

расположение

данного

образа

геометрического объекта относительно других образов;

- умение определять взаимное расположение отдельных элементов образа

геометрического объекта;

- умение осуществлять глазомерную оценку линейных и угловых величин;

- умение передавать в образе форму, размеры и взаимное расположение его

элементов.

Динамичность

пространственных представлений выражается в

способности к произвольной смене точек отсчета,

к произвольному

изменению положения пространственного объекта, его элементов.

-

умение выбирать и произвольно менять точку отсчета (позицию

наблюдения);

-

умение

мысленно

фиксировать

изменения

в

содержании

образа

геометрической конфигурации.

Целенаправленность

визуального

мышления

характеризуется

стремлением осуществлять разумный выбор действий при решении задач,

постоянно ориентируясь на поставленную цель, в стремлении отыскать

кратчайший путь ее решения.

Тип оперирования образами пространственных объектов относится к

одному из основных показателей развития пространственных представлений.

Под типом оперирования понимают способ преобразования формированного

пространственного представления. Все многообразие случаев оперирования

пространственными представлениями можно свести к трем основным:

тарирование, приводящее к изменению положения воображаемого объекта

(1тип),

к

изменению

его

структуры

(2

тип)

и

комбинации

этих

преобразований (3 тип). На формирование типов оперирования оказывают

непосредственное влияние все из выше перечисленных показателей.

Подводя итоги, следует отметить, что процесс формирования

пространственного образа объекта является достаточно сложным процессом.

На него влияет очень много факторов как объективных (недостатки

наглядных моделей, трудность самого процесса объективного восприятия

действительности),

так

и

субъективных

(активность

обучаемого,

его

внимательность, сформированность пространственных представлений и т.д.).

В

то

же

время

без

хорошо

сформированных

пространственных

представлений невозможно эффективное изучение геометрии. Возникает

необходимость

разработки

эффективной

методики

формирования

пространственных образов геометрических объектов, которая свела бы до

минимума негативное влияние вышеназванных факторов.

2.1.Организация процесса формирования пространственного образа в

5-6 классах.

Не секрет, что многие учащиеся не обладают достаточно развитым

пространственным воображением. Проблема старая, но актуальная. Если

учитель не решает ее еще тогда, когда ведет уроки в средней школе, то через

несколько лет его уроки стереометрии с теми же учениками будут терять

большую, часть своей эффективности.

Все психологические процессы, в том числе и пространственное

воображение, развиваются и совершенствуются в результате деятельности.

Эта деятельность должна чем-то стимулироваться и направляться, то есть

необходима система упражнений.

За годы работы в школе я пришла к

выводу, что пространственное воображение учеников следует развивать с

первых уроков математики в пятом классе. В настоящее время разработаны

различные системы развития пространственного воображения у младших

школьников, в том числе и компьютерные. Мною на протяжении ряда лет

используется более простая система, которую я называю курсом «Введение в

геометрию, рассчитанная на преподавание в 5-6-х классах. Ее цель —

подготовить учащихся к овладению систематическим курсом геометрии.

При определении содержания введения нужно было понять, что

именно наиболее трудно дается детям в начале систематического курса.

Этот курс догматичен. В нем почти отсутствует мотивация, его логика

скрыта от детей. В самом деле, он начинается с точек и прямых, потом

идут углы, потом треугольники и т.д. Но ученики не знают, что будет

впереди, не ведают ни о цилиндрах, ни о пирамидах.

Разъединенность планиметрии и стереометрии — весьма

вредная

для

дела

особенность

курса.

У

учащихся

подавляется

пространственное воображение. Почему бы не познакомить учащихся перед

систематическим курсом со всеми объектами изучения, используя для этого

часть часов, отведенных на повторение изученного материала в 5-6-х

классах. Тогда в 7-м классе можно четко поставить задачу — выстроить уже

знакомый материал так, чтобы удалось доказать справедливость известных

фактов и других, еще неизвестных. При такой постановке вопроса

изживается догматизм, а те умения, которые удается сформировать в 5-6-х

классах, делают дальнейшее изучение геометрии не таким трудным.

