ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Методическое пособие

по математике

на тему

«Многогранники. Решение задач»

Разработал:

преподаватель математики

Заварзина Вера Геннадьевна

Липецк 2021 г.

Призма. Решение задач

Некоторые пространственные фигуры, изучаемые в стереометрии,

называют телами или геометрическими телами. Наглядно тело надо

представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и

ограниченную поверхностью.

Начнем с определения многогранника:

Многогранником

называется

геометрическое

тело,

поверхность

которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Эти

многоугольники

называются

гранями

многогранника,

их

стороны — ребрами, а вершины — вершинами многогранника.

Выпуклым называется многогранник, если он расположен по одну

сторону плоскости, проведённой через любой многоугольник, образующий

поверхность данного многогранника.

Многогранник является выпуклым тогда и только тогда, когда отрезок,

соединяющий любые две точки многогранника, полностью принадлежит

многограннику.

Каждая

грань

такого

многогранника

будет

выпуклым

многоугольником. При этом обратное утверждение не верно: если каждая

грань многогранника — выпуклый многоугольником, то он необязательно

выпуклый!

Многоугольники,

составляющие

поверхность

многогранника,

называются его гранями; стороны многоугольников – рёбрами; вершины –

вершинами многогранника:

ABC, DEF, ABED, BCFE, ACFD – грани;

AB, BC, AC, DE, EF, DF, AD, BE, CF – рёбра;

A, B, C, D, E, F – вершины многогранника ABCDEF.

Теорема Эйлера для многогранников:

Если V — число вершин выпуклого многогранника, R — число его

ребер и G — число граней, то верно равенство:

V – R + G = 2.

Древнегреческий

философ

Платон

очень

интересовался

такими

многогранниками, у которых все грани являются одинаковыми правильными

многоугольниками, а в каждой вершине сходится одно и то же число граней.

Он нашел 5 таких многогранников.

Мы же рассмотрим наиболее важные и часто встречающиеся в

приложениях классы многогранников:



Призмы



Пирамиды



Параллелепипеды

На самом деле параллелепипед — это частный случай призмы, но мы

его рассмотрим отдельно, поскольку он очень важный.

Разновидностей многогранников существует множество. Например,

любая 3D-модель из компьютерной игры представляет собой некоторый

(возможно, очень сложный) многогранник. Чем он сложнее, тем точнее

описывает реальный объект. Однако изучать свойства многогранников легче

на простых моделях. Устройство многогранников важно знать и понимать

инженерам, дизайнерам и художникам, а также всем, кто хочет лучше

понимать взаимосвязи объектов в пространстве.

Призма

Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских

многоугольников, которые лежат в разных плоскостях и совмещаются

параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие

точки

этих

многоугольников. Многоугольники,

о

которых

шла

речь,

называются

основаниями

призмы,

а

отрезки,

соединяющие

их

соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.

Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях.

Боковые рёбра призмы равны и параллельны.

Поверхность

призмы

состоит

из

двух

оснований

и

боковой

поверхности.

Боковая поверхность любой призмы состоит из параллелограммов, у

каждого из которых две стороны являются соответствующими сторонами

оснований, а две другие – соседними боковыми рёбрами.

Высотой призмы называется любой из перпендикуляров, проведённых

из точки одного основания к плоскости другого основания призмы.

Призма называется п-угольной, если её основание – п-угольник.

АВСA

1

В

1

С

1

– треугольная призма;

ΔАВС и ΔA

1

В

1

С

1

– основания;

АA

1

, ВВ

1

, СС

1

– боковые рёбра;

АA

1

В

1

В, АA

1

С

1

С, ВВ

1

С

1

С – боковые грани;

A

1

О – высота призмы;

α – угол наклона бокового ребра к основанию призмы.

Призма

называется

прямой,

если

её

рёбра

перпендикулярны

плоскостям оснований. В противном случае призма называется наклонной.

Боковые грани прямой призмы – прямоугольники.

Боковое ребро прямой призмы является её высотой.

Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра

основания на высоту призмы:

S

б

= P

осн

·АА

1

.

Прямая призма называется правильной, если её основания являются

правильными многоугольниками.

Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым

рёбрам,являются параллелограммами. В частности, параллелограммами

являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими,

через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани:

ВВ

1

D

1

D – диагональное сечение.

Если

в

произвольной

наклонной

призме

провести

сечение,

перпендикулярное боковым рёбрам и пересекающее все боковые рёбра, и

площадь этого сечения обозначить S

⊥

, а периметр – Р

⊥

, тогда:



для боковой поверхности призмы верно:

S

б

= Р

⊥

·АА

1

;



для объёма призмы верно:

V = S

⊥

·АА

1

.

