Автор: Бободжонова Нилуфархон Одилходжаевна
Должность: Учительница математики
Учебное заведение: Худжандский политехнический институт Таджикского технического университета имени академика М.С.Осими
Населённый пункт: Город Худжанд, Согдийская область
Наименование материала: Статья
Тема: Различные способы нахождения корней квадратных уравнений
Раздел: высшее образование
Различные способы нахождения корней квадратных уравнений
Уравнение
ax
2
+
bx
+
c
=
0
,
где
x
-
неизвестное число,
a , b
и
c
-
действительные числа и
a ≠ 0
, называется квадратным уравнением.
Если
квадратное
уравнение
ax
2
+
bx
+
c
=
0
имеет
хотя
бы
один
из
коэффициентов
b
или
c
равных нулю, то такое уравнение называется
неполным квадратным уравнением и они бывают трех видов:
1)
ax
2
=
0;
2)
ax
2
+
c
=
0
, где
c ≠0
;
3)
ax
2
+
bx
=
0
, ки где
b ≠ 0
.
В этой статье мы приводим несколько решений полных квадратных
уравнений.
Корни квадратного уравнения вычисляют по формулам:
x
1
/
2
=
−
b ±
√
D
2 a
, где
D
=
b
2
−
4 ac
Определение: Выражение
D
является дискриминантом квадратного
уравнения
ax
2
+
bx
+
c
=
0
("Дискриминант" - латинское слово означающий
определитель, так как знак
D
указывает на наличие и количество корней).
В зависимости от знака
D
рассмотрим три различных возможных случая:
Если
D
>
0
(положительный), то то у уравнение два различных корня:
x
1
/
2
=
−
b ±
√
D
2 a
;
Если
D
=
0
,то у уравнения два равных корня:
x
1
/
2
=
−
b
2 a
;
Если
D
<
0
(отрицательный), то у уравнение нет действительных корней.
Но это уравнение имеет решение при совокупности комплексных
чисел.
Пример 1. Будем решать уравнение
3 x
2
−
10 x
+
3
=
0
. В этом
уравнение:
a
=
3 , b
=−
10 , c
=
3
. Согласно вышеизложенному
x
1
/
2
=
10 ±
√
¿ ¿ ¿
Следовательно,
x
1
=
3
ва
x
2
=
1
3
.
Пример 2.
3 x
2
+
7 x
−
10
=
0
D
=
7
2
−
4 ∙ 3 ∙
(
−
10
)
=
49
+
120
=
169.
x
1
/
2
=
−
7 ±
√
169
2 ∙ 3
=
−
7± 13
6
;
отсюда
x
1
=
−
7
−
13
6
=
−
20
6
=
−
10
3
=−
3
1
3
;
ва
x
2
=
−
7
+
13
6
=
6
6
=
1.
Напомним, что приведённое квадратное уравнение ( коэффицент
x
2
равен 1,
т.е.
a
=
1
)
Можно решить с помощью обратной теоремы Виета.
Теорема
Виета.
Сумма
корней
приведённого
квадратного
уравнения
x
2
+
px
+
q
=
0
равна его второму коэффициенту
p
с противоположным знаком, а
произведение корней равно произведение - свободному члену
q
. То есть,
{
x
1
+
x
2
=−
p
x
1
∙ x
2
=
q
Пример 3. Исполбзуя теорему Виета, находим корни уравнения
x
2
+
3 x
−
10
=
0
В данном уравнении
p
=
3
и
q
=−
10
. Чтобы найти корни этого квадратного
уравнения, мы должны разделить свободные члены на множители:
−
10
=−
1 ∙ 10 ;
−
10
=
1∙
(
−
10
)
;
−
10
=−
2∙ 5 ;
−
10
=
2∙
(
−
5
)
.
Одна из пар чисел
(−
1 ; 10
)
,
(
1 ;
−
10
)
,
(−
2 ; 5
)
ва
(
2 ; 5
)
может быть корнями
уравнения. Чтобы уточнить, мы используем уравнение
x
1
+
x
2
=−
p
. То есть,
если сумма любой из приведенных выше пар чисел равна 3, то они образуют
корень данного квадратного уравнения.
−
1
+
10
=
9;
1
+
(
−
10
)
=−
9;
−
2
+
5
=
3;
2
+
(
−
5
)
=−
3.
Поскольку следующему условию удовлетворяет пара чисел
(
2 ;
−
5
)
,
то корни уравнения равны
x
1
=
2; x
2
=−
5.
{
x
1
+
x
2
=−
p
x
1
∙ x
2
=
q
⟹
{
2
+
(
−
5
)
=−
3
2∙
(
−
5
)
=−
10
Ответ:
x
1
=
2; x
2
=−
5.
Следует отметить, что существует несколько способов нахождения
корней квадратного уравнения. В частности, выделив полный квадрат, мы
также можем найти корни квадратного уравнения.
Выделение полного квадрата основывается на формулах квадрата
суммы и квадрата разности:
(
a
+
b
¿ ¿
2
=
a
2
+
2 ab
+
b
2
,
(
a
−
b
¿ ¿
2
=
a
2
−
2ab
+
b
2
.
Самым сожным при выделении полного квадрата из квадратного
трёхчлена
ax
2
+
bx
+
c
=
0
бывает понять, какое число прибавить и отнять, чтобы
выделить квадрат суммы или квадрат разности. Рассмотрим эту процедуру на
примере.
Пример 4. Применим метод выделения полного квадрата для решения
уравнения
x
2
+
4 x
−
3
=
0
.
(
x
2
+
2∙ 2∙ x
+
2
2
)
−
2
2
−
3
=
0 ;
(
x
+
2
)
2
−
7
=
0 ;
(
x
+
2
)
2
=
7 ;
x
+
2
=
±
√
7;
x
1
=−
√
7
−
2;
x
2
=
√
7
−
2.
