Автор: Расторгуева Людмила Константиновна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МОУ СОШ №6
Населённый пункт: Республика Каррелия, г. Кондопога
Наименование материала: статья
Тема: "Использование пифагоровых троек при изучении математики"
Раздел: полное образование
Использование пифагоровых троек при изучении математики.
Использование рациональных вычислений является неотъемлемой частью урока
математики. Это позволяет не только рационально использовать время урока, но и
развивать у детей память, логическое мышление, способность видеть и развивать
числовые закономерности.
Изучая в 8 классе теорему Пифагора, учитель знакомит учеников и с теоремой,
обратной теореме Пифагора. В результате этого и вводится понятие «пифагоровых троек
чисел». Работая в старших классах, я заметила, что их можно активно использовать не
только при решении геометрических задач (нахождение катетов и гипотенузы в
прямоугольном треугольнике, диагонали в прямоугольнике, расстояния от оси цилиндра
до секущей плоскости, высоты в пирамиде и т.д.), но и в тригонометрии, после чего стала
специально обучать учащихся применять их.
Пифагоровых троек существует бесконечное множество, но чаще всего
используются следующие: 3,4,5 5,12,13 8,15,17 7,24,25 9,40,41 20,21,29 12,35,37.
Общий вид пифагоровых троек чисел :
a
=
m
2
−
1
2
, b
=
m , c
=
m
2
+
1
2
(
m
−
нечетно , начиная с 3
)
Рассмотрим некоторые примеры использования пифагоровых троек чисел при
изучении тригонометрии.
Пример 1.
sin α
=
−
8
17
, π
<
α
<
3 π
2
Найти cosα .
Используя тройку: 8,15,17, мы сразу находим
cosα
=
−
15
17
(ведь основное
тригонометрическое тождество
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
есть не что иное, как теорема Пифагора.
Пример 2.
Вычислить
cos
(
arcsin
5
13
)
cos
(
arcsin
5
13
)
=
√
1
−¿ ¿ ¿
=
√
1
−
25
169
=
√
144
169
=
12
13
Можно заметить, что здесь снова «работает» пифагорова тройка чисел : 5,12,13, что
позволяет устно выполнять такие задания:
Пример 3.
tg
(
arcsin
40
41
)
=
sin
(
arcsin
40
41
)
cos
(
arcsin
40
41
)
=
40
41
9
41
=
40
9
Пример 4.
sin
(
arccos
5
13
+
arcsin
3
5
)
=
sin
(
arccos
5
13
)
cos
(
arcsin
3
5
)
+
cos
(
arccos
5
13
)
sin
(
arcsin
3
5
)
=
12
13
∙
4
5
+
5
13
∙
3
5
=
63
65
Пример 5.
Решить уравнение:
3 sinx
+
4 cosx
=
5
Это уравнение решается методом введения вспомогательного угла.
3 sinx
+
4 cosx
=
5
/
:
√
3
2
+
4
2
=
5
3
5
sinx
+
4
5
cosx
=
1
3
5
=
cosφ ,
4
5
=
sinφ
sinxcosφ
+
cosxsinφ
=
1
sin
(
x
+
φ
)
=
1
x
+
φ
=
π
2
+
πn , n
∈
Z
x
=
π
2
−
φ
+
πn , n
∈
Z
φ
=
arccos
3
5
или arcsin
4
5
x
=
π
2
−
arccos
3
5
+
πn , n
∈
Z
Решая это уравнение, мы делили на
√
3
2
+
4
2
=
5
, а значит снова можно использовать
пифагоровы тройки чисел и решать такие уравнения устно.
Например:
8 sinx
−
15 cosx
=
3
/
:17
(тройка: 8, 15, 17)
sin
(
x
+
φ
)
=(−
1
)
n
arcsin
3
17
+
πn , n
∈
Z
x
=(−
1
)
n
arcsin
3
17
+
arccos
8
17
+
πn , n
∈
Z
Или
20 sinx
+
21 cosx
=
5
x
=
x
=(−
1
)
n
arcsin
5
29
−
arccos
20
29
+
πn , n
∈
Z
(тройка: 20, 21, 29)
Пример 6.
Найти множество значений функции:
y
=
7 sinx
+
24 cosx
/
: 25
y
25
=
7
25
sinx
+
24
25
cosx
(тройка: 7, 24, 25)
y
25
=
sin
(
x
+
φ
)
/
∙ 25
y
=
25 sin
(
x
+
φ
)
Таким образом множество значений функции будет равно
[
−
25 ; 25
]
И для функции
y
=
12 sinx
−
35 cosx E
(
y
)
=
[
−
37 ;37
]
Своим исследованием я хотела показать, что использование пифагоровых троек
позволяет устно решать некоторые типы геометрических задач, тригонометрических
заданий, очень экономит время при решении подобных заданий, а значит позволит
потратить время на экзамене, в том числе и ЕГЭ, на более сложные задания.
Буду рада, если мое исследование, которое я провела уже более 10 лет тому назад,
будет полезно для работы коллег.