Авторы: Аксашева Татьяна Ивановна, Садыков Николай Бабаниязович
Должность: учитель математики
Учебное заведение: ГБОУ СО "СКШ №2 имени В.В Талалихина".
Населённый пункт: город Саратов, Саратовская область
Наименование материала: ЕГЭ :" Планиметрия"
Тема: типовые задания ЕГЭ
Раздел: полное образование
Вариант 1 Планиметрия
1.
Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины
диагоналей трапеции.
2.
Периметр прямоугольника равен 8, а площадь
равна
3,5.
Найдите
диагональ
этого
прямоугольника.
3.
Найдите синус угла АОВ. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2
√
2
.
4. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее
площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.
5.
Острые углы прямоугольного треугольника равны 53° и 37° . Найдите угол между
высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в
градусах.
6.
Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен
35°.
Найдите
величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.
7.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 24,
средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.
8.
Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.
9. У
гол ACO равен 35°, где O — центр окружности.
Его сторона CA каса-
ется
окружности.
Найдите
величину
меньшей
дуги AB
окружности,
заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в
градусах.
10.
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 30°,
угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
Вариант 2 6. Планиметрия
В
1. Сторона правильного треугольника равна
√
3.
Найдите радиус окружности, вписанной в этот
треугольник.
2. Две стороны параллелограмма относятся как 9:11, а периметр его
равен 40. Найдите большую сторону параллелограмма.
3. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая
дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 152°.
Ответ дайте в градусах.
4. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с
центром O. Угол AOD равен 66°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в
градусах.
5. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 44. Найдите
высоту этого треугольника.
6. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
, считая стороны
квадратных клеток равными 1.
7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых
сторон на два отрезка, длины которых равны 9 и 4, считая от вершины,
противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
8. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на
2 больше другого. Найдите меньший катет.
9. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 52, средняя
линия равна 21. Найдите боковую сторону трапеции.
10. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник,
равен 31. Найдите высоту этого треугольника.
Вариант 3 6. Планиметрия
1. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°.
Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота
которого равна 6.
3. В треугольнике АВС АС = ВС = 4
√
15
, cos ВАС = 0,25. Найдите высоту АН.
4. В ромбе ABCD угол DAB равен 136°. Найдите угол BDC. Ответ дайте в градусах.
5. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, АС = 3, cos А =
1
6
.
Найдите ВН.
6. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые
стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 25, BH = 20.
Найдите
8. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.
9. В треугольнике АВС АС = ВС = 4, угол С
равен 30°. Найдите высоту АН.
10. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 86°, CD —
биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на
прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая
точка E, что CE = CB. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах
Вариант 4 6. Планиметрия
1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, АВ = 15, tg А =
4
3
. Найдите BH.
2. Угол ACB равен 42°. Градусная величина дуги AB окружности, не
содержащей точек D и E, равна 124°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в
градусах.
3. Сторона ромба равна 20,
острый угол равен 30°. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
4.Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите
угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого
угла. Ответ дайте в градусах.
5. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника,
проведенными из вершины прямого угла, равен 20°. Найдите меньший
угол прямоугольного треугольника.
6. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 66°.
Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
7. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82 + 41
√
2.
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
8. В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65°. BD и CE — высоты,
пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
9. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 4
√
5
, ВН = 4.
Найдите
10. Радиус окружности, описанной около правильного
треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.
Вариант 5 6. Планиметрия
1. Найдите косинус угла
АОВ.
В ответе укажите значение косинуса,
умноженное на 2
√
2
.
2. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из
оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
3. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, ВС = 3,
sin
А =
1
6
.
Найдите АН.
4. Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC
между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через
точку B. Ответ дайте в градусах.
5. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+
√
2.
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
6. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 7. Высота трапеции
равна 27. Найдите тангенс острого угла трапеции.
7. Площадь ромба равна 6. Одна из
его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую
диагональ.
8.Больший угол равнобедренного треугольника равен 98°. Найдите меньший
угол. Ответ дайте в градусах.
9. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу
окружности? Ответ дайте в градусах.
10. Стороны параллелограмма равны 38 и 76. Высота, опущенная на первую сторону, равна 57.
Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Вариант 6 6. Планиметрия
1. Сторона АВ треугольника АВС равна
42.
Противолежащий
ей
угол С равен 150° . Найдите радиус окружности, описанной около этого
треугольника.
2. Через
концы A, B дуги
окружности
в
114°
проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в
градусах.
3. В
треугольнике АВС
АС=ВС, АН
–
высота, АВ=5,
sinВАС=
7
25
.
Найдите
4. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB =
AD = CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
5. Отрезки AC и BD —
диаметры
окружности
с
центром O. Угол ACB равен 38°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
6. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51.
Тангенс
острого
угла
равен
5
11.
Найдите
высоту
трапеции.
7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 8, cos А =
2
3
Найдите АВ.
8. Периметр треугольника равен 76, а радиус вписанной окружности равен 8.
Найдите площадь этого треугольника.
9. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10.
Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
10. В
треугольнике ABC угол ACB равен
°,
угол B равен
°, CD —
медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Вариант 7 6. Планиметрия
1. Пусть
тупым
является
угол C,
тогда
сторона AB
тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной
около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в
градусах.
