Сборник методических указаний для проведения практических занятий по Дисциплине ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика

Авторы: Азизова Татьяна Юрьевна, Желева Ирина Александровна
Должность: преподаватель математики
Учебное заведение: АНПОО "Сургутский институт экономики, управления и права"
Населённый пункт: г. Сургут
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: Сборник методических указаний для проведения практических занятий по Дисциплине ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: среднее профессиональное

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

ХАНТЫ-МАНСИЙСКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ-ЮГРА

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

«СУРГУТСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА»

РАССМОТРЕНО И ОДОБРЕНО

на заседании кафедры информационных техноло-

гий

заведующий кафедрой

_______________Л.М. Солкоч

Протокол № 5 от 03.12.2021 г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Дисциплины ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика

профессиональный модуль (междисциплинарный курс)/учебная дисциплина

09.02.06 Сетевое и системное администрирование

программа подготовки специалистов среднего звена/ программа подготовки квалифицированных рабочих, служащих

технический

профиль

сетевой и системный администратор

квалификация

очная, 3 года 10 месяцев

форма обучения/нормативный срок освоения

2021–2022

учебный год

Сургут, 2021

Методические указания по выполнению практических (лабораторных) работ по дисци-

плине ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика составлены в соответ-

ствии с ФГОС СПО, рабочим учебным планом, рабочей программой учебной дисциплины

09.02.06. Сетевое и системное администрирование.

Автор-составители:

Азизова Т. Ю., преподаватель общеобразовательных дисциплин высшей квалификационной

категории.

Желева И. А., преподаватель общеобразовательных дисциплин высшей квалификационной ка-

тегории.

Методические указания к практическим работам по дисциплине ЕН.03 «Теория вероят-

ностей и математическая статистика» предназначены для обучающихся по специальности

09.02.06 Сетевое и системное администрирование.

Методические указания предназначены для обучающихся всех форм обучения,

определяют требования по оформлению указанного вида работы и регламентируют по-

рядок ее защиты при освоении темы дисциплины, предусмотренного Федеральным го-

сударственным образовательным стандартом

Оглавление

№ практической работы

Тема практической работы

Стр.

Практическая работа №1.

Решение задач на расчёт количества выборок.

Практическая работа №2.

Вычисление вероятностей событий по классической форму-

ле определения вероятности.

Практическая работа №3

Вычисление вероятностей сложных событий с помощью тео-

рем умножения и сложения вероятностей.

Практическая работа №4

Вычисление вероятностей сложных событий с помощью

формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Практическая работа №5

Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли.

Практическая работа №6

Решение задач на запись распределения дискретной случай-

ной величины.

Практическая работа №7

Вычисление характеристик дискретной случайной величины

и характеристик функций от дискретной случайной величи-

ны.

Практическая работа №8

Решение задач на запись биноминального и геометрического

распределений.

Практическая работа №9

Решение задач на формулу геометрического определения ве-

роятности.

Практическая работа №10

Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для

непрерывной случайной величины с помощью функции

плотности и интегральной функции распределения.

Практическая работа №11

Вычисление вероятностей для нормально и показательно рас-

пределенных величин.

Практическая работа №12

Построение для заданной выборки ее графической диаграммы;

расчёт по заданной выборке её числовых характеристик.

Практическая работа №13

Интервальное оценивание математического ожидания нор-

мального распределения.

Практическая работа №14

Интервальное оценивание вероятности события.

Практическая работа №15

Моделирование случайных величин; моделирование случай-

ной точки, равномерно распределённой в прямоугольнике;

моделирование сложных испытаний и их результатов.

Практическая работа №16

Нахождение матриц инциндентности и смежности графов

Практическая работа №17

Определение характеристик неориентированных графов. Ре-

шение задач с применением графов

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА РАСЧЁТ КОЛИЧЕСТВА ВЫБОРОК

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться определять тип комбинаторного объекта и рассчитывать

количество выборок заданного типа

Для выполнения работы необходимо знать: основные комбинаторные объекты (типы

выборок), формулы и правила расчёта количества выборок; необходимо уметь: определять

тип комбинаторного объекта (тип выборки), рассчитывать количество выборок заданного типа

в заданных условиях.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональ-

ной компетенции ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разра-

ботке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучается, сколько различных ком-

бинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Все комбинаторные формулы можно вывести из двух основных утверждений, касаю-

щихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения. Эти два важных прави-

ла часто применяются при решении комбинаторных задач.

Основными понятиями комбинаторики являются размещения, перестановки и сочетания.

Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмноже-

ство, состоящее из m различных элементов данного множества.

Число размещений (без повторений) из n элементов по m элементам равно

n !

(

−

)

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать председателя, заместителя и профорга

из 9 человек?

Решение. n = 9, m = 3.

9 !

(

−

)

9 !

6 !

∗

504

Число размещений (с повторением) из n элементов по m равно

Пример 2. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам?

Решение. Так как в один вагон могут сесть несколько человек, и рассадка зависит от того кто в

каком вагоне находится, то используем формулу размещения с повторениями:

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n эле-

ментам.

Число перестановок n различных элементов (без повторений) равно Р

=n!

Пример 3. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, ита-

льянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы. Сколькими способами могут распределиться

места по окончании соревнований?

Решение. Используем формулу перестановки без повторения для n = 6:

=6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

Число перестановок (с повторениями) равно

k !

! i

!… i

Пример 4. Сколько перестановок можно получить из букв слова КОЛОКОЛА?

Решение. Так как буквы в слове повторяются, то используем формулу перестановок с

повторениями.

= 2 (количество букв «к»)

= 3 (количество букв «о»)

= 2 (количество букв «л»)

= 1 (количество букв «а»)

k = i

+ i

= 2+3+2+1 = 8

2! 3 ! 2 ! 1!

∗

1680

Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество, состоящее из

m различных элементов данного множества

Число сочетаний из n элементов по m(без повторений) равно

m !

(

−

)

Пример 5. Из учащихся 25 человек нужно выбрать троих дежурных. Сколькими спосо-

бами это можно сделать?

Решение. n = 25, m = 3.

25 !

3 !

(

−

)

25 !

3! 22!

∗

22!

∗

22!

∗

2300

Число сочетаний с повторениями равно

−

Пример 6. Сколькими способами можно купить 6 пирожных, если имеются 2 сорта пи-

рожных по 5 в каждом?

Решение. Поскольку при покупке пирожных порядок их расположения не важен, то ис-

пользуем для подсчета формулу сочетаний с повторениями, при этом n = 5 +5 =10, m = 6.

−

15 !

6 !

(

−

)

15 !

6 ! 9 !

∗

9 !

∗

9 !

5005

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

II вариант

Сколькими способами могут восемь чело-

век стать в очередь к театральной кассе?

Курьер должен разнести пакеты в 7 различ-

ных учреждений. Сколько маршрутов может

он выбрать?

Сколько различных перестановок можно

Сколько различных перестановок можно об-

образовать из всех букв слова «Абракада-

бра»?

разовать из всех букв слова «Тарантас»?

Сколькими способами из восьми человек

можно избрать комиссию, состоящую из

пяти членов?

Сколькими способами можно выбрать 4

краски из имеющихся 9 различных красок?

Сколько четырехбуквенных слов можно

образовать из букв слова «Сапфир»?

Сколько трехбуквенных слов можно соста-

вить из букв слова «Фонарь»?

Имеется 10 различных книг и 15 различ-

ных

журналов.

Сколькими

способами

можно составить посылку из 3 книг и 5

журналов?

На первой полке стоит 12 книг, а на второй

10. Сколькими способами можно выбрать 4

книги с первой полки и 3 со второй?

Сколько трехзначных чисел можно соста-

вить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Сколько четырехзначных чисел можно со-

ставить из цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Сколькими способами можно составить

набор из 5 шоколадок, если имеются шо-

коладки трех сортов?

Сколькими способами можно составить кол-

лекцию из 6 марок, если имеются марки

четырех видов?

Имеется 10 билетов денежной лотереи и

12 билетов спортлото. Сколькими спосо-

бами можно выбрать по два билета либо

из первой, либо из второй лотереи?

Сколькими способами можно группу из 13

человек разбить на две подгруппы, в одной

из которых должно быть не более четырех, а

во второй – не более десяти человек?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Охарактеризуйте основные комбинаторные объекты.

Составьте схему для определения типа комбинаторного объекта.

Литература

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая

школа, 2007. – 480 с.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математиче-

ской статистике. – М.: Высшая школа, 2007. (стр.6-11- разобрать задачи)

Дополнительное задание*

В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух раз-

личных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько ва-

риантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хра-

нятся?

Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться вычислять вероятность события по классической формуле

определения вероятности с использованием формул комбинаторики.

Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо

уметь вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных

компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке

методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности; ПК 1.4.

Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной

эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях ин-

формационной системы.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Согласно классическому определению вероятности вероятностью события А называ-

ют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех рав-

новозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероят-

ность события А определяется формулой:

Р(А) = m/n,

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А;

n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример 1. В ящике имеется 10 красных и 8 синих шаров. Наудачу вынимают один шар. Найти

вероятность того, что извлеченный шар окажется синим.

Решение.

Дано:

m= 7

n = 10+8 = 18

Решение

А – извлеченный шар синего цвета

P(A) = m/n = 7/18 = 0,38 = 38,9%

Р(А) - ?

Ответ: P(A) = 38,9%

Пример 2. Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков

равна 5.

Решение.

Дано:

= 6 – количе-

ство граней куби-

ка.

Решение

А – сумма выпавших очков на двух кубиках равна 5.

P(A) = m/n

Событию Aблагоприятствуют следующие исходы: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) →

m= 4

Каждый из кубиков можно бросить шестью способами. Тогда два кубика по

правилу умножения могут упасть 6*6 = 36 способами → n= 36

P(A) = 4/36 = 1/9 = 0,11 = 11%

Р(А) - ?

Ответ: P(A) = 11%

Пример 3. В мешочке имеется 6 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написа-

на одна из следующих букв: о, р, ф, а, ь, н.Найти вероятность того, что на вынутых по одному

и расположенных в одну линию кубиках можно будет прочесть слово «фонарь».

Решение.

Дано:

о, р, ф, а, ь, н

Решение

А – из кубиков сложилось слово «фонарь».

P(A) = m/n

Т.к. из данных букв слово «фонарь» можно сложить только одним спосо-

бом, то событию Aблагоприятствует 1 исход. → m= 1.

Количество всех возможных способов выпадения букв на кубиках равно ко-

личеству перестановок.

n= P

= 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

P(A) = 1/720 = 0,00139 = 1,4%

Р(А) - ?

Ответ: P(A) = 1,4%

Пример 4.В группе 25 студентов. Из них 12 юношей и 13 девушек. Известно, что к доске

должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это юноши?

Решение.

Дано:

K = 12

L = 13

H = 25

Решение

А – к доске вызваны два юноши.

P(A) = m/n

Число всех исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать

двух учащихся из 25 (причем порядок вызова к доске не важен) →

n =

=300

Число благоприятствующих исходов равно числу способов выбора двух

юношей из 13 → m=

P(A) = 78/300=13/50 = 0,26 =26%

Р(А) - ?

Ответ: P(A) = 26%

Для решения задач следующего типа:

В партии из N деталей имеется п стандартных. Наудачу отобраны т деталей. Найти ве-

роятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.

можно использовать формулу:

−

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

II вариант

В коробке лежат 6 красных и 4 синих

карандаша.

