РЕШЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ С

ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЧЁТКОЙ ЛОГИКИ

Коклюхина Полина Сергеевна

студентка, Поволжский государственный университет сервиса,

Россия, г. Тольятти

Белобородова Екатерина Алексеевна

студентка, Поволжский государственный университет сервиса,

Россия, г. Тольятти

Николаева Надежда Александровна

канд. экономических наук,

Поволжский государственный университет сервиса,

Россия, г. Тольятти

Ключевые слова:

общая задача линейного программирования, целевая

функция, стандартная ЗЛП, допустимое решение, оптимальное решение,

математическая модель.

Аннотация:

В

условиях

современной

экономики,

перед

различными

компаниями стоят две основные задачи: первая - максимизация прибыли, а

вторая - уменьшение издержек. Математическая интерпретация данных

задач являются задачи линейного программирования (ЗЛП). Которые как

графически, так и в виде таблиц дают описание оптимального подхода к

решению проблемы, уменьшить или увеличить производство той или иной

услуги, или приобрести необходимый ресурс, для получения прибыли.

Информационно-программные технологии современных исследований

достигаются прежде всего с помощью формализованного представления

изучаемого

объекта

в

виде

математических

моделей

программно-

реализуемых на программном продукте в составе автоматизированных

систем

анализа.

Применение

формализованных

моделей

способствует

принятию решений, предполагавших использование разными моделями

исследуемых объектов.

Повышение уровня научных исследований и оперативности получения

результатов

подразумевает

комплексного

и

активного

использования

симплексного метода ЗЛП, а также исследования операций и принятия

n

решений на основе системного подхода и математического моделирования

[3]

с

включением

информационно-программных

технологий

процесса

исследования.

Модель принятия рационального выбора содержит критерии оценивания

предпочтительности сравниваемых вариантов решения и выделения среди

них рационального варианта. Она ориентируется на многовариантный

подход к формированию сравниваемых решений и использование принципа

компромисса для выбора рационального варианта среди недоминируемых

вариантов решений.

Поэтому

относительно

ЗЛП,

нами предлагается

применить

метод

нечеткой логики, которая покажет более широкие интервалы и покажет

перспективы развитие тех или иных событий, на основе которых компания

может

применить

свою

стратегию.

Нечеткая

логика

дает

возможность

компании

рискнуть, опираясь на возможность того, что данное событие

произойдет.

Или увидеть возможные доходы относительно полученной

статистической информации.

Начнем

с

того,

что

дадим

описание

каждой

из

областей

и

решим

относительно этих методов ЗЛП с применением метода нечеткой логики

Определение

1.

Общей

задачей

линейного

программирования

называется

задача,

которая

состоит

в

определении

максимального

(минимального) значения функции:

при условиях, что

F





s

j

d

j

j



1

(1)



g

ij

d

j



j



1

p

i

,

i



1, k

,

(2)

n



g

ij

d

j

j



1



p

i

,

i



k



1,

m,

(3)



d

j



0 ,

j



1, n

,

(4)

где

g

ij

,

p

i

, s

j

- заданные постоянные величины и

n

k



m

Определение 2. Функция

Место для формулы.

Определение 3. Стандартной (или симметричной) ЗЛП называется

задача, которая состоит в определении максимального значения функции F,

при выполнении условий (2) и (4), где k = m.

Определение 4.

Основной

(или

канонической)

задачей

линейного

программирования

называется

задача,

которая

состоит

в

определении

максимального значения функции (1) при выполнении условий (3) и (4), где

k = 0.

Определение

5.

Совокупность

чисел

D

=

(d

1

,

d

2

,

…,

d

n

),

удовлетворяющих ограничениям задачи (2) – (4), называется допустимым

решением (или планом).

Определение 6. План D* = (d

1

*, d

2

*, …, d

n

*), при котором целевая функция

поставленной

нами

задачи

принимает

свое

максимальное

(минимальное)

значение, называется оптимальным.

Значение целевой функции (1) при плане

D будем обозначать через

F(D) или просто F. Следовательно, D* - оптимальный план задачи, если для

любого

D

выполняется

неравенство

F (D)



F

(D*)

{соответственно

F(D)



F(D*)

}. Эта же запись может выглядеть как F ≤ F* (соответственно F

≥ F*).