Измерение длин известно из начальной школы, а при изучении

измерения площадей, объемов и углов легче разъяснить практическую

необходимость измерения. Поэтому введение в геометрию удобно начать с

изготовления литровой емкости — куба с ребром 1 дм. При этом внимание

учащихся обращается на то, что для изготовления этого куба нужно иметь

шесть квадратов со стороной 1 дм и при склеивании их нужно прикладывать

друг к другу определенным образом. Учащиеся получают очень важный

опыт, который недостижим в нынешних условиях, ведь измерение объемов

изучается в курсе стереометрии 10—11-х классов. Уже на этом примере

просматриваются

определенные

навыки:

учащиеся

измеряют,

чертят,

вырезают, клеят. В дальнейшем добавляются вычисления по формулам.

Следующий вопрос — измерение объема полулитровой емкости,

весьма распространенной в торговле и в быту. Можно разрезать литровый

куб пополам горизонтальной (вертикальной) плоскостью, проходящей через

середины

сторон,

или

вертикальной

(горизонтальной)

плоскостью,

проходящей по диагоналям оснований.

В первом случае мы делим пополам высоту куба, а основание не

трогаем. Вообще, если не изменять основание, а изменять высоту, то объем

изменится во столько же раз. Во втором случае мы не трогаем высоту, но в

два раза уменьшаем площадь его основания. Так мы приходим к объяснению

формулы объема призмы. Учащиеся применяют полученные знания при

выполнении практической работы.

Заметим, что для решения многих задач не нужно специальных знаний,

следовательно, их можно предлагать уже в пятом классе.

Первую серию задач условно можно назвать «выход в пространство».

Это устные задачи, в которых, казалось бы, ничего не сказано о

пространстве. Даже наоборот, упоминание о треугольниках в задаче 2 и о

расположении монет в задаче 3 (читатель сразу думает, что монеты должны

лежать на плоскости) навязывает плоскостные образы. Нужно преодолеть

это, вывести свою мысль в пространство, чтобы правильно выполнить

предложенные задания.

1.

Разделите круглый сыр тремя разрезами на восемь частей.

2.

Из шести спичек сложите четыре правильных треугольника так, чтобы

стороной каждого была целая спичка.

3.

Расположите пять одинаковых монет так, чтобы каждая из них

касалась четырех остальных.

4.

Можно ли расположить шесть одинаковых карандашей так,

чтобы каждый касался пяти остальных?

Часто приходится сопровождать изучение аксиом стереометрии и их

следствий изображением многогранников, решением задач на построение

сечений и т.д. Но ученики должны «видеть» этот многогранник, поэтому еще

до

изучения

стереометрии

уместно

предложить

задачи

с

кубом,

параллелепипедом, некоторыми другими геометрическими телами. Эта

группа заданий связана с иллюзиями и невозможными объектами.

На рисунке 2 любой математик видит куб, а не только два квадрата,

вершины которых попарно соединены. А нарисованы все-таки квадраты...

Видеть куб нам позволяет хорошо развитое пространственное воображение.

Но удивительно: один раз мы видим этот куб как бы сверху и справа , а

другой — снизу и слева. Это уже казусы иллюзии, которыми надо уметь

управлять, подчиняя свое воображение той реальности, о которой говорится

в конкретной задаче.

Рис.2

Но многие учащиеся не могут сразу научиться видеть в плоской

фигуре выпуклые тела. Помочь им в этом еще в средних классах — наша

задача. Предлагая ряд плоскостных рисунков, пробуем преодолеть трудности

восприятия.

5.

Закройте листом цветной бумаги переднюю грань куба и опишите

свои впечатления.

6.

Закройте листом цветной бумаги заднюю грань куба и постарайтесь

передать свои впечатления рисунком. На что похож ваш рисунок: на

шкафчик? полочку?

7.

Попробуйте представить, глядя на рисунок 3, коридор или, глядя на

рисунок 4, трубу, по которой вы движетесь. Затем, глядя на рисунок 4,

перевернутое детское ведерко, на которое вы смотрите сверху. (В первом

случае большая окружность находится ближе к нам, во втором — дальше.)

Рис.3 Рис.4

Третья серия заданий использует развертки куба, призмы, цилиндра и

конуса.

