Автор: Гмыря Вера Михайловна
Должность: Учитель
Учебное заведение: ГБОУ школа 375 Красносельского района г. Санкт-Петербург
Населённый пункт: Санкт-Петербург
Наименование материала: Учебно-методический материал. Презентация к уроку
Тема: Движения
Раздел: полное образование
ДВИЖЕНИЯ.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ, ЗЕРКАЛЬНАЯ,
ОСЕВАЯ СИММЕТРИИ,
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС.
Гмыря В.М. Учитель математики ГБОУ школа № 375 с
углубленным изучением английского языка г. Санкт-
Петербург
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Центральная симметрия-
отображение пространства на себя,
при котором любая точка М
переходит в симметричную ей точку
М
1
относительно данного центра О
О
М
М
1
Докажем, что центральная симметрия является
движением
О-центр симметрии
М и М
1
симметричны относительно О
М не совпадает с центром О, О-середина
отрезка ММ
1
По формулам координат середины отрезка
получаем
Откуда
X
1
=-x,
Y
1
=-y,
Z
1
=-z
Эти формулы верны и в том случае, когда точки
М и О совпадают
М
М
1
Вот вам котик
Этот котик симметричен
относительно центра симмерии О
О
Рассмотрим теперь две точки
А(x
1
,y
1
,z
1
) и В(x
2
,y
2
,z
2
) и докажем, что
расстояние между симметричными им
точками А
1
и В
1
равно АВ. Точки А1 и
В1 имеют координаты А1 (-x
1
;-y
1
;-z
1
) и
В1(-x
2
;-y
2
;-z
2
). По формуле расстояния
между двумя точками находим :
АВ=√(x
2
-x
1
)^2+(y
2
-y
1
)^2+(z
2
-z
1
)^2
А
1
В
1
=√(-x
2
+x
1
)^2+(-y
2
+y
1
)^2+(z
2
+z
1
)^2
Из этих соотношений ясно, что
АВ=А
1
В
1
, что и требовалось доказать
А
В
В
1
А
1
О
Вот вам еще один котик
Этот котик тоже симметричен
относительно центра симмерии О
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
Осевая симметрия-отображение
пространства на себя, при котором
любая точка М переходит в
симметричную ей точку М1
относительно оси а
а
М
М
1
Докажем, что осевая симметрия является движением.
Oz-ось симметрии
М и М
1
симметричны относительно О
М не совпадает с центром О, О-середина отрезка ММ
1
Если точка М не лежит в плоскости Oxy, то эта
плоскость:
1)Проходит через середину отрезка ММ
1
2)Перпендикулярна к нему
Из первого условия по формуле координат середины
отрезка получаем
Откуда X
1
=-x и Y
1
=-y
Второе условие означает, что аппликаты точек M и
M1равны
Откуда Z
1
=Z
Полученные формулы верны и в том случае, когда
точка М лежит на оси Oz
М
М
1
Рассмотрим теперь две точки А(x
1
,y
1
,z
1
) и
В(x
2
,y
2
,z
2
) и докажем, что расстояние между
симметричными им точками А
1
и В
1
равно
АВ. Точки А1 и В1 имеют координаты А1 (-
x
1
;-y
1
;-z
1
) и В1(-x
2
;-y
2
;-z
2
). По формуле
расстояния между двумя точками находим :
АВ=√(x
2
-x
1
)^2+(y
2
-y
1
)^2+(z
2
-z
1
)^2
А
1
В
1
=√(-x
2
+x
1
)^2+(-y
2
+y
1
)^2+(z
2
+z
1
)^2
Из этих соотношений ясно, что АВ=А
1
В
1
,
что и требовалось доказать
А
В
А
1
В
1
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Параллельным переносом на вектор
p называется отображение
пространства на себя, при котором
любая точка М переходит в такую
точку М
1
, что ММ
1
=p.
М
М
1
p
Докажем, что параллельный
перенос является движением.
При параллельном переносе на
вектор p любые две точки А и В
переходят в точки А
1
и В
1
такие,
что АА
1
=p и ВВ
1
=p.
Требуется доказать, что А
1
В
1
=АВ.
По правилу треугольника
АВ
1
=АА
1
+А
1
В
1
и АВ
1
=АВ+ВВ
1
Из этих двух равенств получаем
АА
1
+А
1
В
1
=АВ+ВВ
1
или
P+А
1
В
1
=АВ+p
Откуда А
1
В
1
=АВ
Следовательно А
1
В
1
=АВ
Что и требовалось доказать
p
А
1
В
1
А
В
ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Зеркальной симметрией называют
такое отображение пространства на
себя, при котором любая точка М
переходит в симметричную ей
относительно плоскости а точку М1
ОЗЕРО УЮНИ, КАК ПРИМЕР ЗЕРКАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ
Докажем, что зеркальная симметрия является
движением
Oxy-плоскость симметрии
М и М
1
симметричны относительно Oxy
Если точка М не лежит в плоскости Oxy, то эта
плоскость:
1)Проходит через середину отрезка ММ
1
2)Перпендикулярна к нему
Из первого условия по формуле координат середины
отрезка получаем
Откуда
Z
1
=-Z
Второе условие означает, что отрезок ММ
1
параллелен оси Oz, следовательно
X
1
=x, y
1
=y
Полученные формулы верны и в том случае, когда
точка М лежит в плоскости Oxy
М
М
1
Рассмотрим теперь две точки А(x
1
,y
1
,z
1
) и
В(x
2
,y
2
,z
2
) и докажем, что расстояние между
симметричными им точками А
1
и В
1
равно
АВ. Точки А1 и В1 имеют координаты А1 (-
x
1
;-y
1
;-z
1
) и В1(-x
2
;-y
2
;-z
2
). По формуле
расстояния между двумя точками находим :
АВ=√(x
2
-x
1
)^2+(y
2
-y
1
)^2+(z
2
-z
1
)^2
А
1
В
1
=√(-x
2
+x
1
)^2+(-y
2
+y
1
)^2+(z
2
+z
1
)^2
Из этих соотношений ясно, что АВ=А
1
В
1
,
что и требовалось доказать
В
1
А
1
А
В
ВСЕМ СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Делайте умное лицо и не задавайте никаких вопросов