Обозначенные

нами

ранее

три

вида

ЗЛП

эквивалентны

в

том

смысле, что каждая из них с помощью некоторых преобразований может

быть переписана в другую форму задачи. Это значит, что если мы имеем

способ поиска решения одной из поставленных задач, то путем тем самых

некоторых преобразований, может быть найдено допустимое решение любой

из трех задач.

Для того чтобы перейти от одной формы записи ЗЛП к другой, важными

факторами являются:



Уметь свести задачу по нахождению максимума заданной целевой

функции к минимуму;



переходить от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам

и

наоборот.

В тех случаях, когда от нас требуют найти максимум функции

F



s

1

d

1



s

2

d

2



…



s

n

d

n

,

можно перейти к нахождению минимума функции, умножив все ее

коэффициенты на «минус один», т.е.

F

1





F





s

1

d

1



s

2

d

2



…



s

n

d

n

,

поскольку функция

F

принимает максимальное значение в той же самой

точке, в которой функция F

1

принимает минимальное значение.

Ограничение-неравенство

исходной

задачи

линейного

программирования, имеющее вид



можно преобразовать в неравенство

вида



, поступив аналогичным образом, т.е. умножая на

(-1)

обе части

неравенства и меняя знак неравенства на противоположный.

Что

нужно

сделать,

для

того

чтобы

преобразовать

ограничение-

неравенство исходной задачи линейного программирования в ограничение-

равенство,

добавляются

уравновешивающие

коэффициенты.

Эти

коэффициенты есть очень малое число, которое необходимо прибавить (в

случае"



"),

или

отнять

(в

случае"



")

от

неравенства,

чтобы

оно

стало

равенством.

Пример:

Для изготовления различных изделий А, В и С предприятие использует

три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного

изделия каждого вида, цена на одно изделие А, В и С, а также общее

количество

сырья

каждого

вида,

которое

может

быть

использовано

предприятием, приведены в таблице.

Изделия А, В и С могут производиться в любых соотношениях(сбыт

обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем

каждого вида.

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость

Ресурсы

Общее количество ресурсов

Норма расхода ресурса на

единицу продукции

А

B

C

S1

360

16

15

12

S2

192

6

4

8

S3

180

5

3

3

Прибыль от единицы продукции

8

10

16







всей произведенной предприятием продукции максимальной.

Решение:

Составим

математическую

модель

задачи.

Искомый

объем

продажи

товара А обозначим через d

1

, товара В – через d

2

, товара С – через d

3

.

Поскольку имеются ограничения на используемые предприятием ресурсы

каждого

вида,

переменные х

1

,

х

2

,

х

3

должны

удовлетворять

следующей

системе ограничений:



16d1



15d2



12d3



360



6d

1



4d

2



8d

3



192

5d



3d



3d



180



1

2

3

Общая

стоимость

проданного

предприятием

товара

при

условии

продажи

d

1

единиц

товара

А,

d

2

единиц

товара

В,

d

3

единиц

товара

С

составляет

F



8d

1



10d

2



16d

3

По своему экономическому содержанию переменные d

1

, d

2

, d

3

могут

принимать только лишь неотрицательные значения:

d

1

≥ 0, d

2

≥ 0, d

3

≥ 0.

Таким образом, приходим к следующей математической модели:

F



8d

1



10d

2



16d

3



16d1



15d2



12d3



360





6d



4d



8d



192



1



5d

2



3d

3



3d



180



1

2

3





x

j



0, j



1.3

Запишем эту задачу в канонической форме ЗЛП. Для этого перейдем от

ограничений-неравенств

к

ограничениям-равенствам.

Введем

три

дополнительные переменные, в результате чего ограничения запишутся в

виде системы уравнений:



16d1



15d2



12d3



y1



360



6d



4d



8d



y



192



1



5d

2



3d

3

2



3d



y



180



1

2

3

3





x

j



0, j



1.3

Эти дополнительные переменные по экономическому смыслу означают

неиспользуемое при данном плане производства количество ресурса того или

иного вида.

Составим симплексную таблицу:

d1

d2

d3

y1

y2

y3

y1

360

16

15

12

1

0

0

y2

192

6

4

8

0

1

0

y3

180

5

3

3

0

0

1

0

-8

-10

-16

0

0

0

План, соответствующий данной таблице D = (0, 0, 0). Очевидно из

таблицы, значения абсолютно всех основных переменных d

1

, d

2

, d

3

одинаково

равны нулю, а дополнительные переменные принимают свои значения в

соответствии с ограничениями задачи. Эти значения переменных отвечают

такому «плану», при котором ничего не продается, сырье не используется и

значение целевой функции равно нулю ( F = 0), т.е. прибыль отсутствует.