8.

Сколько граней у шестигранного карандаша? (Восемь, если карандаш

не заточен. Часто отвечают «шесть».)

9.

Из бумаги склеили куб. Ясно, что его можно разрезать на шесть равных

квадратов. А можно ли его разрезать на двенадцать квадратов? (Нетрудно

доказать, что фигура, состоящая из объединения треугольников передней и

верхней граней куба, изображенного на рисунке 5, расположенных в одной

плоскости, есть квадрат.)

Рис. 5

10. На рисунке 7 изображен кусок бумаги. Можно ли оклеить в один слой

этим куском бумаги, не разрезая его, какой-нибудь кубик? (Можно, если

ребра куба, выделенные на рисунке жирным, равны диагоналям квадратов.)

Следующая серия заданий — это задания на проекции. Дети очень

часто играют, изображая различные тени на стене, столе и т.д. В качестве

примера приведу следующую задачу:

Рис.6

11.Какую

форму

имеет

тень

куба,

падающая

на

плоскость,

перпендикулярную его диагонали, от пучка лучей света, параллельных этой

диагонали? (Правильный шестиугольник).

12. Приходилось ли вам пришивать пуговицы? На рисунке 7 показано, как

выглядит пришитая пуговица с лицевой стороны.

Рис. 7

а)Покажите, как могут быть расположены нити с изнаночной стороны.

б)Покажите, как нужно пришивать эту пуговицу, чтобы с изнаночной

стороны получилась ломаная линия (рис.8)?

Рис. 8

Сколько вариантов расположения нити у вас получилось? Сравните свои

рисунки с рисунками одноклассников?

В серии заданий на проекции фигур могут широко использоваться

задачи на изображение фигур, согнутых из проволоки, когда луч света

направляется на куб под разными углами. Эти задачи ценны тем, что

предметы, о которых в них говорится, учащиеся могут изготовить сами. Не

вызовет технических затруднений и изготовление бумажных разверток куба.

Однако следует заметить: во всех случаях модели желательно делать после

решения, а не для решения. Если начинать рассмотрение предлагаемых задач

с моделей, то воображение учащихся не задействуется, и стимул для его

развития получается слабым.

Во время предметных недель я провожу серию занимательных уроков в

творческой мастерской: «Оригами», «Техника работы с ножницами», что

способствует развитию воображения.

Особое место в развитии мышления занимает обучение сравнению, в

частности, сравнению факта, выраженного словесно, с его интерпретацией на

чертеже.

Чертеж

может

служить

опровержением

какого-то

общего

высказывания. Учась опровергать неверные высказывания, школьники

постепенно

привыкают

к

доказательствам.

А

это

необходимый

вид

деятельности при изучении геометрии.

Итак, разносторонняя работа с рисунком, чертежом не только

способствует общему умственному развитию школьников, но и развивает

пространственное воображение, обеспечивая более полное и продуктивное

изучение геометрии, и начинать эту работу необходимо в 5—6-х классах при

изучении математики.

2.2.Развитие пространственного мышления в старших классах.

Одним из основных условий формирования пространственных

представлений в процессе обучения геометрии является использование

упражнений, ориентированных на формирование и развитие комплекса

умений, составляющих содержание пространственных представлений и

характеризующих их сформированность. Но не все упражнения можно

считать такими, а лишь те, которые требуют оперирования ранее созданными

пространственными представлениями, в которых происходит включение

пространственных представлений в новые связи, помещение их в новые

условия, определяемые условием задачи.

В своей деятельности я использую четыре типа упражнений:

-

упражнения на исследование свойств геометрических объектов

(узнавание).

-

упражнения

на

изображение

геометрических

конфигураций

(воспроизведение).

-

упражнения

на

преобразование

образов

геометрических

конфигураций (оперирование).

-

упражнения на конструирование новых образов геометрических

конфигураций.

Упражнения на исследование свойств геометрических объектов

Суть

этой

группы

упражнений

состоит

в

следующем:

пространственный объект задается с помощью модели, рисунка, чертежа или

словесного описания. Требуется исследовать его свойства – выделить форму,

определить размеры или взаимное расположение его элементов и т.п.