Наугад

вытаскиваются

один из них. Найти вероятности собы-

тий того, что извлеченный карандаш

красного цвета.

В коробке лежат 3 красных, 6 синих и 5 зеле-

ных карандашей. Наугад вытаскиваются один

из них. Найти вероятности событий того, что

извлеченный карандаш красного цвета.

Бросаются два игральных кубика. Ка-

кова вероятность, что сумма выпавших

очков равна 6.

Бросаются два игральных кубика. Какова веро-

ятность, что сумма выпавших очков равна 8.

Слово ПЛОМБИР разрезается на бук-

вы. Буквы перемешиваются и снова

складываются слева направо. Найти ве-

роятность того, что снова получится

слово ПЛОМБИР.

Из буквы разрезной азбуки составлено слово

ДОКУМЕНТ. Ребенок, не умеющий читать,

рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произ-

вольном порядке. Найти вероятность того, что

у него снова получится слово ДОКУМЕНТ

В пачке находятся одинаковые по раз-

меру 10 тетрадей в линейку и 6 в клет-

ку. Из пачки наугад берут 4 тетради.

Какова вероятность того, что все 4 тет-

ради окажутся в клетку?

На полке лежат 5 учебников и 6 художествен-

ных книг. С полки наугад снимают 3 книги.

Какова вероятность того, что они окажутся

учебниками?

На каждой из семи одинаковых карто-

чек напечатана одна из букв: а, с, т, р,

у, ж, л. Карточки тщательно перемеша-

ны. Найти вероятность, что на четырех,

вынутых по одной и расположенных «в

одну линию» карточках можно будет

прочесть слово «стул»

На каждой из семи одинаковых карточек напе-

чатана одна из букв: д, а, т, о, с, ж, к. Карточки

тщательно перемешаны. Найти вероятность,

что на пяти, вынутых по одной и расположен-

ных «в одну линию» карточках можно будет

прочесть слово «доска»

«5

В цехе работают 6 мужчин и 4 женщи-

ны. По табельным номерам наудачу

отобраны 7 человек. Найти вероятность

того, что среди отобранных лиц ока-

жутся 3 женщины.

В группе 12 студентов, среди которых 8 отлич-

ников. По списку наудачу отобраны 9 студен-

тов. Найти вероятность того, что среди ото-

бранных студентов пять отличников.

«5

В сборнике билетов по геометрии всего

25 билетов, в трех из них встречается

вопрос о конусе. На экзамене школь-

ник достается один случайно выбран-

ный билет из этого сборника. Найти ве-

роятность того, что в этом билете не

будет вопроса о конусе.

В международных соревнованиях по фигурно-

му катанию участвуют 25 спортсменок из

разных стран, в том числе по три из США и

России и по две из Японии и Швеции. Порядок

выступления определяется жребием. Какова

вероятность того, что спортсменка, выступаю-

щая первой, будет представлять какую-то дру-

гую из оставшихся стран?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Используя классическое определение вероятности, докажите свойства вероятности:

Вероятность достоверного события равна 1.

Вероятность невозможного события равна 0.

При каких условиях применима классическая формула определения вероятности?

Какая сумма числа очков наиболее вероятна при бросании двух кубиков?

ЛИТЕРАТУРА

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая шко-

ла, 2007

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ С ПОМОЩЬЮ

ТЕОРЕМ УМНОЖЕНИЯ И СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться вычислять вероятности суммы совместных и несовместных собы-

тий, произведения независимых и зависимых событий.

Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо

уметь вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных

компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке

методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности; ПК 1.4.

Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной

эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях ин-

формационной системы.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Суммой A + B двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события

А, или события В, или обоих этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появ-

ления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих со-

бытий:

Р (А + В) = Р(А) + Р(В)

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появле-

ния хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих

событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном

появлении этих событий.

Теорема произведения для независимых событий. Для независимых событий

вероятность совместного появления событий равна произведению вероятносто-

стей этих событий:

Р(АВ) = Р(А) Р(В).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух

событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероят-

ность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже насту-

пило:

Р(АВ) = Р(А) Р

(В).

Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий.

Если события А

, А

,…

независимы в совокупности, причем Р(А

) = р

, Р(А

) = р

Р(А

) = р

и т.д.; q

, q

, …, q

– вероятности противоположных событий.

Вероятность наступления события А, состоящего в наступлении хотя бы одного из со-

бытий А

, А

,…

равна:

Р(А) = 1 – q

…q

Вероятность появления только одного из двух событий.

Р(А) = p

+ p

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

II вариант

Среди сотрудников фирмы 28% знают ан-

глийский язык, 30% – немецкий; англий-

ский и немецкий – 8%. Найти вероятность

того, что случайно выбранный сотрудник

фирмы знает хотя бы один язык.

Имеется 3 ящика, содержащих по 20 дета-

лей. В первом ящике 12, во втором 5 и в

третьем 9 стандартных деталей. Из каждо-

го ящика наудачу вынимают по одной де-

тали. Найти вероятность того, что все дета-

ли окажутся стандартными.

Производится бомбометание по трем скла-

дам

боеприпасов,

причем

сбрасывается

одна бомба. Вероятность попадания в пер-

вый склад 0,025; во второй – 0,03; в третий

0,019. При попадании в один из складов

взрываются все три. Найти вероятность

того, что склады будут взорваны.

В электрическую цепь последовательно

включены три элемента, работающие неза-

висимо один от другого. Вероятности отка-

зов первого, второго и третьего элементов

соответственно равны: р, = 0,1; р, = 0,15; р,

= 0,2. Найти вероятность того, что тока в

цепи не будет (не работает хотя бы 1 эле-

мент).

Имеется 3 ящика, содержащих по 15 дета-

лей. В первом ящике 5, во втором 7 и в тре-

тьем 10 стандартных деталей. Из каждого

ящика наудачу вынимают по одной детали.

Найти вероятность того, что все детали ока-

жутся стандартными.

Среди студентов группы 15% имеют от-

личные оценки по математике, 34% – по

истории. При этом 12% являются отлични-

ками по обеим дисциплинам. Найти веро-

ятность того, что случайно выбранный сту-

дент учится на «отлично» хотя бы по одной

дисциплине.

Отдел технического контроля проверяет из-

делия на стандартность. Вероятность того,

что изделие стандартно, равна 0,9. Найти

вероятность того, что из двух проверенных

изделий только одно стандартное.

В ящике 10 деталей, из которых четыре

окрашены. Сборщик наудачу взял три дета-

ли. Найти вероятность того, что хотя бы

одна из взятых деталей окрашена.

Решить задачу двумя способами.

На полке стоят 6 учебников по математике

и 3 по информатике. С полки наудачу бе-

рется сначала один учебник. Потом второй.

Найти вероятность, что первая взятая книга

будет учебником по информатике, а вторая

учебником по математике.

В ящике находится 8 стандартных и 6 не-

стандартных детали. Наудачу вынимается

сначала одна деталь, а потом вторая. Найти

вероятность, что первая взятая деталь стан-

дартная, а вторая нестандартная.

Устройство содержит два независимо рабо-

тающих элемента. Вероятности отказа эле-

ментов соответственно равны 0,05 и 0,08.

Найти вероятности отказа устройства, если

Из партии изделий товаровед отбирает из-

делия высшего сорта. Вероятность того,

что наудачу взятое изделие окажется выс-

шего сорта, равна 0,8. Найти вероятность

для этого достаточно, чтобы отказал хотя

бы один элемент.

того, что из двух проверенных изделий

только одно высшего сорта.

На стеллаже библиотеки в случайном по-

рядке расставлено 15 учебников, причем

пять из них в переплете. Библиотекарь бе-

рет наудачу три учебника. Найти вероят-

ность того, что хотя бы один из взятых

учебников окажется в переплете (событие

А).

Решить задачу двумя способами.

Мастер обслуживают 5 станков. 20% рабо-

чего времени он проводит у первого

станка, 10% - у второго, 15% - у третьего,

25% - у четвертого, 30% - у пятого станка.

Найти вероятность того, что в наудачу вы-

бранный момент времени мастер находится

у 1, или 2, или 3 станка.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Чем отличается операция сложения вероятностей от произведения?

Запишите способы, которыми можно рассчитать вероятность появления хотя бы одного

события?

ЛИТЕРАТУРА

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая шко-

ла, 2007.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУ-

ЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛЫ БАЙЕСА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться вычислять вероятности сложных событий с помощью фор-

мулы полной вероятности и формулы Байеса.

Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо

уметь вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональ-

ных компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разра-

ботке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности;

ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе

опытной эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых мо-

дулях информационной системы.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Формула полной верятности позволяет определить вероятность события А, которое

может наступить при условии появления одного из несовместных событий В

, В

, … В

, обра-

зующих полную группу.

Р(А) = Р(В

)·Р

В1

(А) + Р(В

)·Р

В2

(А) + … + Р(В

)·Р

Вn

(А)

Чтобы оценить вероятности гипотез В

, В

, … В

, после того как стал известен результат

испытания, используется формула Байеса.

(

)

(

)

∙ P

(

)

(

)

∙ P

(

)

(

)

∙ P

(

)

…

(

)

∙ P

(

)

Пример 1. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором 30

деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероят-

ность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – стандартная.

Решение

Обозначим через А – событие«взятая наудачу деталь стандартна»

Событие В

– деталь извлечена из первого ящика;

Событие В

– деталь извлечена из второго ящика

Событие В

– деталь извлечена из третьего ящика

Определим вероятности событий В

, В

и В

Вероятность того, что деталь взята из первого ящика Р(В

) = 1/3

Вероятность того, что деталь взята из первого ящика Р(В

) = 1/3

Вероятность того, что деталь взята из первого ящика Р(В

) = 1/3

Определим условные вероятности.

Условная вероятность того, что из 1 ящика была извлечена стандартная деталь: Р

В1

(А) =

Условная вероятность того, что из 2 ящика была извлечена стандартная деталь: Р

В2

(А) =

Условная вероятность того, что из 3 ящика была извлечена стандартная деталь: Р

В3

(А) =

По формуле полной вероятности определим вероятность события А:

Р(А) =

∙

0,72

. Ответ: Р(А) = 0,72

Пример 2. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая -

35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что

он был произведен первой машиной?

Решение

Обозначим через А – событие «выбран болт с дефектом»

– болт произведен 1 машиной; В

– болт произведен 2 машиной; В

– болт произведен 3 ма-

шиной

По условию задачи имеем:

Р(В

) = 0,25

Р(В

) = 0,35

Р(В

) = 0,4

В1

(А) = 0,05

В2

(А) = 0,04

В3

(А) = 0,02

По формуле Байеса определим вероятность гипотезы В, при условии что выбран болт с де-

фектом:

(

)

0,25 ∙ 0,05

0,35 ∙ 0,04

0,4 ∙ 0,02

0,0125

0,0345

0.36

36 %

Ответ:

(

)

36 %

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей – на заводе

№2 и 18 деталей – на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе

№1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3,

эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлечен-

ная наудачу деталь окажется отличного качества.

Два оператора набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что

первый оператор допустит ошибку, равна 0,1; для второго оператора эта вероятность

равна 0,2. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Какова вероятность того,

что ошибся первый оператор?

Два оператора набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что

первый оператор допустил ошибку, равна 0,15, второй - 0,1. Какова вероятность, что

при проверке наудачу взятая перфокарта оказалась с ошибкой?