В прямой призме:

S

⊥

= S

осн

;

Р

⊥

= P

осн

·

В любой призме площадь полной поверхности считается как сумма

площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

S

п

= S

б

+ 2·S

осн

.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача 1.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной

призмы, сторона основания которой равна 3, а высота — 10.

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы

складывается из площадей 6-ти равных прямоугольников (одна сторона

прямоугольника – сторона основания, вторая – высота призмы).

=6·3·10=180

Ответ: 180.

Задача 2.

Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если

сторона ее основания равна 15, а площадь поверхности равна 930.

Решение:

В основании правильной четырехугольной призмы – квадрат и боковое

ребро призмы перпендикулярно основанию.

То есть 930=2·

+4·15·H где H– длина бокового ребра призмы.

930=450+60H

480=60H

H=8

Ответ: 8.

Задача 3.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный

треугольник с катетами 4 и 6, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Решение:

Объем

призмы

вычисляется

по

следующей

формуле:

V=

(H

– высота, в данном случае и боковое ребро прямой

призмы).

При этом в основании – прямоугольный треугольник, площадь

которого находится как полупроизведение катетов:

=

·4·6

Тогда H=12·5=60

Ответ: 60.

Задача 4.

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили

1300 см воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с

отметки 25 см до отметки 28 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см

Решение:

Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем

вытесненной жидкости равен объему прямой призмы с высотой 3 и

основанием,

равным

основанию

исходной

призмы.

То

есть

объем

вытесненной жидкости составляет

объема жидкости.

Итак, объем детали есть

·1300=156 см

Ответ: 156 см

Задача 5.

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус

основания

и

высота

которого

равны

1.

Найдите

площадь

боковой

поверхности призмы.

Решение:

1) Высота призмы равна высоте цилиндра.

2) В основании правильной призмы – квадрат.

Диаметр основания цилиндра – это сторона основания призмы (сторона

квадрата).

3) Площадь боковой поверхности

призмы есть сумма площадей 4-х

равных прямоугольников. Измерения таких прямоугольников – это 1 и 2.

Поэтому

Ответ: 8.

Задача 6.

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной

призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен

, а

высота равна 1.

Решение:

1) Высота призмы равна высоте цилиндра.

2) В основании правильной пирамиды – равносторонний треугольник.

Радиус вписанного в него круга (основания цилиндра) ищем из

прямоугольного треугольника с углом 30°(помечен на рисунке красным

цветом, – в нем катет, прилежащий к углу 30°, есть половина стороны

треугольника):

tg30

=

,

где a – сторона треугольника.

=6

4) Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы –

есть сумма площадей трех равных прямоугольников с измерениями 6 и 1

(высота призмы).

Ответ: 18.

Задача 7.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь

боковой поверхности которой равна 26, проведена плоскость, параллельная

боковому

ребру.

Найдите

площадь

боковой

поверхности

отсеченной

треугольной призмы.

Решение:

Площадь каждой боковой грани отсеченной призмы вдвое меньше

соответствующей площади боковой грани исходной призмы. Поэтому

площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади

боковой поверхности исходной.

Стало быть, площадь боковой поверхности отсеченной треугольной

призмы равна 13.

Ответ: 13.

Задача 8.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена

плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной

призмы равен 19,5. Найдите объем исходной призмы.

Решение:

Так как плоскость проведена через среднюю линию основания, то

площадь основания отсеченной призмы меньше площади основания

исходной в 4 раза (основания (как треугольники)) подобны друг другу с

коэффициентом подобия 2, значит площади находятся в отношении

).

Высоты призм совпадают.

Поэтому объем исходной призмы в 4 раза больше объема отсеченной

призмы, то есть равен 19,5·4=78

Ответ: 78.

Задача 9.

Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 19.

Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в

семь раз?

Решение:

Достаточно просто сказать следующее:

Площади

поверхностей

подобных

многогранников

находятся

в

отношении k

(если коэффициент подобия –k). А при увеличении каждого

ребра исходной призмы в 7 раз мы получаем именно призму, подобную

исходной.

Поэтому площадь поверхности новой призмы будет в 49 раз больше

исходной, то есть будет равняться 931.

Ответ: 931.

Список литературы:

1.

Учебник. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.

Геометрия, 10-11 классы.

2. Пособие для поступающих в вузы .Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С. и

др.. М., «Наука», 1985.

3. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М., 1966.

4. Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.

5. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.