а)

Задачи-вопросы на распознавание объекта по изображению или

словесному описанию. Их основная цель – определить, принадлежит ли

данный объект объему указанного понятия. Распознавание пространственных

объектов

осуществляется

с

опорой

на

ранее

сформированные

пространственные представления и знания о них.

Пример 1. Существует ли четырехугольная пирамида, все ребра которой

равны между собой?

Пример 2. Могут ли все боковые грани шестиугольной пирамиды быть

равносторонними треугольниками?

Пример 3. Установите вид параллелепипеда, если а) все грани равны; б) все

грани равновелики; в) все его диагонали равны; г) два диагональных сечения

перпендикулярны основанию; д) две его смежные грани – квадраты;

е) перпендикулярное сечение к каждому ребру является прямоугольником?

б) Задачи на выделение требуемых фигур из состава чертежа.

Пример. ABCDEKMO – изображение куба. Выпишите все изображенные на

рисунке пирамиды и призмы, указывая вид фигуры.

в)

Задачи на сопоставление различных видов изображений данного

пространственного

объекта

(модели,

развертки,

чертежа,

рисунка,

проекции и т.п.

Пример. Какие из предложенных на рисунке конфигураций являются

развертками данного куба?

г) Задачи на определение взаимного расположения объектов и их

элементов.

Пример 1. Вершины А и В параллелограмма лежат в плоскости β, а его

вершина С не принадлежит этой плоскости. Как могут быть расположены

относительно β стороны AD и CD параллелограмма?

Пример 2. Как могут быть расположены относительно плоскости β основания

трапеции, если плоскость проходит через среднюю линию трапеции?

Пример 3. Прямая р не имеет общих точек с линией пересечения плоскостей

β и γ. При этом р

принадлежит γ. Как она может быть расположена

относительно плоскости β?

Пример 4. Прямая а пересекается с прямой b, лежащей в плоскости γ и

перпендикулярна этой прямой. Перпендикулярна ли а плоскости γ?

Упражнения на изображение геометрических объектов

Задания этого типа предполагают изображение пространственного

объекта, заданного своей проекцией или словесным описанием, с помощью

рисунка, чертежа, а также построение проекций данных геометрических

фигур по их наглядному изображению и т.п.

К таким заданиям можно отнести следующие виды задач.

а)

Задачи

на

изображение

пространственной

фигуры,

заданной

словесным описанием.

Пример 1. В пирамиде с основанием в виде правильного треугольника одно

из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Что представляют

собой грани такой пирамиды? Каким образом проходит высота пирамиды?

Изобразите данную пирамиду?

Пример 2. В основании наклонной призмы правильный пятиугольник.

Сколько граней у данной призмы? Какими геометрическими фигурами

являются ее грани? Могут ли среди боковых граней быть прямоугольники?

Изобразите данную призму [Приложение ДАМ-2].

б) Задачи, в которых требуется достроить фигуру или восстановить

чертеж.

Пример. 1. Достройте изображение фигуры до куба:

Пример 2. Достройте изображение фигуры до треугольной пирамиды:

Пример 3. Достройте изображение фигуры до произвольного многогранника:

Пример 4. Достройте изображение многогранников по заданным вершинам:

а) треугольная пирамида:

б) треугольная призма:

в) Задачи на построение и использование разверток пространственных

фигур.

Пример 1. Нарисуйте разные развертки: а) правильного тетраэдра, б) куба.

Пример 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

(AB = BC) как

провести на его поверхности кратчайшую линию, соединяющую вершины В

и D

1

(ответ может быть получен при помощи развертки двух смежных

граней)?

Пример 3. Постройте развертку наклонной треугольной призмы.

г) Задачи, в которых по наглядному изображению или словесному

описанию

пространственного

объекта

требуется

построить

ее

проекции.

Пример 1. Какая фигура может быть проекцией: а) отрезка, б) треугольника

на данную плоскость (рассмотреть различные направления проектирования)?

Пример 2. Какое наименьшее число сторон может иметь параллельная

проекция на плоскость выпуклого многогранника, имеющего n граней?