Этот план, конечно, не является оптимальным.

Об

этом

уже

говорит

и

наличие

в

целевой

строке

таблицы

отрицательных

значений.

Отрицательные

значения

не

только

свидетельствуют о

возможности увеличения прибыли от продажи, но и

показывают, насколько увеличится эта сумма при введении в план продажи

единицы того или другого вида товара.

Так например, число –8 означает, что при включении в план продажи

одной единицы товара А обеспечивается увеличение прибыли на 8 ден. ед.

Если включить в план реализации по одной единице товара В и С, то общая

прибыль

возрастет

соответственно

на

10

и

16

ден.

ед.

Поэтому

с

экономической точки зрения наиболее целесообразным является включение в

план

продаж

товара

С.

Это

же

необходимо

сделать

и

на

основании

формального признака симплексного метода (выбор опорного столбца).

Определяем опорную строку. С точки зрения экономики, определяем,

какое количество товара С предприятие может продавать при учете норм

расхода и имеющихся ресурсов каждого вида. В соответствии столбцу α

ограничивающим фактором, то есть узким местом для продажи товара С

является

имеющийся

ресурс

III

вида

(трудозатраты).

При

учёте

его

наличия предприятие может продать 180 единиц товара С.

Таким образом, строка d

3

подлежит исключению из базиса. Опорные

строка и столбец определены, пересчитываем таблицу:

Первая итерация:

d1

d2

d3

y1

y2

y3

y1

72

7

9

0

1

-1,5

0

d3

24

0,75

0,5

1

0

0,125

0

y3

108

2,75

1,5

0

0

-0,375

1

360

3,25

-2,5

0

0

1,875

0

Получили новый опорный план D = (0, 24, 0). При данном плане

продажи реализуется 24 единиц товара. Прибыль от всего проданного при

этом плане товара равна 360 д.е. Как видно, данные этого столбца по-

прежнему представляют собой параметры рассматриваемой задачи, хотя они

претерпели значительные изменения.

Полученный план также не является оптимальным, так как целевая

строка

по-прежнему

содержит

отрицательные

коэффициенты.

Максимальным

по

модулю отрицательным значение целевой строки

является -2,5, а это означает, что в план будет вводиться продажа товара В.

Определив коэффициенты столбца α, получаем, что опорной строкой

будет строка y

1

, иными словами, продажа товара В ограничена имеющимся в

распоряжении предприятия ресурса I вида.

После первой итерации прибыль предприятия составляет:

F=16*24=360ден. ед.

Ещё раз пересчитываем симплекс-таблицу:

Вторая итерация

В

полученной симплекс-таблице в целевой строке нет отрицательных чисел,

значит, полученный план: D = (8, 20, 0) - оптимален и F = 380 д.е.

Итак,

план

продажи

товара

предусматривает

реализацию

8

единиц

товара В и

20

единиц

товара

С.

При

данном

плане

реализации

товара

d1

d2

d3

y1

y2

y3

d2

8

0,78

1

0

0,11

-0,17

0

d3

20

0,36

0

1

-0,06

0,21

0

y3

96

1,58

0

0

-0,17

-0,13

1

380

5,19

0

0

0,28

1,46

0

стоимость проданной продукции равна 380 д.е.

F=16*20+8*10=380 д.е.

Допуская, что цена на продукт изменяется. Значит это будет инфляция,

или поднятые цены на сырье или

вследствие

того,

что

мы

собираемся

открыть

новое

дело,

собираем

дополнительные средства, а может мы

проверяем, на сколько гибкая цена товара и какие у неё покупательские

способности. В данных условиях, мы точно не можем сказать, какая у нас

будет прибыль, но если «размыть» ценовые характеристики товаров, мы

получим интервал вероятной прибыли.

И уже отталкиваясь от данных цифр мы сможем принимать решения,

по закупке нового сырья и распределения ресурсов организации.

В нашем примере берутся три ценовые характеристики, обозначаемые

буквами А, В и C.

Источник

A:

у

данного

продукта

неизученная

покупательская

способность и руководство может поставить цену на данный продукт, в

равных возможностях, либо 8-9 д.е. либо 6-7 д.е.