Ответ:
x
1
=−
√
7
−
2;
x
2
=
√
7
−
2.
Помимо вышеперечисленных способов нахождения корней квадратных
уравнений, существуют и другие простые способы решения квадратных
уравнений, для определения которых мы рассмотрим следующее условие.
Условие 1.
Если в квадратном уравнении
ax
2
+
bx
+
c
=
0
выполняется условие
a
+
b
+
c
=
0
, то
корни квадратного уравнения будет
x
1
=
1;
x
2
=
c
a
Проиллюстрируем это примером.
Пример 5. Находим корни уравнения
2 x
2
+
3 x
−
5
=
0
.
Из данного уравнения определяем коэффициенты:
a
=
2 ; b
=
3
;
c
=−
5.
Проверим условие
a
+
b
+
c
=
0
:
2
+
3
+
(
−
5
)
=
0.
Поскольку данное уравнение удовлетворяет условию
a
+
b
+
c
=
0
, то корни
уравнения равны
x
1
=
1;
x
2
=
c
a
=
−
5
2
=
2,5
.
Будем решать данное уравнение в стандартной форме и проверим
правильность нашего решения.
2 x
2
+
3 x
−
5
=
0
D
=
3
2
−
4 ∙ 2 ∙
(
−
5
)
=
9
+
40
=
49.
x
1
/
2
=
−
3 ±
√
49
2 ∙ 2
=
−
3 ±7
4
;
Аз ин ҷо
x
1
=
−
3
+
7
4
=
4
4
=
1 ;
ва
x
2
=
−
3
−
7
4
=
−
10
4
=
−
5
2
=−
2,5 .
Вот и получается, что вышеуказанное условие действительно выполнимо.
Ответ:
x
1
=
1; x
2
=−
2,5
..
Условие 2.
Если в квадратном уравнении
ax
2
+
bx
+
c
=
0
выполняется условие
a
+
c
=
b
,
то корнями квадратного уравнения являются
x
1
=−
1;
x
2
=
−
c
a
.
Проиллюстрируем это примером.
Пример 6.
2 x
2
+
9 x
+
7
=
0
Из данного уравнения определяем коэффициенты:
a
=
2 ; b
=
9
;
c
=
7
.
Проверим условие
a
+
с
=
b
:
2
+
7
=
9
Поскольку данное уравнение удовлетворяет условию
a
+
с
=
b
, то корни
уравнения равны
x
1
=−
1;
x
2
=
c
a
=
−
7
2
.
Будем решать данное уравнение в стандартной форме и
проверим правильность нашего решения.
2 x
2
+
9 x
+
7
=
0
D
=
9
2
−
4 ∙ 2 ∙ 7
=
81
+
56
=
25.
x
1
/
2
=
−
9 ±
√
25
2∙ 2
=
−
9 ±5
4
;
Отсюда,
x
1
=
−
9
+
5
4
=
−
4
4
=−
1;
и
x
2
=
−
9
−
5
4
=
−
14
4
=
−
7
2
=−
3,5 .
Вот и получается, что вышеуказанное условие действительно выполнимо.
Ответ:
x
1
=−
1; x
2
=−
3,5.
Следует отметить, что эти методы очень просты и позволяют
эффективно использовать время при решении квадратных уравнений.
Наконец, если полное квадратное уравнение не удовлетворяет обоим
условиям, то используем следующий метод.
Умножив обе части уравнения
ax
2
+
bx
+
c
=
0
на
a
, получим:
a
2
x
2
+
a bx
+
ac
=
0
Мы воспользуемся заменой
t
=
ax
. Получим
t
2
+
b t
+
ac
=
0
Полученное уравнение можно решить по первому или второму условию, по
теореме Виета, по выделение полного квадрата или по стандартному методу
решения (с
использованием
«дискриминанта»).
Проиллюстрируем
это
примером.
Пример 7.
3 x
2
+
14 x
−
5
=
0.
Из данного уравнения определяем коэффициенты:
a
=
3 ; b
=
14
;
c
=−
5
.
Проверим условие
a
+
b
+
c
=
0
:
3
+
14
+
(
−
5
)
=
12 ≠0.
Проверим условие
a
+
c
=
b
:
3
+
(
−
5
)
=−
2≠ 14.
То есть первое и второе условия не были удовлетворены. Тогда мы приводим
данное уравнение в следующем виде:
3 x
2
+
14 x
−
5
=
0
/ ¿
3
9 x
2
+
42 x
−
15
=
0,
t
=
3 x ,
t
2
+
14 t
−
15
=
0.
Так как полученное уравнение удовлетворяет условию
a
+
b
+
c
=
0
, то корни
нового уравнения будет
t
1
=
1 ; t
2
=−
15
. Из замены
t
=
3 x
находим переменную
x
:
x
=
t
3
,
x
1
=
t
1
3
=
1
3
; x
2
=
t
2
3
=
−
15
3
=−
5.
Ответ:
x
1
=
1
3
и
x
2
=−
5
.
Таким образом, мы показали несколько способов нахождения корней
квадратных уравнений в дополнение к стандартному типу, а также другие
простые нестандартные способы нахождения корней квадратных уравнений.
Использование различных методов позволяет нам использовать наше время
более эффективно.
Литература:
[1] Алиев Б. Алгебра. Учебник для 8 класса.ф-Душанбе:«Собириён», 2017.
320с.
[2] Электронный ресурс: образовательная платформа SMARTeach
[3] Гуломнабиев С.Г., Бободжонова Н.О. Линейная алгебра и аналитическая
геометрия (на тадж. яз.)- Худжанд «Мехвари дониш», 2022, 520с.