В магазин поступили телевизоры от 3 фирм. На долю 1 фирмы приходится 50% от об-

щего числа поставок, на долю 2 фирмы – 20%, а на долю 3 фирмы – 30%. Из практики

известно, что бракованными оказываются 4% поставляемых 1 фирмой, 3% поставляе-

мых 2 фирмой и 5% поставляемых 3 фирмой. Найти вероятность того, что купленный в

магазине и оказавшийся бракованным телевизор, был произведён первой фирмой.

II вариант

В магазин поступили телевизоры от 3 фирм. На долю 1 фирмы приходится 50% от об-

щего числа поставок, на долю 2 фирмы – 20%, а на долю 3 фирмы – 30%. Из практики

известно, что бракованными оказываются 4% поставляемых 1 фирмой, 3% поставляе-

мых 2 фирмой и 5% поставляемых 3 фирмой. Найти вероятность того, что купленный в

данном магазине телевизор окажется бракованным.

В больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием А, 30% с заболеванием

В, 20% с заболеванием С. Вероятность полного выздоровления для каждого заболева-

ния соответственно равна 0,7; 0,8; 0,9. Больной был выписан из больницы здоровым.

Найти вероятность того, что он страдал заболеванием А.

На сборку механизма поступают детали с двух автоматов. Первый автомат в среднем

дает 1,5% брака, второй – 1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной де-

тали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 1500.

Завод выпускает 3 типа предохранителей для магнитофона. Доля каждого из них в об-

щем объеме составляет 30, 50 и 20%. При перегрузке сети предохранитель 1 типа сра-

батывает с вероятностью 0,8%, 2 типа 0,9 и 3 типа 0,85%. Выбранный наугад предохра-

нитель сработал при перегрузке сети. Какова вероятность того, что он принадлежал к 1

типу?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Для чего используется формула Байеса?

Литература

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая шко-

ла, 2007. – 480 с.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЯ

ПРИ ПОВТОРЕНИИ ИСПЫТАНИЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться вычислять вероятности событий с помощью формул Бернулли,

Пуассона и Муавра-Лапласа.

Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо

уметь вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных

компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке ме-

тодов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности; ПК 1.4.

Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной экс-

плуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информа-

ционной системы.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Формула Бернулли позволяет рассчитать вероятность того, что при n испытаниях событие

А осуществится ровно k раз. Формулой Бернулли удобно пользоваться, когда n и k<10.

(

)

n !

k !

(

−

)

−

Если n и k велики, то для нахождения вероятности появления события k раз в n испытаниях

используется локальная теорема Муавра-Лапласа или асимптотическая формула Лапласа.

(

)

≈

√

npq

(

)

, где φ

(

)

определяется по таблица ,

Если n велико, k мало и p<0,1, то для нахождения вероятности появления события k раз в n

испытаниях удобно пользоваться формулой Пуассона.

(

)≃

(

)

k !

⋅

−

Пример 3. В классе 10 компьютеров. Для каждого компьютера вероятность того, что он в

данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность, что в данный момент: а) включено 4

компьютера; б) включены все компьютеры; в) включено менее 3 компьютеров; г) включено не ме-

нее 3 компьютеров.

Решение

а) n = 10; k = 4; p = 0,8; q = 0,2

По формуле Бернулли: Р

(4) =

10 !

4 ! 6 !

0,8

∙ 0,2

210 ∙ 0,4096∙ 0,000064

0,0055

0,55 %

б) n = 10; k = 10; p = 0,8; q = 0,2

По формуле Бернулли: Р

(10) =

10 !

10 ! 0!

0,8

∙ 0,2

1∙ 0,1074 ∙ 1

0,1074

10,7%

в) Р

(k<3) = Р

(0) + Р

(1) + Р

(2)

(0)=

10 !

0! 10 !

0,8

∙ 0,2

0,0000001024

0 , 00001 %

(1)=

10 !

1 ! 9 !

0,8

∙ 0,2

10 ∙ 0,8 ∙ 0,000000512

0,000004

0,0004 %

(2)=

10 !

2 !8 !

0,8

∙ 0,2

45 ∙ 0,64 ∙ 0,00000256

0,000074

0,0074 %

(<3) =

0 , 00001 %

0,0004 %

0,0074 %

0,0078 %

г) Т.к. события «включено менее 3 компьютеров» и «включено не менее трех компьютеров»

являются противоположными, то

(k≥3) = 1 - Р

(<3) = 1 – 0,000078 = 0,9999 = 99, 99%

Ответ: Р

(4) = 0,55%; Р

(10) = 10,7%; Р

(k<3) =

0,0078 %

; Р

(k≥3) = 99,99%

Пример 4. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит

ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Дано:

n = 400; k = 104; p = 0,2; q = 0,8

Решение

Т.к. n и k велики, то используем локальную теорему Муавра-Лапласа:

104

−

400

∗

0,2

√

400

∗

0,2

∗

0,8

→ По таблице

(

)

0,0044

400

(

104

)

√

400

∗

0,2

∗

0,8

∗

0.0044

0.00055

Ответ:

400

(

104

)

0,00055

Пример 5. Вероятность повреждения товара равна 0,02. Найти вероятность того, что из ста

единиц товара испортится ровно 3.

Дано:

n= 100; k = 3; p = 0,02

Решение

100

(

)≃

(

100

⋅

0 , 02

)

3 !

⋅

−

100

⋅

0 , 02

≈

−

≈

⋅

≈

⋅

0 , 13

≈

0 , 173

Ответ: Р

100

(3) = 0,173

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа

каждого из них за сутки равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут: а) три элементы;

б) не менее 4 элементов; в) менее 4 элементов.

По результатам ежегодной проверки Портнадзором судов, было установлено: вероятность

того, что суда имеют нарушения правил Морского Регистра равна 0,4. Найти вероятность

того, что из 2400 судов, заходивших в порт в течение этого периода, имеют нарушения

правил 960 судов.

Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность

того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

II вариант

Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока,

равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) 2

телевизора потребуют ремонта; б) не более одного потребует ремонта; б) более одного по-

требует ремонта.

Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что сре-

ди 300 грибов белых будет 75?

С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных доброкачественных изделий.

Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0.0005. Найти вероятность того,

что из 4000 изделий в магазин прибудут 3 испорченных изделия.

III вариант

Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того,

что: а) герб выпадет три раза; б) герб выпадет менее трех раз; в) герб выпадет во всех испы-

таниях.

На заводе изготавливается в среднем 75% деталей отличного качества. За час было изготов-

лено 400 деталей. Найти вероятность того, что среди них ровно 280 деталей отличного ка-

чества.

Среди шариковых авторучек в среднем при упаковке, отгрузке и доставке в магазин повре-

ждаются 0,02%. Найти вероятность того, что среди 5000 авторучек окажутся поврежденны-

ми не более 3 ручек.

IV вариант

Производится залп из 5 орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из

каждого орудия равна 0,7. Найти вероятность попадания в объект: а) трех орудий; б) более

трех орудий; в) менее трех орудий.

Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,8. Определить вероят-

ность того, что из взятых на проверку 400 изделий 315 будут первого сорта.

Вероятность рождения белого тигра равна 0,02. Найти вероятность того, что среди 100 ро-

ждённых тигрят окажется 3 белых.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

При каких условиях удобнее пользоваться формулой Бернулли, при каких – формулой

Лапласа, а при каких – формулой Пуассона?

Литература

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,

2007. – 480 с.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №6

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУ-

ЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И НАХОЖДЕНИЕ ЕЁ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Цель работы: научиться строить закон распределения дискретной случайной величины та-

бличным способом, с помощью многоугольника распределения и функции распределения.

Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо уметь

вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных

компетенций ПК 1.1. Собирать данные для анализа использования и функционирования информа-

ционной системы, участвовать в составлении отчетной документации, принимать участие в разра-

ботке проектной документации на модификацию информационной системы; ПК 1.2. Взаимодей-

ствовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий при-

менения объектов профессиональной деятельности; ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном те-

стировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные

ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные,

изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Для задания дискретной

случайной величины необходимо перечислить все возможные ее значения и указать их вероятно-

сти.

Законом распределения дискретной случайной величины называет соответствие между

возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически в виде

функции распределения и графически с помощью многоугольника распределения.

Пример 1. Возможные значения случайной величины таковы: х

= 2, х

= 5, х

= 8. Известны

вероятности первых двух возможных значений: р

= 0,4; р

= 0,15. Найти вероятность х

Решение. Так как в одном испытании случайная величина принимает одно и только воз-

можное значения, то события х

, х

образуют полную группу; следовательно сумма вероятно-

стей этих событий равна единице: p

+ p

= 1 – р

– р

= 1 – 0,4 – 0,15 = 0,45

Пример 2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 500

и десять выигрышей по 10 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимо-

сти возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение.

Возможные значения выигрыша: х

= 500, х

= 10, х

= 0.

Вероятности возможных значений:

= 1/100 = 0,01 (количество выигрышей в 500 рублей делится на общее количество би-

летов);

= 10/100 = 0,1 (количество выигрышей в 10 рублей делится на общее количество би-

летов);

= 1 – (0,01 + 0,1) = 0,89.

Закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для

владельца одного лотерейного билета:

500

0,01

0,1

0,89

Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Построить

многоугольник распределения.

0,2

0,1

0,4

0,3

Решение. Для построения многоугольника распределения в прямоугольной системе коорди-

нат построим точки (х

, p

), а затем соединим их отрезками прямых.

Функция распределения случайной величины Х – это функция F(x), которая при каждом

значении своего аргумента х численно равна вероятности того, что случайная величина Х кажется

меньше, чем значение аргумента х: F(x) = P{X<x}

Пример 4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины:

0,1

0,2

0,4

0,2

0,1

Построить функцию распределения этой случайной величины и ее график.

Решение

Если значение аргумента x≤2, то F(x) = P (X<x) = 0

Если значение аргумента 2<x≤3, то F(x) = P (X<x) = 0,1

Если значение аргумента 3<x≤5, то F(x) = P (X<x) = 0,1 + 0,2 = 0,3

Если значение аргумента 5<x≤6, то F(x) = P (X<x) = 0,1 + 0,2 + 0,4 = 0,7

Если значение аргумента 6<x≤8, то F(x) = P (X<x) = 0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,2 = 0,9

Если значение аргумента x>8, то F(x) = P (X<x) = 1.

При нахождении закона распределения дискретной случайной величины часто необходимо ис-

пользовать сложение и умножение вероятностей.

Пример 5. Два орудия стреляют по цели; вероятности попадания в цель при одном выстреле

для них равны соответственно 0,7 и 0,8. Для случайной величины Х (числа попаданий в мишень

при одном залпе) составить ряд распределения.

Решение.

Возможные значения случайной величины: х

= 0, х

= 1, х

= 2.

Вероятности возможных значений:

=0, если оба орудия не попали в цель



Р(х

=0) = (1-0,7)(1-0,8)= 0,06.

=1, если в цель попало ровно 1 орудие



Р(х

=1) = 0,7∙(1 - 0,8) + (1 – 0,7)∙0,8 = 0,14 + 0,24 = 0,38

=2, если оба орудия попали в цель



Р(Х=2)= 0,7

⋅

0,8 = 0,56.

Составляем ряд распределения.

0,06

0,38

0,56

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

II вариант

Возможные значения случайной величины

таковы: х

= 6, х

= 7, х

= 8. Известны ве-

роятности первых двух возможных значе-

ний: р

= 0,6; р

= 0,25. Найти вероятность

Возможные значения случайной величины

таковы: х

= 1, х

= 2, х

= 3. Известны вероят-

ности первых двух возможных значений: р

0,45; р

= 0,3. Найти вероятность х

Дискретная случайная величина Х задана

законом распределения. Построить много-

угольник распределения.