Пример 3. Многогранник имеет n вершин. Показать, что существует его

параллельная проекция на плоскость, имеющая: не менее четырех вершин, не

более n – 1 вершины.

д) Задачи, в которых по заданной проекции пространственного объекта

необходимо восстановить его наглядное изображение.

Пример. Нарисуйте многогранник, заданный проекциями на три попарно

перпендикулярные плоскости:

III.

Упражнения

на

выполнение

геометрических

преобразований

на плоскости и в пространстве

Этот

тип

включает

упражнения

на

различные

геометрические

преобразования

исходных

образов

пространственных

фигур,

которые

выполняются как в пределах плоскости, так и в пространстве. К ним можно

отнести следующие задачи.

а) Задачи на отыскание множеств точек – образов при определенном

геометрическом преобразовании точки.

Постройте произвольный прямоугольник и его образ при симметрии с

центром в точке пересечения его диагоналей. Какая фигура является

пересечением (объединением) данного прямоугольника и его образа?

б) Задачи на установление числа осей (плоскостей, центров) симметрии.

Пример 1. Найти множество осей симметрии у двух данных точек М и Р на

плоскости и в пространстве.

Пример 2. Сколько плоскостей симметрии имеет а) куб, б) цилиндр?

Пример 3. Приведите пример фигуры, имеющей более одного центра

симметрии.

в) Задачи на построение осей (центров, плоскостей) симметрии или

фигур имеющих оси (центры, плоскости) симметрии.

Пример 1. Начертите два угла, таких, что один из них может быть получен из

другого с помощью центральной симметрии.

Пример 2. Отметьте три точки А, В, С. Дополните это множество четвертой

точкой D так, чтобы фигура Ф = {A, B, C, D} имела а) центр симметрии; б)

ось симметрии. Рассмотрите все возможные случаи.

Пример 3. Будет ли фигура, являющаяся объединением полосы и прямой, не

принадлежащей ей, иметь центр симметрии? Рассмотрите все возможные

случаи.

г) Задачи на создание новых образов пространственных объектов путем

геометрических преобразований исходных.

Пример. В прямоугольнике ABCD мысленно проведите прямую АК (К –

середина стороны ВС), представьте, что прямоугольник разрезан по ней и

треугольник АВК повернут вокруг точки К так, что ВК и КС совместились. В

какую фигуру превратиться прямоугольник?

IV.

Упражнения

на

конструирование

и

моделирование

новых образов геометрических объектов

Задания данной группы предполагают выполнение мысленного или

графического реконструирования и моделирования образ пространственных

объектов.

Пример. Нарисуйте фигуру, получающуюся в пересечении двух равных

цилиндров, оси которых пересекаются под прямым углом.

В профильных классах мною осуществляется дифференцированный

подход как в подаче учебного материала

так и в проектных работах

учащихся. Примеры мини- проектов по теме «Многогранники»:

1) исследование геометрии призмы, в основании которой лежит правильный

n-угольник со стороной а, с углом наклона бокового ребра к плоскости

основания α («геометры», высокий уровень сложности);

2)

исследование

кристаллической

решетки

углерода

(гексагональная

структура), ее симметрии и особенностей упаковки частиц (Деталь имеет

форму призмы, в основании которой лежит правильный 2n-угольник со

стороной а, с углом наклона бокового ребра к плоскости основания α ,

боковое ребро равно в и основание высоты совпадает с точкой пересечения

диагоналей.

Из

гипса

необходимо

изготовить

модели

форм

для

последующего литья детали. Рассчитайте необходимое количество материала

для изготовления одной формы толщиной d. Какое количество краски

понадобится для покраски формы, если на 1 кв. ед. площади необходимо т

куб. ед.) («физики», высокий уровень сложности).

3) прямая призма, как геометрическая модель конструкций архитектурных

сооружений различных исторических периодов («гуманитарии», высокий

уровень сложности).

В моем элективном курсе для 10-х классов «Геометрия на профильном

уровне» (34 часа) уделяется значительное количество часов для построения

сечений многогранников и других тел, т.к .у большинства учащихся обычно

возникают трудности при решении такого рода задач.