Цена на продукт B: надежная и точная, ожидаемая сумма 10 д.е.

Цена на продукт C: его сумма может изменяться от 10 до 20 д.е. в

зависимости от насыщения им рынка, но с наибольшей вероятностью можно

ожидать варьирование цен от 16 до 17 д.е.

Различные источники финансирования можно представить с помощью

нечетких величин с распределениями.

Рисунок 1

Каждая

нечеткая

величина

рассматривается

здесь

как

объединение

трапециевидных и не обязательно нормальных нечетких интервалов. Каждый

из этих нечетких интервалов M

i

представлен пятеркой.

M

i



(m

i

, m

i

,



i

,



i

, h

i

)

где m

i

и m

i

— соответственно нижнее и верхнее модальные значения

нечеткого интервала M

i

,



i

и



i

. - левый и правый коэффициенты нечеткости,

a h

i

- высота нечеткого интервала (рисунок 1).

В соответствии с этими обозначениями нечеткие величины, связанные с

различными источниками финансирования, представляются в виде

А = А1 и А2 = (8,9,0,0,0,5) U (6, 7,0,0, 0,5);

В = (10, 10, 0,0, 1);

С = (16,17,6,3, 1);

Нечеткая величина M

i

+M

j

, где M

i

и M

j

- два трапециевидных нечетких

интервала,

подобных

изображенным

на

рисунке

1,

есть

также

трапециевидный нечеткий интервал

(m

i

, m

i

,



i

,



i

, h

i

) , где h = min(h

i

, h

j

) (эффект

среза);





h(



i





j

) ;





h(



i





j

) ;

m



m



m













;

h

i

h

j

h

i

h

j

i

j

i

j

m



m

i



m

j





i





j





Сумма S=A+B+C, получается как объединение всех известных нам

интервалов, но так как на основе первой задачи продукт А, мы не продаем,

сумма будет состоять из В и С.

Так

как

m

i

, m

i

,



i

и



i

,

являются

вариантами

цен,

на

1 единице

продукции, то для k единиц товара, эти значения будут увеличены в k-раз.

Значит 8В=(80,80,0,0,1), а 20С=(320,340,120,60,1)

h= min(1;1)





1(0



120

)

1





1(0



60

)

1

m



(80



320



0



120



120)



400

m



(80



340



0



60



60)



420

Сделав вышеперечисленные вычисления, находим итоговую сумму:

S=(400,420,120,60,1)

Графически, наша возможная прибыль выглядит таким образом. Она

предоставлена в виде интервала, с возможностью от 0 до 1 на рисунке 2.

Рисунок 2

И по данному графику, отталкиваясь от внешних факторов, стратегии

организации

и

принятий

решений

директором.

Организация

будет

располагать более обширными вариантами развития событий, и рассчитывать

на

большую

прибыль,

нежели

она

располагала

статистическими

стоимостными характеристикам.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1.

Семененко,

В.

А.

Информационная

безопасность

/

В.

А.

Семененко. — Москва: МГИУ, 2017. — 276 с.

2.

Морозов, Д. И. Защита радиоэлектронных средств от влияния

климатических факторов / Д. И. Морозов, П. Г. Андреев, И. Ю. Наумова //

Радиоэлектронная техника. — № 1 (4). — 2011. — С. 255–261.

3.

Маршаков,

Д.

В.

Экспертные

системы

информационной

безопасности / Д. В. Маршаков, В. А. Фатхи. — Ростов-на-Дону: Издательский

центр ДГТУ, 2017. — 223 с.

4.

Ажмухамедов,

И.

М.

Оценка

повреждений

безопасности

информационной системы на основе нечетко-когнитивного подхода / И. М.

Ажмухамедов // Вопросы защиты информации. — 2016. — № 1. — С. 57–60.

Булдакова, Т. И. Оценка информационных рисков в автоматизированных

системах с помощью нейро-нечеткой модели / Т. И.

5.

Булдакова, Д. А. Миков // Наука и образование: МГТУ им. Н. Э.

Баумана. — 2016. — № 11. — С. 295–310.

6.

Баранова, Е. К. Методика анализа рисков информационной

безопасности с использованием нечеткой логики на базе инструментария

MATLAB / Е. К. Баранова, А. М. Гусев // Образовательные ресурсы и

технологии. —2016. — № 1(13). — С. 88–96.