0,3

0,1

0,2

0,4

Дискретная случайная величина Х задана за-

коном

распределения.

Построить

много-

угольник распределения.

0,1

0,5

0,3

0,1

В лотерее среди 100 билетов 5 с выигры-

шем 1000 руб., 15 – 100 руб., 25 – 10 руб.,

остальные по 0. Найти закон распределе-

ния случайной величины Х – стоимости

возможного выигрыша для владельца од-

ного лотерейного билета.

В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Сре-

ди них два выигрыша по 50 руб., пять по 20

руб., десять по 10 руб., 25 по 5 руб. Найти за-

кон распределения случайной величины Х –

стоимости возможного выигрыша для вла-

дельца одного лотерейного билета.

Два стрелка произвели по одному выстре-

Два стрелка произвели по одному выстрелу в

лу в мишень. Вероятность попадания в нее

первым стрелком равна 0,5; вторым - 0,4.

Составить закон распределения числа по-

паданий в мишень.

мишень. Вероятность попадания в нее пер-

вым стрелком равна 0,7; вторым - 0,6. Соста-

вить закон распределения числа попаданий в

мишень.

Дан ряд распределения дискретной слу-

чайной величины:

0,1

0,3

0,2

0,1

Построить функцию распределения этой

случайной величины и ее график.

Дан ряд распределения дискретной случай-

ной величины:

0,1

0,4

0,3

0,1

Построить функцию распределения этой слу-

чайной величины и ее график.

Телефонистка трижды вызывает абонента.

Вероятность того, что будет принят пер-

вый вызов, равна 0,2, второй вызов – 0,3 и

третий вызов – 0,4. Составить закон

распределения вероятностей числа X вызо-

вов, принятых абонентом.

Составить закон распределения вероятностей

числа Х исправных приборов, если их три, а

вероятности того, что исправны, соответ-

ственно равны 0,9, 0,8, 0,7.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Чем дискретные случайные величины отличаются от непрерывных?

Перечислите способы задания дискретной случайной величины.

ЛИТЕРАТУРА

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,

2007.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №7

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЗАПИСЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться строить биноминальные и геометрические распределения дис-

кретных случайных величин.

Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо уметь

вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных

компетенций ПК 1.1. Собирать данные для анализа использования и функционирования информа-

ционной системы, участвовать в составлении отчетной документации, принимать участие в разра-

ботке проектной документации на модификацию информационной системы; ПК 1.2.Взаимодей-

ствовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий при-

менения объектов профессиональной деятельности; ПК 1.4. Участвовать в экспериментальном те-

стировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные

ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Биноминальное распределение имеет место, когда производится n независимых испыта-

ний, в каждом из которых событие может либо появится, либо не появиться.

Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р, следовательно

вероятность ненаступления равна q = 1 - р.

Биноминальным распределение определяется формулой Бернулли:

(

)

−

n !

k !

(

−

)

−

Пример 1. Построить закон распределения случайной величины Х – количества домов, дан-

ных в эксплуатацию в срок, из 3 строящихся. Вероятность сдачи в эксплуатацию в срок для каждо-

го дома одинакова и равна 0,9.

Решение

Возможные значения случайной величины Х: х

=0, х

=1, х

=2 или х

=3.

Число испытаний (общее число строящихся домов):n= 3.

Вероятность наступления события A в одном опыте (построить каждый дом в срок)

p = 0,9.

Вероятности возможных значений p

: определяем с помощью формулы Бернулли:

= Р(х=0) = р

(0) = С

= 1*0,9

*0,1

= 0,001

= Р(х=1) = р

(1) = С

= 3*0,9

*0,1

= 0,027;

= Р(х=2) = р

(2) = С

= 3*0,9

*0,1

= 0,243;

= Р(х=3) = р

(3) = С

= 1*0,9

*0,1

= 0,729.

Полученные значения помогают сформировать ряд распределения.

0,001

0,027

0,243

0,729

Распределение Пуассона – имеет место, когда производится большое количество испыта-

ний, но вероятность появления события мала.

(

)

−

k !

, где



= np.

Пример 2. Завод отправил на базу 4000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что

в пути изделие проверится, равно 0,0002. Найти закон распределения числа проверенных изделий

(при подсчете используйте таблицу распределения Пуассона). Вариантов случайной величины Х –

числа проверенных изделий должно быть столько, чтобы сумма их вероятностей была близка к 1.

Решение



= np = 4000*0,0002 = 0,8

Возможные значения случайной величины Х:

=0, х

=1, х

=2, х

=3, х

= 4 и т.д. до х

4000

= 4000.

По таблице распределения Пуассона получим:

P(x=0) = 0,449329

P(x=1) = 0,359463

P(x=2) = 0,143785

P(x=3) = 0,038343

P(x=4) = 0,007669

P(x=5) = 0,001227

Закон распределения:

…

4000

0,44932

0,359463

0,143785

0,038343

0,007669

0,001227

…



∑



0,999816



Геометрическое распределение – имеет место, когда производятся независимые испыта-

ния, в каждом из которых вероятность появления события равна р. Испытания заканчива-

ются, как только появляется событие А.

Пример 3. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8.

Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не попадет. Требуется составить закон распределе-

ния дискретной случайной величины Х – числа патронов, выданных стрелку.

Решение

Возможные значения случайной величины Х: х

= 1, х

= 2, х

= 3, … х

=k и т.д.

Вероятности возможных значений:

= p = 0,8

= qp = 0,8*0,2 = 0,16

= q

p = 0,8*0,2

= 0,032 и т.д.

= q

p = 0,8*0,2

k-1

…

0,8

0,16

0,032

…

0,8*0,2

k-1

…

4. Гипергеометрическое распределение

Рассмотрим задачу. Пусть в партии из Nизделий имеется М стандартных. Из партии слу-

чайно отбирают n изделий с одинаковой вероятностью, причем отобранное изделие не возвраща-

ют обратно (поэтому формула Бернулли не работает). Найти вероятность, что среди nотобранных

изделий ровно m стандартных.

(

)

−

Пример 4. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали.

Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение

N = 10 – число деталей в партии;

M = 8 – число стандартных деталей;

n = 2 – числоотобранных деталей;

m – число стандартных деталей среди отобранных.

Возможные значения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди ото-

бранных деталей: х

= 0, х

= 1, х

= 2.

Вероятности возможных значений:

(х=0) =

−

(х=1) =

∗

(х=1) =

∗

/ (

∗

)

Закон распределения:

1/45

16/45

28/45

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

II вариант

Устройство состоит из трех независимо ра-

ботающих элементов. Вероятность отказа

каждого элемента в одном опыте равна 0,1.

а)

Составить закон распределения чис-

ла отказавших элементов в одном опыте.

б)

Чему равна вероятность, что откажет

менее двух приборов в опыте?

в)

Построить многоугольник распреде-

ления.

По мишени проводится три выстрела с веро-

ятностью попадания 0,8.

а)

Найти закон распределения случайной

величины Х – число попаданий в мишень.

б)

Чему равна вероятность, что произве-

дено более одного попадания?

в)

Построить многоугольник распределе-

ния.

Учебник издан тиражом 10000 экземпляров.

Вероятность того, что учебник сброшюро-

ван неправильно, равна 0,0001. Найти закон

распределения

числа

бракованных

книг

Устройство состоит из 1000 элементов, рабо-

тающих независимо один от другого. Вероят-

ность отказа любого элемента в течение опре-

деленного времени равна 0,002. Найти закон

(при подсчете используйте таблицу распре-

деления Пуассона) Вариантов случайной ве-

личины Х - количества бракованных книг

должно быть столько, чтобы сумма их веро-

ятностей была близка к 1.

распределения числа отказавших элементов

(при подсчете используйте таблицу распреде-

ления Пуассона) Вариантов случайной ве-

личины Х – числа отказавших элементов

должно быть столько, чтобы сумма их веро-

ятностей была близка к 1.

Из орудия производится стрельба по цели

до первого попадания. Вероятность попада-

ния в цель р = 0,6.Требуется:

а) составить закон распределения дискрет-

ной случайной величины Х – числа патро-

нов, выданных стрелку;

б) найти наивероятнейшее число выданных

стрелку патронов.

Из орудия производится стрельба по цели до

первого попадания. Вероятность попадания в

цель р = 0,9. Требуется:

а) составить закон распределения дискретной

случайной величины Х – числа патронов, вы-

данных стрелку;

б) найти наивероятнейшее число выданных

стрелку патронов.

В партии из семи деталей имеется три стан-

дартных. Наудачу отобраны три детали.

а)

составить закон распределения дис-

кретной случайной величины Х – числа

стандартных деталей среди отобранных.

б)

найти наивероятнейшее число стан-

дартных деталей среди отобранных.

В партии из восьми деталей имеется пять

стандартных. Наудачу отобраны три детали.

а)

составить закон распределения дис-

кретной случайной величины Х – числа

стандартных деталей среди отобранных.

б)

найти наивероятнейшее число стан-

дартных деталей среди отобранных.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

В каких случаях для независимых испытаний удобно составлять биноминальное распреде-

ление, а в каких – распределение Пуассона?

В каких случаях можно составить геометрическое распределение?

ЛИТЕРАТУРА

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,

2007.

Таблица распределения Пуассона

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №8

ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться определять математическое ожидание, дисперсию и среднее квадра-

тичное отклонение дискретной случайной величины по заданному распределению;

Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо

уметь вычислять характеристики дискретных случайных величин.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных компе-

тенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов,

средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности; ПК 1.4. Участвовать

в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации,

фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной си-

стемы.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Математическое ожидание случайной величины X определяется по формуле:

(

. . .

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная ее закон распределения.

0,1

0,6

0,3

Решение

М(Х) = 3*0,1 + 5*0,6 + 2*0,3 = 3,9

Пример 2. Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

0,6

0,1

0,3

0.8

0.2

Найти математическое ожидание случайной величины ХY.

Решение.

М(Х) = 5*0,6 + 2*0,1 + 4*0,3 = 4,4

M(Y) = 7*0,8 + 9*0,2 = 7,4

M(XY) = 4,4*7,4=32,56

Пример 3. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р

= 0,4; р

= 0,3;

= 0,6. Найти математического ожидание общего числа попаданий.

Решение. Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина Х

, которая может при-

нимать только два значения: 1 – попадание с вероятностью 0,4 и 0 – промах с вероятностью 0,6.

М(Х

) = 0,4

Аналогично М(Х

) = 0,3; М(Х

) = 0,6.

Общее число попаданий есть случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каж-

дом из выстрелов: Х=Х

+Х

М(Х) = М(Х

+Х

) = М(Х

) + М(Х

) = 1,3 попаданий.

Пример 4. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р=0,6. Найти математическое

ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому

рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание М(Х)

= np = 10*0.6 = 6 попаданий.

Дисперсия случайной величины определяется по формуле:

(

−

(

) )

или

(

)−(

(

))

Пример 5. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распре-

деления:

0,1

0,6

0,3

Решение. Найдем математическое ожидание M(X): M (X)=2*0,1+3*0,6+5*0,3+3,5

Математическое ожидание M(X

)=4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3

Искомая дисперсия: D(X)=M(X

)-[M(X)]

=13,3-(3,5)

=1,05

Среднее квадратичное отклонение случайной величины определяется по формуле:

(

√

(

)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

Задание №1. Найдите математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратичное

отклонение

(X).

Вариант 1.