Методические разработки уроков с использованием интерактивной доски,

электронных дидактических материалов по алгебре и геометрии; дают

возможность

для

реализации

"обратной

связи".

Использование

интерактивных моделей существенно ускоряет процесс объяснения учебного

материала и повышает его качество. Образы явлений и понятий, которые

формируются с помощью моделей и анимаций, запоминаются надолго.

Интерактивные модели легко вписываются в урок и позволяют учителю

организовать новые нетрадиционные виды учебной деятельности учащихся.

Одним из самых популярных программных средств, используемых на

уроках с использованием информационных технологий, является программа

компании Microsoft PowerPoint, которая позволяет создавать презентации.

Учащиеся с удовольствием создают презентации по различным темам

стереометрии,

например:

«Изображение

пространственных

тел

на

плоскости»,

«Многогранники»,

«Правильные

многоугольники

и

многогранники», серия презентаций по теме «Построение сечений различных

тел» (информационно-технологический профиль), «Задачи на комбинации

тел» и др. Учащиеся с помощью презентаций оформляют решение

динамических задач, а некоторые составляют свои такие задачи.

Использование наглядных пособий,

дидактического раздаточного

материала, технических средств обучения и компьютерных технологий,

демонстрация видеоматериалов и других электронных ресурсов хорошо

используется

в

изложении

материала

и

может

осуществляться

с

использованием активных методов обучения, технологий разноуровневого

обучения и полного усвоения знаний, адаптивной и модульной систем.

Всё это в совокупности позволяет понять, записать, сохранить в

нашем

мозге

информацию

и

даёт

возможность

пользоваться

этой

информацией в будущем. А также способствует развитию позитивного

мышления,

ритма

и

силы

мысли,

поможет

заниматься

духовными

практиками.

Адекватно

воспринимать

визуальный

мир

информации,

ориентироваться

в

окружающем

мире

информации;

воспринимать

визуальный

мир

избирательно

и

уметь

адаптировать

его

на

себя;

сформировать художественный зрительский вкус. Все это предполагает

накопление определенного опыта эмоционально-образного восприятия не

только в изучаемом предмете, но и в искусстве, и в окружающей природе.

Развитие эмоционально-чувственной сферы детей, говоря словами Лотмана,

научение детей “рассматривать не отдельные, изолированные явления жизни,

а обширные единства”.

Готовить

их

к

участию

в

посильном

совершенствовании культуры своего народа.

Развитое пространственное

мышление,

прочные

математические

знания

и

умения

школьников

представляют собой важнейшие компоненты готовности к непрерывному

образованию, что является актуальным в настоящее время.

Работа по теме: «Развитие пространственного мышления» дала следующую

результативность в обычном классе:

2019 - 2020 учебный год – 46,2 % качества, 100 % обученности;

2018-2019 учебный год – 45,8% качества, 100 % обученности;

2017-2018 учебный год – 44,0 % качества, 100 % обученности;

2016-2017 учебный год – 45,2 % качества, 100% обученности.

Опыт моей работы позволяет сделать следующие выводы:

1.

Разносторонняя работа с рисунком, чертежом не только способствует

общему

умственному

развитию

школьников,

но

и

развивает

пространственное воображение, обеспечивая более полное и продуктивное

изучение геометрии, и начинать эту работу необходимо в 5—6-х классах при

изучении математики.

2.

Условиями формирования пространственного мышления являются:

совместная осознанная деятельность учителя и учащихся, возможность

учета самоорганизации учащихся, использование в процессе обучения

уровневой и профильной дифференциации.

3.

Использование наглядных пособий,

дидактического раздаточного

материала, технических средств обучения и компьютерных технологий,

демонстрация

видеоматериалов

и

других

электронных

ресурсов,

использование активных методов обучения, технологий разноуровневого

обучения – все это позволяет понять, записать, сохранить в нашем мозге

информацию и даёт возможность пользоваться этой информацией в

будущем. А также способствует развитию позитивного мышления, ритма и

силы мысли, поможет заниматься духовными практиками. Адекватно

воспринимать визуальный мир информации, ориентироваться в окружающем

мире информации; воспринимать визуальный мир избирательно и уметь

адаптировать его на себя.