2. Две стороны параллелограмма относятся как 3:17, а периметр его равен
40. Найдите большую сторону параллелограмма.
3. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 22, tg А =
3
√
3
. Найдите AC.
4. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны
равны 5. Найдите синус острого угла трапеции.
5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 17, sin А =
2
√
5
5
. Найдите BC.
6. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 21 и 2, а угол
между ними равен 30°.
7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания
одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 1, считая от
вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
8. Угол ACO равен 35°, где O — центр окружности. Его сторона CA ка-
сается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности,
заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
9. Угол ACB равен 51°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей
точек D и E, равна 144°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
10.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна
5, угол при вершине, противолежащей основанию, равен
120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Вариант 8 6. Планиметрия
1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°.
Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
2. Основания равнобедренной трапеции равны 13 и 25, а ее площадь равна
152. Найдите боковую сторону трапеции.
3. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет
1
5
окружности. Ответ дайте в градусах.
4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 17, sin А =
2
√
5
5
. Найдите BC.
5. Площадь треугольника ABC равна 136. DE — средняя линия. Найдите
площадь треугольника CDE.
6. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, tg А =
33
4
√
33
. Найдите AC.
7. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O —
центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная
внутри этого угла, равна 116°. Ответ дайте в градусах.
8. Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E — середина стороны CD. Найдите площадь
треугольника ADE.
9. Найдите сторону правильного шестиугольника,
описанного около
окружности, радиус которой равен 47
√
3
.
10. Найдите синус угла
АОВ. В ответе укажите
значение синуса, умноженное на 2
√
2.
Вариант 9 6. Планиметрия
1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и
гипотенуза равны соответственно 6 и 10.
2. Диагонали
четырехугольника
равны
4
и
5.
Найдите
периметр
четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон
данного четырехугольника.
3. Найдите синус угла АОВ. В ответе укажите значение синуса, умноженное
на
4. Найдите
угол ACO,
если
его
сторона CA касается
окружности, O —
центр
окружности,
а
меньшая
дуга
окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна 37°. Ответ
дайте в градусах.
5. Бок
овые
стороны
трапеции,
описанной около окружности, равны
27 и 4. Найдите среднюю
линию трапеции.
6. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 7 , tg
ВАС =
4
√
33
33
, Найдите
высоту
7. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность,
и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен
80°. Найдите n.
8. Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь
трапеции AECB.
9. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет
1
5
окружности. Ответ дайте в градусах.
10. Основания равнобедренной трапеции равны
25 и 23. Высота трапеции
равна 1. Найдите тангенс острого угла.
Вариант 10 6. Планиметрия
1. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.
2. В
треугольнике ABC угол C равен
76°, AC = BC.
Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.
3. Площадь треугольника АВС равна 129. ДE – средняя линия, параллельная стороне АВ.
Найдите площадь трапеции АВЕД.
4. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, АН = 12 , cos А =
2
3
.
Найдите АВ.
5. Высота правильного треугольника равна 33. Найдите радиус
окружности, описанной около этого треугольника.
6. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и
11, а её площадь равна 32. Найдите периметр трапеции.
7. Найди
те площадь ромба, если
его высота равна 2, а острый угол
30°.
8. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых
относятся как 3:5.
Под каким углом видна эта хорда из точки C,
принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
9. В треугольнике
известно, что
,
, угол
равен
90°.
Найдите радиус
вписанной окружности.
10. В треугольнике АВС АС = ВС = 27 ,
— высота, sin ВАС =
2
3
. Найдите
6. Планиметрия
Вариант 1
1.
0,5
2.
3
3.
2
4.
30
5.
16
6.
70
7.
1
8.
135
9.
55
10. 52
Вариант 2
1.
0,5
2.
11
3.
62
4.
57
5.
132
6.
1
7.
34
8.
6
9.
5
10. 93
Вариант 3
1.
40
2.
2
3.
7,5
4.
22
5.
17,5
6.
160
7.
0,6
8.
24
9.
2
10. 56
Вариант 4
1.
9,6
2.
20
3.
5
4.
42
5.
25
6.
57
7.
41
8.
115
9.
0,5
10. 4,5
Вариант 5
1.
2
2.
122
3.
17,5
4.
46
5.
1
6.
1,5
7.
2
8.
41
9.
30
10. 28,5
Вариант 6
1.
42
2.
66
3.
4,8
4.
36
5.
104
6.
10
7.
12
8.
304
9.
6
10. 23
Вариант 7
1.
150
2.
17
3.
22
4.
0,8
5.
34
6.
10,5
7.
24
8.
55
9.
21
10. 10
Вариант 8
1.
122
2.
10
3.
36
4.
34
5.
34
6.
7
7.
26
8.
44
9.
94
10. 2
Вариант 9
1.
24
2.
9
3.
1
4.
53
5.
15,5
6.
4
7.
18
8.
141,75
9.
36
10. 1
Вариант 10
1.
45
2.
52
3.
96,75
4.
27
5.
22
6.
26
7.
8
8.
112,5
9.
4
10. 30