-1

-2

-3

-10

-12

-20

-30

-40

0,1

0,09

0,3

0,009

0,3

0,001

Вариант 2.

-1

-2

-3

-10

-12

-20

-30

-40

0,2

0,3

0,2

0,06

0,1

0,006

0,1

0,034

Вариант 3.

-1

-2

-3

-10

-12

-20

-30

-40

0,1

0,3

0,1

0,005

0,1

0,005

0,3

0,09

Вариант 4.

-1

-2

-3

-10

-12

-20

-30

-40

0,2

0,4

0,1

0,002

0,1

0,09

0,1

0,008

Вариант 5.

-1

-2

-3

-10

-12

-20

-30

-40

0,1

0,2

0,1

0,008

0,2

0,09

0,3

0,002

Вариант 6.

-1

-2

-3

-10

-12

-20

-30

-40

0,3

0,2

0,1

0,003

0,2

0,095

0,1

0,002

Задание №2. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения.

Найти математическое ожидание произведения M (XY) и M (2Y).

Вариант 1.:

Y 0,5

0,2

0,8

0,3

0,7

Вариант 2.

Y 1

1,25

0,6

0,4

0,8

0,2

Вариант 3.

Y 0,65

0,7

0,3

0,5

Вариант 4.

Y 1

1,35

0,1

0,9

0,4

0,6

Вариант 5.

Y 2

1,85

0,4

0,6

0,8

0,2

Вариант 6.

Y 0,4

0,5

0,9

0,1

Задание №3.

Вариант 1. Производится 4 выстрела с вероятностью по падения в цель р

=0,6 р

=0,4, р

=0,5 и

=0,7. Найти математическое ожидание общего числа попадания.

Вариант 2. Производится 4 выстрела с вероятностью по падения в цель р

=0,3 р

=0,4, р

=0,6 и

=0,5. Найти математическое ожидание общего числа попадания.

Вариант 3. Производится 4 выстрела с вероятностью по падения в цель р

=0,1 р

=0,2, р

=0,6 и

=0,9. Найти математическое ожидание общего числа попадания.

Вариант 4. Производится 4 выстрела с вероятностью по падения в цель р

=0,7 р

=0,2, р

=0,8 и

=0,5. Найти математическое ожидание общего числа попадания.

Вариант 5. Производится 4 выстрела с вероятностью по падения в цель р

=0,5 р

=0,4, р

=0,9 и

=0,2. Найти математическое ожидание общего числа попадания.

Вариант 6. Производится 4 выстрела с вероятностью по падения в цель р

=0,3 р

=0,7, р

=0,3 и

=0,5. Найти математическое ожидание общего числа попадания.

Задание №4.

Вариант 1. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти мате-

матическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.

Вариант 2. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,3. Найти мате-

матическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 12 деталей.

Вариант 3. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,7. Найти мате-

матическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 15 деталей.

Вариант 4. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,9. Найти мате-

матическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 18 деталей.

Вариант 5. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,8. Найти мате-

матическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 6 деталей.

Вариант 6. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти мате-

матическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 20деталей.

Задание №5

Вариант 1. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений события в 100 независи-

мых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,7.

Вариант 2. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений события в 130 независи-

мых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,6

Вариант 3. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений события в 150 независи-

мых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,2.

Вариант 4. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений события в 200 независи-

мых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,4.

Вариант 5. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений события в 400 независи-

мых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,8.

Вариант 6. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений события в 250 независи-

мых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,3.

Задание №6

Вариант 1. Случайная величина X может принимать два возможных значения х

с вероятностью

0,3 и х

с вероятностью 0,7, причем х

> x

. Найти х

и х

, зная, что М (Х) = 2,7 и D (X) = 0,21.

Вариант 2. Случайная величина X может принимать два возможных значения х

с вероятностью

0,4 и х

с вероятностью 0,6, причем х

> x

. Найти х

и х

, зная, что М (Х) = 3,4 и D (X) = 0,24.

Контрольные вопросы

Дать определение математического ожидания

Что показывает дисперсия случайной величины?

Как найти среднее квадратичное отклонение?

ЛИТЕРАТУРА

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,

2007.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №9

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ;

НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ И ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕ-

ЛЕНИЯ

Цель работы: научиться определять вероятности значений непрерывных случайных ве-

личин по функции распределения; научиться определять плотность распределения непрерывных

случайных величин по функции распределения и наоборот.

Для выполнения работы необходимо знать виды случайных величин и их характеристи-

ки; необходимо уметь определять функцию распределения и плотность распределения непрерыв-

ных случайных величин.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональной

компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке ме-

тодов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности, ПК 1.4. При-

нимать участие в приемо-сдаточных испытаниях, ПК 2.3. Применять методики тестирования раз-

рабатываемых приложений.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непре-

рывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют

функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x).

(

)

(

)

Пример 1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X. Найти плот-

ность рапределения f(x).

(

)

{

sin x

при

x ≤ 0

x ≤ π

Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

(

)

(

{

, при x

(

sin x

)

, при 0

x ≤

=¿

, при x

{

cos x

при

x ≤ π

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [а,b),

можно найти, используя функцию распределения и плотность распределения.

При вычислении такой вероятности по функции распределения, используется формула P(a

≤

X<b)=F(b) - F(a).

Пример 2. Случайная величина X задана функцией распределения

(

)

{

+¿

при

x ≤

−

x ≤3

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее

интервалу [0,2):

Решение. Так как по условию (вторая строка) на интервале [0,2) F (x) = x/4+1/4, то

P (0



X<2) = F (2) – F (0).

F(2) –F(0) = (2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2.

Получим P (0



X<2)=1/2.

Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал по плотности рас-

пределения, используется формула P(a

≤

X<b)=

∫

(

)

Пример 3. Задана плотность вероятности случайной величины X. Найти вероятность того,

что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу [0,5; 1).

(

)

{

2 x

при

x ≤0

x ≤ 1

Решение. Искомая вероятность

P (0,5



X<1)=

∫

0.5

2 xdx

2 x

0,5

−

0,25

0,75

Зная плотность распределения можно найти функцию распределения по формуле:

F(x) =

∫

−

∞

(

)

Пример 4. Случайная величина задана плотностью распределения. Найти: функцию распре-

деления.

(

)

{

(

sin x

при

x ≤ 0

x ≤ π

Решение

Если -

∞

≤

0, то F(x) =

∫

−

∞

(

)

∫

−

∞

0 dx

=0.

Если 0<x

≤ π

,то

F(x) =

∫

−

∞

(

)

∫

−

∞

0 dx

∫

sin x

−

cos x

)

−

cos x

−(

−

cos x

Если x>

F(x) =

∫

−

∞

(

)

∫

−

∞

0 dx

∫

sin x

∫

0 dx

−

cos x

)

−

cos π

−(

−

cos 0

Ответ:

(

)

{

(

−

cos x

) /

при

x ≤ 0

x ≤ π

π .

Пример 5. Плотность распределения непрерывной случайной величины X в интервале

(-π/2, π/2) равна f(x)=a*cos(x); вне этого интервала f(x)=0. Найти постоянный параметр a.

Решение.

Если функция f(x) представляет собой плотность распредеения вероятностей непрерывной случай-

ной величины, заданной на интервале (a, b), то выполняется условие

∫

(

)

Найдем

∫

– π

∗

cosx dx

∗

sin ⁡

(

)¿

Приравнем результат к единице: 2a = 1. Таким образом, искомый параметр

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

II вариант

Случайная величина X задана функцией

распределения

(

)

{

0 , при х ≤ 2

0,5 x

−

1 , при 2

x ≤ 4

1 , при х

а) Найти плотность распределения f(x).

б) Построить график функций F(x) и f(x)

в) Найти вероятность того, что в результате

испытания X примет значение, заключенное

в интервале [3

; 5

) двумя способами:



по функции F(x)



по функции f(x)

Случайная величина X

задана функцией

распределения

(

)

{

0 , при х ≤2

(

−

)

, при 2

x ≤3

1 , при х

а) Найти плотность распределения f(x).

б) Построить график функций F(x) и f(x)

в) Найти вероятность того, что в результате

испытания X примет значение, заключенное

в интервале [

2,1 ; 2,5

) двумя способами:



по функции F(x)



по функции f(x)

Дана функция распределения непрерывной

случайной величины X

(

)

{

sin 2 x

при

x ≤0

x ≤ π

Найти плотность рапределения f(x).

Дана функция распределения непрерывной

случайной величины X

(

)

{

sin 4 x

при

x ≤ 0

x ≤ π

Найти плотность рапределения f(x).

Задана

плотность

распределения.

Найти

функцию распределения.

(

)

=¿

Задана плотность распределения. Найти

функцию распределения.

(

)

{

0 , если x ≤ π

2 sin 2 x , если π

x ≤ π

0 , если x

Непрерывная случайная величина X задана

плотностью распределения

f(x)=(3/2)sin 3x в интервале (0,

; вне

этого интервала f(x) = 0. Найти вероятность

того, что X примет значение, принадлежа-

щее интервалу (

Непрерывная случайная величина X задана

плотностью распределения

f(x)=(6/5)sin 3x в интервале (0,

; вне это-

го интервала f(x) = 0. Найти вероятность

того, что X примет значение, принадлежа-

щее интервалу (

5*.

Плотность распределения непрерывной слу-

чайной величины X в интервале (0, π/3) рав-

на

f(x)=a*sin(3x);

вне

этого

интервала

f(x)=0. Найти постоянный параметр a.

Плотность распределения непрерывной слу-

чайной величины X в интервале (0, π/2) рав-

на

f(x)=a*sin(2x);

вне

этого

интервала

f(x)=0. Найти постоянный параметр a.

Контрольные вопросы

Какими формулами связаны функция распределения и плотность распределения непрерыв-

ной случайно величины?

По каким формулам можно найти вероятность попадания непрерывной случайной величи-

ны в интервал [а,b)?

Таблица синусов и косинусов

Угол x

3 π

2π

Sin(x)

√

Cos(x)

√

-1

−

√

f(x)

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №10

ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ И ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕ-

ЛЕНИЯ

Цель работы: научиться определять характеристики непрерывных случайных величин.

Для

выполнения

работы

необходимо

знать

виды

случайных

величин

их

характеристики; необходимо уметь

определять числовые характеристики непрерывных

случайных величин.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональной

компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке ме-

тодов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности, ПК 1.4. При-

нимать участие в приемо-сдаточных испытаниях, ПК 2.3. Применять методики тестирования раз-

рабатываемых приложений.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Для непрерывной случайной величины можно определить следующие числовые характеристики:



Математическое ожидание – средневзвешенное по вероятностям значение случайной ве-

личины.

M(X) =

∫

−

∞

(

)

- если возможные значения Х принадлежат всей числовой прямой.



Мода – наиболее вероятное значение случайной величины Х.



Дисперсия – характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожида-

ния.

D(X) =

∫

(

)

−¿ ¿

- если возможные значения X принадлежат интервалу [a, b]

D(X) = M(x

)-(M(x))



Среднее квадратичное отклонение -

(

)

√

(

)

Рассмотрим примеры определения числовых характеристики непрерывных случайных величин.

Пример 1. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения. Найти матема-

тическое ожидание.

f(x) =

{

0 при x

−

1 при 1≤ x

2 ,

−

3 при 2 ≤ x

3 ,

0при x ≥ 3.

Решение

M(X) =

∫

−

∞

(

)

∫

−

∞

0 dx

+¿

∫

(

−

)

∫

(

−

)

∫

∞

0 dx

−

)

3 x

−

) ¿ ¿ ¿

Пример 2. Случайная величина X задана плотностью распределения.

f(x) =

{

0, x

0,5 sin x , x

∈

(

0 ; π

)

0 , x ≥ π

Найти математическое ожидание и моду.

Решение

Математическое ожидание:

M(X) =

∫

−

∞

(

)

= 0,5

∫

xsinxdx

Для нахождения интеграла используем формулу интегрирование по частям.

U = x

dU = dx

∫

UdV

−

∫

VdU

dV = sinxdx

V = -cosx

∫

xsinxdx

(−

cosx

)

−

∫

(

−

cosx

)

(

−

cosπ

)

−

sin ⁡x

(

sinπ

−

sin 0

)

M(X) = 0,5

∫

xsinxdx

0,5

∗

Мода:

(0,5sinx)’ = 0,5 cosx

0,5cos x = 0

cosx = 0 при x =

πk

– критические точки данной функции на всей числовой прямой

x =

[

0 , π

]

– критическая точка в рассматриваемом интервале

Проверим точку x =

на максимум:

Т.к. в точке x =

производная меняет знак с“+”на“-“, то в этой

точке плотность вероятности будет максимальна.

Мода: m =

Пример 3. Случайная величина задана плотностью распределения:

f(x) =

{

0 , при x

←

3 x

, при

−

1≤ x ≤0

0, при x

Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной ве-

личины.

Решение

1. Найдем математическое ожидание: M(X) =

∫

−

∞

(

)

∫

−

3 x

−

=−

2. Определим дисперсию.

D(X) =

∫

−

∗

3 x

−(

−

)

∫

−

3 x

−

∫

−

3 x

−

(

−

∗

(

−

)

−

0.6

−

0.5625

0,0375.

Среднее квадратичное отклонение:

(

)

√

(

√

0,0375

0,19

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

Случайная величина задана плотностью распределения:

(

)

{

0 , при x

←

4 x

, при

−

2≤ x ≤2

0 , при x

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение этой слу-

чайной величины

Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения

(

)

{

0 , при x

2 x , при 0 ≤ x

−

2 x , при 1≤ x

0 , при x ≥2

Найти математическое ожидание. Построить график f(x).

Случайная величина задана функцией распределения:

(

)

{

0 , при x

←

−

4 x , при 1≤ x ≤2

1 , при x

Найти моду этой случайной величины

Случайная величина Х задана плотностью распределения:

(

)

{

0, при x

sin

(

)

, при 0 ≤ x ≤ π

0 , при x

Найти математическое ожидание и моду.

II вариант

Случайная величина задана плотностью распределения:

(

)

{

0 , при x

←

4 x

, при

−

1 ≤ x ≤1

0 , при x

Найти дисперсию и среднеквадратичное отклонение этой случайной величины

Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения

(

)

{

0 , при x

x , при 0 ≤ x

−

, при 2 ≤ x

0 , при x ≥ 4

Найти математическое ожидание. Построить график f(x).

Случайная величина задана функцией распределения:

(

)

{

0 , при x

←

−

2 x , при 1 ≤ x ≤ 2

1 , при x

Найти моду этой случайной величины

Случайная величина Х задана плотностью распределения:

(

)

{

0 , при x

2 sin

(

)

, при 0≤ x ≤ π

0 , при x

Найти математическое ожидание и моду.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Чем отличаются формулы для нахождения математического ожидания дискретной и не-

прерывной случайных величин?

Что характеризуется медиана непрерывной случайной велчины?

ЛИТЕРАТУРА

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,

2007. – 480 с.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №11

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ НОРМАЛЬНО, РАВНОМЕРНО И ПОКАЗАТЕЛЬ-

НО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться вычислять вероятности для случайных величин, имеющих нормаль-

ное, равномерное и показательное распределения.

Для выполнения работы необходимо знать: виды случайных величин, их характеристики и

распределения; необходимо уметь: определять вид распределения непрерывной случайной ве-

личины, вычислять вероятность попадания непрерывной случайной величины в определенный ин-

тервал.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональной компе-

тенции ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов,

средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Среди непрерывных случайных величин особого внимания заслуживают величины, имеющие

один из следующих законов распределения: равномерный, показательный, нормальный.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, ко-

торое описывается плотностью:

(

)

√

2 π

∙ e

−(

−

)

2σ

где μ – математическое ожидание; σ – среднеквадратичное отклонение.

Вероятность попадания в интервал нормально распределенной случайной величины равна:

Р(α < X < β) = Ф(

−

- Ф (

−

, где Ф – функция Лапласа (определяется по таблице)

Пример 1. Время загрузки Web-страницы распределено нормально, причем его математическое

ожидание равно μ = 7 с, а стандартное отклонение σ = 2 с. Определите вероятность того, что время

загрузки лежит в интервале 7 – 9 секунд.

Решение

По условию,



= 7,



= 9, μ = 7,



= 2. Следовательно,

P(7<X<9) = Ф(

−

– Ф(

−

= Ф(1) – Ф(0) = 0,3413 – 0 = 0,3413.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат

все возможные значения случайной величины, плотность вероятности постоянна.

Плотность равномерного распределения f(x) определяется формулой:

(

)

{

0 , при x ≤ a

−

, при a

x ≤b

0 , при x

Вероятность

попадания

интервал

равномерно

распределенной

случайной величины

(

−

Пример 2. Известно, что передатчик может начать работу в любой момент времени между 12 и 14

часами. Какова вероятность того, что начало передачи придется ждать не более 15 минут (0,25

часа).

Решение. Пусть Х(ч) – время начала работы передатчика. Поскольку передача может начаться в

любой момент между 12 и 14 часами и все моменты равновозможны, то Х – случайная величина

распределенная равномерно.



= 12,



= 12,25, а = 12, b = 14

Р(12<x<12,25) =

12.25

−

0.25

0.125

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной

случайной величины Х, которое описывается плотностью:

(

)

{

0 при x ≤0

λ e

−

λx

при x ≥ 0

, где λ – постоянная положительная величина

Функция показательного распределения определяется формулой:

(

)

{

0 при x ≤ 0

−

λx

при x ≥0

Пример 3. Написать плотность, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию

показательного закона, если параметр λ = 8.

Решение

Искомая плотность распределения равна:

(

)

{

0при x ≤ 0

8 e

−

8 x

при x ≥0

Функция распределения:

(

)

{

0 при x ≤0

−

при x ≥ 0

Математическое ожидание М(х) = 1/λ = 1/8

Дисперсия D = 1/λ

= 1/64

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

Задание 1. Решите предложенные задачи

I вариант (на «3»)

Передатчик может начать работу в любой момент времени между 10 и 12 часами. Какова

вероятность того, что начало передачи придется ждать не более 30 минут. Найти математи-

ческое ожидание и стандартное отклонение.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределен-

ной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Построить график нормально распре-

деленной случайной величины. Найти вероятность того, что в результате испытания X при-

мет значение, заключенное в интервале (4,8).

Написать плотность, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию по-

казательного закона, если параметр λ = 5.

II вариант (на «3»)

Передатчик может начать работу в любой момент времени между 14 и 16 часами. Какова

вероятность того, что начало передачи придется ждать не более 45 минут.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределен-

ной случайной величины соответственно равны 4 и 2. Построить график нормально распре-

деленной случайной величины. Найти вероятность того, что в результате испытания X при-

мет значение, заключенное в интервале (4,6).

Написать плотность, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию по-

казательного закона, если параметр λ = 7.

III вариант (на «4»)

Автобусы маршрута №5 идут строго по расписанию. Интервал движения – 5 минут. Найти

вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать автобус менее 3

минут. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределен-

ной случайной величины соответственно равны 10 и 2. Построить график нормально рас-

пределенной случайной величины. Найти вероятность того, что в результате испытания X

примет значение, заключенное в интервале (12,14).

Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение с

параметром λ = 0,02. Написать плотность, функцию распределения, математическое ожида-

ние и дисперсию показательного закона. Найти вероятность того, что за время длительно-

стью t = 100 ч элемент откажет.

IV вариант (на «4»)

Автобусы маршрута №5 идут строго по расписанию. Интервал движения – 5 минут. Найти

вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать автобус более 3

минут. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределен-

ной случайной величины соответственно равны 20 и 5. Построить график нормально рас-

пределенной случайной величины. Найти вероятность того, что в результате испытания X

примет значение, заключенное в интервале (15,25).

Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение с

параметром λ = 0,005. Написать плотность, функцию распределения, математическое ожи-

дание и дисперсию показательного закона. Найти вероятность того, что за время длитель-

ностью t = 200 ч элемент откажет.

V вариант (на «5»)

Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются

до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана аб-

солютная ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

Процент содержания золы в угле является нормально распределенной случайной величи-

ной с математическим ожиданием 16% и средним квадратическим отклонением 4%. Опре-

делить вероятность того, что в наудачу взятой пробе угля будет от 12 до 24% золы.

Пусть Х (часть) – время, необходимое для выполнения теста по математике, удовлетворяет

показательному распределению с параметром λ=0,25. Написать плотность, функцию рас-

пределения, математическое ожидание и дисперсию показательного закона. Вычислить ве-

роятность того, что время, необходимое для выполнения теста, не превысит 4 часов.

Задание 2. Постройте в электронной таблице кривую Гаусса

Столбец А заполняется при помощи автозаполнения значениями от 19,8 до 28,8 с шагом 0,5.

Для заполнения столбца B используется стандартная функция группы Статистические: НОРМ.

РАСП

Для построения графика функции используется Мастер диаграмм (тип диаграммы – График с

маркером).

Меняя значения математического ожидания и дисперсии распределения, получите различные

кривые — «колокола»: крутые или пологие

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Приведите примеры действия нормального и показательного закона распределений в жиз-

ни.

ЛИТЕРАТУРА

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,

2007. – 480 с.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №12

ПОСТРОЕНИЕ ДЛЯ ЗАДАННОЙ ВЫБОРКИ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И

ЕГО ГРАФИКА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться строить статические распределения и графически их изобра-

жать; научиться определять числовые характеристики выборок.

Для выполнения работы необходимо знать: виды случайных величин, их характеристики и

распределения; необходимо уметь: определять вид распределения непрерывной случайной ве-

личины, вычислять вероятность попадания непрерывной случайной величины в определенный ин-

тервал.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональной

компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке ме-

тодов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности, ПК 1.4. При-

нимать участие в приемо-сдаточных испытаниях, ПК 2.3. Применять методики тестирования раз-

рабатываемых приложений.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Ранжирование предполагает упорядочение данных выборки. В результате ранжирования

по возрастанию получается вариационный ряд. Проранжированные данные удобнее записать в

виде таблицы, в которой указывается перечень вариант и их частот (относительных частот). Такая

таблица называется таблицей частот (относительных частот) или статистическим распре-

делением. Статистические распределения можно также записывать в виде последовательности ин-

тервалов и соответствующих им частот.

Для наглядности строятся графики статистического распределения: полигон и гистограмму.

Полигоном частот (относительных частот) называется ломаная, отрезки которой со-

единяют точки с абсциссами равными вариантам и ординатами, равными частотам (относитель-

ным частотам) соответствующих вариантов.

Гистограммой частот (относительных частот) называется ступенчатая фигура, состо-

ящая из прямоугольников, основаниями которых случат частичные интервалы длиной h, а высоты

равны отношению n/h (W/h).

Пример 1. Дан статистический ряд: 2 2 3 3 3 3 4 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 2 2 3 2 4 5 2 3 3 2 4 3 2 3 4 3 3

2 3 5 3.

а) построить для него вариационный ряд; б) построить статистическое распределение для частот и

относительных частот; в) дополнить статистическое распределение накопленными частотами;

г) построить полигон частот и относительных частот.

Решение

а) Для получения вариационного ряда сгруппируем одинаковые значения исходного ряда и запи-

шем их в порядке возрастания: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4

5 5.

б) Подсчитав частоты каждой варианты, построим статистическое распределение. Для нахождения

относительных частот используем формулу: W

= n

/n (где n – объем выборки). В нашем примере n

= 40.

0,35

0,475

0,125

0,05

в) Накопленная частота S

показывает, какая доля чисел статистического ряда не превышает дан-

ного значения. Накопленные частоты получаются из относительных частот накопительным сум-

мированием.

0,35

0,475

0,125

0,05

0,35

0,825

0,95

г) Построим полигон частот, отложив по оси абсцисс значения x

, а по оси ординат - n

. Аналогич-

но построим полигон относительных частот.

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,35

0,48

0,13

0,05

Пример 2. На школьниках 1-го «А» класса было проведено исследование для выяснения

того, сколько весит портфель первоклассника. В результате взвешиваний был получен следующий

статистический ряд (масса каждого портфеля в кг): 2,1; 2,45; 1,9; 2,6; 3,1; 1,95; 3,4; 4,3; 1,15; 2,7;

2,2; 3,2; 2,4; 2,2; 1,8; 1,5; 2,4; 2,25; 2,6; 1,75.

а) постройте статистический ряд в виде интервальной таблицы частот, определите относительные

частоты на каждом интервале.

б) постройте гистограмму частот и относительных частот.

Решение

а) Для построения статистического ряда данных в виде интервальной таблицы частот разобьем все

значения выборки на равные промежутки по 1 кг и подсчитаем число попаданий в каждый из них.

Для нахождения относительных частот используем формулу: W

= n

/n. В нашем примере n = 20.

1-2

2-3

3-4

4-5

0,3

0,5

0,15

0,05

б) Для построения гистограммы частот определим для каждого интервала его длину h и плотность

частоты (n

/h).

h = 1 (определяется как разность x

интервала); n

/h=6/1=6; n

/h=10/1=10; n

/h=3/1=3; n

/h=1/1=1.

n/h

Аналогично строится гистограмма относительных частот.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

Задание 1. Дан числовой ряд, представляющий итоговые оценки по математике студентов 1 курса:

3 4 5 4 4 3 5 4 4 3 5 4 5 3 3 4 4 4 5 3 3 5 5 4 5.

а) построить для него вариационный ряд; б) построить статистическое распределение для частот и

относительных частот; в) дополнить статистическое распределение накопленными частотами;

г) построить полигон частот и относительных частот.

Задание 2. В отделе мужской обуви универмага в течение дня производился учет стоимости про-

данной обуви. Были получены следующие результаты (в рублях):

1200, 1110, 2300, 890, 320, 1200, 560, 1340, 1400, 1050, 1050, 4700, 3200, 2900, 2100, 2450, 890,

1110, 1200, 1200, 2300, 1050, 1400, 1200, 890, 320, 1320, 890, 1100, 1050

а) Представьте эти данные в виде интервальной таблицы абсолютных и относительных частот,

разбив диапазон цен от 0 до 5000 рублей на интервалы длиной по 1000 рублей.

б) постройте гистограмму частот и относительных частот.

II вариант

Задание 1. Дана случайная выборка из 25-ти учеников 8-го класса с данными об их росте:

166 165 163 166 168 165 168 170 165 165 165 165 164 168 165 164 161 166 166 167 164 163 168 167 1

67.

а) построить для него вариационный ряд; б) построить статистическое распределение для частот и

относительных частот; в) дополнить статистическое распределение накопленными частотами;

г) построить полигон частот и относительных частот.

Задание 2. Перед вами выборка, полученная по результатам изучения обменного курса доллара в

20-ти обменных пунктах города: 26,45; 26,4; 26,41; 26,45; 26,66; 26,53; 26,55; 26,44; 26,8; 26,67;

26,77; 26,43; 26,7; 26,6; 26,68; 26,58; 26,55; 26,54; 26,57; 26,59

а) Разбейте весь интервал от 26,4 до 26,9 на пять интервалов, сгруппируйте данные и постройте по

ним интервальную таблицу частот.

б) постройте гистограмму частот и относительных частот.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

В чем суть выборочного метода? Чем отличается выборочная совокупность от генераль-

ной?

ЛИТЕРАТУРА

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,

2007. – 480 с.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №13

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ТОЧЕЧНОЙ ОЦЕНКИ

Цель работы: научиться определять числовые характеристики выборок и определять точечные

оценки.

Для выполнения работы необходимо знать

виды числовых характеристик выборок и

формулы для их определения, виды точечных оценок; необходимо уметь определять числовые

характеристики выборок и точечные оценки.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных

компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке ме-

тодов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности, ПК 1.4. При-

нимать участие в приемо-сдаточных испытаниях, ПК 2.3. Применять методики тестирования раз-

рабатываемых приложений.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Пусть выборка задана в виде таблицы частот.

…

Для нахождения числовых характеристик используются следующие формулы:

Среднее:

…

. Для интервальной таблицы в качестве варианты х берет-

ся середина интервала.

Мода (модальный интервал) – значение варианты х с большей частотой.

Медиана – значение варианты х, находящейся в середине ряда.

Если вариационный ряд содержит нечетное количество чисел, то нужно взять число,

которое находится ровно посередине. Если же ряд содержит четное количество чи-

сел, то нужно взять два средних числа и найти их полусумму.

При нахождении медианы по таблице частот нужно найти первое значение накоп-

ленной частоты, превосходящее 0,5, и выбрать соответствующее ему значение чи-

слового ряда. Если ряд имеет четное число слагаемых, тогда ровно посредине вариа-

ционного ряда будут находиться два значения: то, для которого накопленная частота

равна 0,5, и следующее за ним. Для вычисления медианы нужно взять их полусум-

му.

Для вычисления медианы по интервальной таблице частот используют пропорцио-

нальное деление отрезка, на котором происходит «перевал» накопленной частоты

через 0,5.

Если границы интервала обозначить за х

нач

и х

кон

, накопленные частоты на этих гра-

ницах за S

нач

и S

кон

, то медиана d вычисляется по формуле:

−

нач

кон

−

нач

0,5

−

нач

кон

−

нач

Дисперсия:

=¿¿ ¿ ¿

или D =

−¿

. Для интервальной таблицы в качестве варианты х бе-

рется середина интервала.

Среднее квадратическое отклонение:

√

Точечной называется статистическая оценка, которая определяется одним числом Θ* = f(x

, … x

), где x

, x

, … x

– результаты n наблюдений над признаком Х.

Несмещенной называется точечная оценка, математическое ожидание которой рав-

но оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называется точечная оценка, математическое ожидание которой не рав-

но оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя:

…

Смещенной оценкой генеральной дисперсии является выборочная дисперсия:

=¿ ¿ ¿¿

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия:

−

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

Для выборки 7; 3; 3; 6; 4; 5; 1; 2; 1; 3 определить среднее, моду и медиану.

Дано статистическое распределение выборки:

0,1

0,5

0,6

0,8

Определить среднее, моду, медиану, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

В таблице приведены результаты измерения роста случайно отобранных 100 студентов:

Рост

154-158

158-162

162-166

166-170

170-174

174-178

178-182

Число сту-

дентов

Определите среднее, моду, медиану и дисперсию роста обследованных студентов.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n = 50. Найти несмещенную

оценку генеральной средней.

По выборке объема n = 51 найдена смещенная оценка D

= 5 генеральной дисперсии. Найти

несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

II вариант

Для выборки 1; 2; 3; 4; 5; 5; 9; 6; 4 определить среднее, моду и медиану.

Дано статистическое распределение выборки:

18,4

18,6

19,3

19,6

Определить среднее, моду, медиану, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

В таблице приведены данные о росте участников легкоатлетических соревнований:

Рост

160-165

165-170

170-175

175-180

180-185

185-190

Число участ-

ников

Определите среднее, моду, медиану и дисперсию роста обследованных студентов.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n = 60. Найти несмещенную

оценку генеральной средней.

По выборке объема n = 41 найдена смещенная оценка D

= 3 генеральной дисперсии. Найти

несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

ЛИТЕРАТУРА

Спирина М. С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для

студентов учреждений среднего профессионального образования – М.: «Академия», 2012. –

352 с.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической

статистике: учебное пособие. – М.: Высшая школа, 2007. – 400 с.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №14

ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ НОРМАЛЬНОГО

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться оценивать математическое ожидание генеральной дисперсии.

Для выполнения работы необходимо знать

виды числовых характеристик выборок и

формулы для их определения, интервальные оценки; необходимо уметь определять числовые

характеристики выборок и интервальные оценки.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных

компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке ме-

тодов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности, ПК 1.4. При-

нимать участие в приемо-сдаточных испытаниях, ПК 2.3. Применять методики тестирования раз-

рабатываемых приложений.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интерва-

ла. Доверительный интервал – это интервал, в который с заданной вероятностью попадет неиз-

вестное значение оцениваемого параметра распределения.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения

при известной дисперсии имеет следующий смысл: с надежностью γ можно утверждать, что дове-

рительный интервал (

– tσ/

√

+ tσ/

√

) покрывает неизвестный параметр а; точность оценки δ =

tσ/

√

– tσ/

√

< a <

+ tσ/

√

) = 2Ф(t) = γ

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения

при неизвестной дисперсии имеет следующий вид:

– t

*s/

√

< a <

+ t

*s/

√

) = γ, где s - «исправленное» выборочное среднее квадратиче-

ское отклонение, t

находят по таблице приложения по заданным n и γ.

Пример 1. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним

квадратическим отклонением σ = 3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного ма-

тематического ожидания а по выборочным средним

, если объем выборки n = 36 и задана надеж-

ность оценки γ = 0,95.

Решение

Найдем t. Из соотношения 2Ф(t) = 0,95 получим Ф(t) = 0,475. По таблице приложения 2 нахо-

дим t = l,96.

Найдем точность оценки: δ = tσ/

√

= 1.96*3/

√

= 0,98

Получим доверительный интервал: (

– 0,98;

+ 0,98).

Пример. 2 Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально.

По выборке объема n = 16 найдены выборочная средняя

= 20,2 и «исправленное» среднее квад-

ратическое отклонение s = 0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи дове-

рительного интервала с надежностью 0,95.

Решение

Найдем t

. Пользуясь таблицей приложения при γ = 0,95 и n = 16, получим t

= 2,13.

Найдем доверительные границы:

– t

*s/

√

=20,2 – 2,13*0,8/

√

= 19,774.

+ t

*s/

√

=20,2 +2,13*0,8/

√

= 20,626.

Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале

19,774 < а < 20,626.

Интервальной оценкой (с надежностью γ) неизвестной вероятности р биномиального

распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал: P

< Р < Р

∗[

−

√

(

−

)

(

2 n

)

]

∗[

√

(

−

)

(

2 n

)

]

где n – общее число испытаний; m – число появлений события; w – относительная частота,

равная отношению m/n; t – значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t)= γ/2 (у – за-

данная надежность).

Пример 1. Производят независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью

Р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероят-

ности Р с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз.

Решение. По условию, n = 80, m=16, γ = 0,95. Найдем относительную частоту появления со-

бытия А:

w = m/n = 16/80 = 0,2.

Найдем t из соотношения Ф (t) = γ/2 = 0,95/2 =0,475; по таблице функции Лапласа находим

t = 1,96.

Подставив n = 80, w = 0,2, t = 1,96 в формулы для p

и p

, получим соответственно р

= 0,128,

=0,299.

Искомый доверительный интервал 0,128< р< 0,299.

При больших значениях n (порядка сотен) в качестве приближенных границ доверительного

интервала можно принять выражения:

−

√

(

−

)

√

(

−

)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математиче-

ского ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если

генеральное среднее квадратическое отклонение σ = 5, выборочная средняя

= 14 и объем

выборки n = 25.

По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины

найдены среднее арифметическое результатов измерений

= 30,1 и «исправленное» сред-

нее квадратическое отклонение s = 6. Оценить истинное значение измеряемой величины с

помощью доверительного интервала с надежностью γ = 0,99. Предполагается, что результа-

ты измерений распределены нормально.

Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность

горения лампы выборки оказалась равной 1000ч. Найти с надёжностью 0,95 доверительный

интервал для средней продолжительности а горения лампы всей партии, если известно, что

среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы 40ч.

Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появ-

ления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероят-

ности р с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие А появилось 15 раз.

Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление

выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности

автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверитель-

ный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежно-

стью Y = 0,999.

II вариант

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математиче-

ского ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если

известны генеральное среднее квадратическое отклонение σ = 4, выборочная средняя

10,2 и объем выборки n = 16.

По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины

найдены среднее арифметическое результатов измерений

= 42,8 и «исправленное» сред-

нее квадратическое отклонение s = 1. Оценить истинное значение измеряемой величины с

помощью доверительного интервала с надежностью γ = 0,95. Предполагается, что результа-

ты измерений распределены нормально.

Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок из-

мерений 40м произведено 5 равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти

доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надёжностью 0,95,

зная среднее арифметическое результатов измерений 2000м.

Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появ-

ления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероят-

ности р с надежностью 0,99, если в 100 испытаниях событие А появилось 60 раз.

Произведено 300 испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность р появления

события А постоянна. Событие А появилось в 250 испытаниях. Найти доверительный ин-

тервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Что такое доверительный интервал?

Какая зависимость является корреляционной?

ЛИТЕРАТУРА

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,

2007. – 480 с.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №15

ПОСТРОЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ РЕГРЕССИИ.

Цель работы: научиться строить выборочное уравнение прямой линии регрессии методом наи-

меньших квадратов.

Для выполнения работы необходимо знать основы корреляционного анализа; необходимо

уметь определять выборочное уравнение прямой линии регрессии.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных

компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке ме-

тодов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности, ПК 1.4. При-

нимать участие в приемо-сдаточных испытаниях, ПК 2.3. Применять методики тестирования раз-

рабатываемых приложений.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х имеет вид: y = ρx + b,

где

∑

−

∑

−¿¿ ¿

– выборочный коэффициент регрессии Y на Х

∑

−

∑

−¿ ¿¿

– свободный член

Пример 1. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным пяти на-

блюдений:

1.0

1.5

3.0

4.5

5.0

1.25

1.4

1.5

1.75

2.25

Решение

Составим расчетную таблицу:

1.25

1.0

1.25

1.5

1.4

2.25

2.1

3.0

1.5

9.0

4.5

1.75

20.25

7.875

5.0

2.25

25.0

11.25

Σx = 15

Σy = 8.15

Σx

= 57.5

Σxy = 26.975

Найдем выборочный коэффициент регрессии и свободный член:

∗

26,975

−

∗

8,15

∗

57,5

−

0,202

57.5

∗

8.15

−

∗

26.975

∗

57,5

−

1.024

Получаем уравнение регрессии: Y = 0.202x +1.024

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии по данным n=8 наблюдений, кото-

рые получены при изучении зависимости количества продаж товара у от затрат на рекламу

этого товара х:

1,5

4,0

5,0

7,0

8,5

10,0

11,0

12,5

12,8

13,2

5,0

4,5

7,0

6,5

9,5

9,0

11,0

9,0

9,8

11,2

Построить график по результатам измерений, на этом же графике построить найденное вы-

борочное уравнение прямой линии регрессии.

Реализовать задачу 1 в программе Microsoft Excel.

II вариант

Исследование зависимости между среднемесячными доходами X на семью (в тыс. у.е.) и

расходами Y на покупку кондитерских изделий (в у.е.) представлено в таблице:

4,8

3,8

5,4

4,2

3,4

4,6

3,4

4,8

5,0

3,8

Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии.

Построить график по результатам измерений, на этом же графике построить найденное вы-

борочное уравнение прямой линии регрессии.

Реализовать задачу 1 в программе Microsoft Excel.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Какая зависимость является корреляционной?

ЛИТЕРАТУРА

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,

2007. – 480 с.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №16

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НЕОРИЕНТИРОВАННЫХ ГРАФОВ. РЕШЕНИЕ ЗА-

ДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ГРАФОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться определять основные характеристики графов и решать задачи

с их применением.

Для выполнения работы необходимо знать основные понятия теории графов; необходи-

мо уметь: определять характеристики графов, осуществлять операции над графами, определять

вид графа, решать задачи с применением графов.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных

компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке ме-

тодов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Графом G = (V, E) называется множество V – множество вершин и Е – множество ребер.

Если у ребер не указано направление, то такой граф называется неориентированным, у ориенти-

рованного графа каждое ребро имеет направление.

Степенью вершины графа deg(V) называется количество ребер ей инцидентных.

Путем в графе называется последовательность ребер, по которым можно двигаться по гра-

фу, причем каждое ребро должно встречать не более одного раза.

Простым путем называется путь, в котором нет повторяющихся вершин.

Циклом называется путь, соединяющий вершину саму с собой и не содержащий повторяю-

щихся ребер. В простом цикле не содержится повторяющихся вершин.

Операции над графами:

Объединение графов включает все вершины и ребра, которые содержатся в исходных

графах.

Пересечение графов включает только одинаковые вершины и ребра, которые содержатся

в исходных графах.

Кольцевая сумма содержит объединение графов без их пересечения.

Дополнение содержит те вершины и ребра, которые не хватает исходному до полного

графа.

Эйлеровым графом называется граф, содержащий эйлеров цикл (цикл, содержащий все ре-

бра графа только один раз).

Гамильтоновым графом называется граф, содержащий гамильтонов цикл (цикл, проходя-

щий через каждую вершину только один раз).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

Задание 1. Имеется граф G = (V, E) , где V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = {(1,2), (1,3), (1,4), (3,2), (3,5),

(3,6), (4,6)}.

а) Изобразите графически в виде неориентированного графов.

б) Определите степень каждой вершины неориентированного графа

Задание 2. Имеется граф с множеством вершин {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; ниже в таблице для каждой вер-

шины перечислены смежные с ней вершины:

4, 5, 7

3, 6

2, 4, 5, 7

1, 3

1, 3, 6

5, 2, 7

1, 3, 6

а) изобразить графически в виде неориентированного графа;

б) привести пример простого пути в этом графе;

в) цикла в этом графе, не являющегося простым циклом

г) простого цикла в этом графе.

Задание 3. Даны два графа G1 = (V1, E1) и G2 = (V2, E2)

Изобразите геометрически объединение графов

∪

;

пересечение графов

∩

и коль-

цевую сумму

⊕

Задание 4. Изобразите дополнения графов:

Здание 5. Какой граф, представленный на рисунке является эйлеровым или гамильтоновым?

Задание 6. Из пункта А в пункт В выехали пять машин одной марки разного цвета: белая, чёрная,

красная, синяя, зелёная. Чёрная едет впереди синей, зелёная – впереди белой, но позади синей,

красная впереди чёрной. Какая машина едет первой и какая последней?

Задание 7. В некоторой местности через протоки переброшено 15 мостов. Изобразите схему с по-

мощью графа, где вершины – это участки суши, а ребра – мосты. Можно ли обойти все мосты,

проходя по каждому из них только один раз? Докажите это теоретически, если можно, то укажите

такой путь. Какой тип графа вы получили?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Какие существуют виды графов? Охарактеризуйте каждый вид.

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно,

что: Вода и молоко не в бутылке. Сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с

квасом. В банке не лимонад и не вода. Стакан стоит между банкой и сосудом с молоком. В

каком сосуде находится, какая из жидкостей?

ЛИТЕРАТУРА

Татт У. Теория графов. Пер. с англ. – М.: Мир, 2005.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 17

НАХОЖДЕНИЕ МАТРИЦ ИНЦИДЕНТНОСТИ И СМЕЖНОСТИ ГРАФОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться определять матрицы инцидентности и смежности графов.

Для выполнения работы необходимо знать основные понятия теории графов; необходи-

мо уметь: решать задачи с применением графов.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных

компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке ме-

тодов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 180 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Графы можно представить в аналитической форме либо матрицей смежности, либо матрицей

инцидентности.

Матрица смежности S — это квадратная матрица, в которой число строк и число столбцов

равно n - числу вершин графа. В ячейки матрицы смежности записываются некоторые числа в за-

висимости от того, соединены соответствующие вершины рёбрами или нет, и от типа графа.

Элемент матрицы смежности s

неориентированного графа определяется следующим об-

разом:

- равен единице, если вершины v

и v

смежны;

- равен нулю, если вершины v

и v

не смежны.

Если для элемента матрицы v

имеет место i = j, то есть элемент находится на диагонали, то

этот элемент равен единице, если этот элемент имеет петлю, и нулю, если элемент не имеет петли.

Пример 1. Составить матрицу смежности для графа, представленного на рисунке ниже.

Ответ.

Матрица смежности неориентированного графа симметрична относительно главной диагонали.

Если в графе есть вершины, соединённые между собой несколькими рёбрами, то элемент матрицы

смежности s

равен числу рёбер, соединяющих вершины v

и v

. Из этого следует, что если верши-

ны v

и v

не соединены рёбрами, то элемент матрицы смежности s

равен нулю.

Пример 2. Составить матрицу смежности для графа, представленного на рисунке ниже.

Ответ.

Матрица инцидентности H - это матрица размера n x m, где n - число вершин графа, m -

число рёбер графа. Обычно в матрице инцидентности строки соответствуют вершинам графа, а

столбцы - рёбрам графа.

Матрица инцидентности для неориентированного графа

Элемент матрицы инцидентности для неориентированного графа h

определяется следую-

щим образом:

- равен единице, если вершина v

инцидентна ребру e

;

- равен нулю, если вершина v

не инцидентна ребру e

Пример 3. Составить матрицу инцидентности для графа, представленного на рисунке ниже.

Ответ.

1-2

1-3

2-4

2-5

3-5

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

I вариант

Найти матрицы инцидентности следующих графов.

А)

б)

в)

2. Найти матрицы смежности графов из первого задания.

3. Найти соответствующий граф для а) матрицы смежности; б) матрицы инцидентности

А)

Б)

II вариант

Найти матрицы инцидентности следующих графов.

А)

б)

в)

2. Найти матрицы смежности графов из первого задания.

3. . Найти соответствующий граф для а) матрицы смежности; б) матрицы инцидентности

А)

Б)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Чем отличаются матрицы инцидентности и смежности?

ЛИТЕРАТУРА

Татт У. Теория графов. Пер. с англ. – М.: Мир, 2005.

В раздел образования

Альманах педагога

Сборник методических указаний для проведения практических занятий по Дисциплине ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика