В статье рассмотрены числовые равенства с целыми, положительными,

взаимно простыми основаниями и натуральным показателем степени n > 1.

Найдены условия верности таких числовых равенств. Показано, что такие

числовые равенства существуют при показателе степени равном количеству

слагаемых равенства, а знаменитая большая теорема Ферма является

частным случаем приведенной теоремы. Поскольку теорема доказана на

довольно простом уровне, то это является доказательством того, что Ферма

не ошибся и действительно доказал свою знаменитую теорему.

О показателе степени некоторых числовых равенств

Реферат. В предлагаемой работе рассмотрены числовые равенства вида:

Установлено, что в подобных верных числовых равенствах с натуральным

показателем степени n > 1 и целых, взаимно простых (не имеющих никаких

общих множителей кроме 1) положительных основаниях степеней

,

входящих в него слагаемых

и суммы

, показатель степени n равен

количеству слагаемых R этого равенства.

Ключевые слова: числовые равенства, теорема Ферма.

Теорема: Верное числовое равенство вида:

(1)

где:

,

– целые, положительные, взаимно простые основания степеней

слагаемых

и суммы

;

n > 1 – натуральный показатель степени,

существует при n = R, где: R – количество слагаемых в числовом равенстве.

Доказательство:

Пусть существуют удовлетворяющие условиям теоремы основания степеней

,

для которых числовое равенство (1) верно. Представим каждое из

входящих в числовое равенство слагаемое

и сумму

в виде

тождеств, являющихся биномами Ньютона при натуральном показателе

степени n:

(2)

где: Хк, У – могут принимать любые значения, то есть, являются

переменными.

Подставляя тождества (2) в числовое равенство (1), получим алгебраическое

уравнение:

(3)

Поменяв местами символы сумм, и вынеся коэффициенты

за символ

суммы независящий от значений n и i, что равнозначно перестановке мест

слагаемых в уравнении (3), получим:

(4)

Алгебраическое уравнение (4) соответствует числовому равенству (1) и

справедливо при любых значениях переменных Хк, У, входящих в это

уравнение.

Лемма.

Если существует верное числовое равенство (1), где:

,

– целые, положительные, основания степеней слагаемых

и

суммы

,

n > 1 – натуральный показатель степени,

то в соответствующем ему алгебраическом уравнении (4) для любого

значения переменной У можно найти такие значения переменных Хк, при

которых будут равны между собой все соответствующие слагаемые обеих

частей этого равенства.

Доказательство леммы:

Пусть существует удовлетворяющее условиям леммы верное числовое

равенство (1), а следовательно и соответствующее ему алгебраическое

уравнение (4).

Пусть утверждение леммы верно и в алгебраическом уравнении (4) можно

найти такие переменные Хк, У, для которых выполняется система уравнений,

состоящая из (n + 1) уравнения:

(5)

……………………………………………

Следует отметить, что система уравнений (5) существует для числового

равенства (1) только в том случае, если основания

,

являются целыми

числами. Если, например, число

иррациональное (при этом число

является числом целым по условию), то при показателе степени n > 1 можно

подобрать целые переменные Хк, У такими, что все левые части системы

уравнений (5) будут целыми, в то время как в правой части часть уравнений

будет иметь иррациональные значения, что является противоречием.

Аналогично система уравнений (5) может не существовать и для числовых

равенств типа (1) если основаниями степеней являются рациональные дроби.

Пусть основания

,

целые, положительные числа. Для таких числовых

равенств существует система уравнений (5). Система уравнений при помощи

тождественных преобразований приводится к виду (преобразование системы

уравнений приведено в приложении 1):

(6)

……………………………

Следовательно, если существуют удовлетворяющие условиям леммы

основания степеней

,

для которых числовое равенство (1) верное, то

существуют соответствующая ему система уравнений (5) и преобразованная

система уравнений (6).

По условию показатель степени n входящих в равенство слагаемых

и

суммы

больше 1. Тогда количество уравнений в системе уравнений (6) не

меньше 3.

Умножая первое уравнение полученной системы на множитель (У/В)

2

, а

второе на (-2У/В), и складывая первые три равенства, получим:

(7)

Следовательно, если существуют такие целые основания степеней

и

,

для которых числовое равенство (1) верно при n

>

1, то существует

соответствующее этому числовому равенству алгебраическое уравнение (7).

По условию леммы основания

,

, а следовательно и слагаемые

,

являются положительными числами. Тогда для выполнения равенства (7),

(поскольку квадрат множителя в скобках при любых значениях входящих в

него переменных не отрицателен), необходимо выполнение условий:

(8)

где индекс к пробегает значения от 1 до R (R – количество слагаемых в

числовом равенстве (1)).

Или в виде системы уравнений:

(9)

……………

Полученные условия преобразования (9) содержат R уравнений (где R –

количество слагаемых равенства (1)) и устанавливают при заданных целых,

положительных основаниях

,

соотношения между переменными

уравнения (4), при которых любому значению одной из переменных У или

Хк можно найти такие значения остальных переменных, при которых будут

равны между собой все соответствующие слагаемые обеих частей уравнения

(4) (в этом можно убедиться, подставив полученные соотношения (9) в

равенство (4)).

Таким образом, если числовое равенство (1) верное, положительные

основания степеней

и

слагаемых

и суммы

являются

целыми числами, а натуральный показатель степени n

>

1, то существует

соответствующее ему тождественно преобразованное алгебраическое

уравнение (4) и условия его преобразования (9), позволяющие преобразовать

одну часть уравнения (4) к виду его другой части. Условия преобразования

(9) из всей совокупности верных и неверных числовых равенств типа (1) при

показателе степени n

>

1 выделяют верные числовые равенства и, если эти

условия не выполняются, то не существует и верного числового равенства

(1).

Очевидно, что уравнения, входящие в систему уравнений (9), имеют

нетривиальные (отличные от ноля) решения (все уравнения системы

являются линейными, а одной из переменных можно задавать любое

значение).

Следовательно, верное числовое равенство типа (1) при выполнении условий

леммы можно преобразовать к виду (4), где каждое из слагаемых правой

части будет равно сумме соответствующих слагаемых левой части.

Лемма доказана.

Полученная система уравнений (9) имеет однозначные решения только в том

случае, если хотя бы одно из оснований слагаемых или суммы не может быть

представлено в виде другого целого основания с некоторым натуральным

показателем степени отличным от 1.

Если все основания числового равенства (1) можно представить в виде

некоторых целых положительных чисел с отличным от 1 натуральным

показателем степени, то, выбрав какое либо из уравнений системы (9) (для

примера взято первое уравнение), будем иметь:

1

1

t

А

В

в

У

Х





Откуда получаем для нового основания в:

1

1

t

А

у

в

Х

 

Полученное значение основания в имеет как положительные, так и

отрицательные значения (их количество равно t), что противоречит условию

теоремы. По условию теоремы оно должно иметь положительное значение.

Если все основания числового равенства можно представить в виде

некоторых целых чисел с отличным от 1 показателем степени, то это говорит

о неверности выбора показателя степени всего числового равенства (1). В

этом случае в системе уравнений (9) решения каждого уравнения будут

иметь неоднозначные, отличающиеся знаком, значения, противоречащие

исходному числовому равенству.

Только если показатель степени t хотя бы одного из входящих в числовое

равенство оснований равен 1, то все уравнения системы (9) становятся

однозначными (Они путем перестановок приводятся к виду, когда в каждом

уравнении будет однозначное значение основания в).

Числовые равенства типа (1), удовлетворяющие условиям теоремы,

удовлетворяют и условиям леммы. Для таких равенств существует

тождественно преобразованное алгебраическое уравнение (4) и

соответствующие ему условия преобразования (9) определяющие его

верность. Следовательно, для удовлетворяющих условиям теоремы верных

числовых равенств типа (1), существует система уравнений:

……………

Или, что тоже самое:

(10)

……………

По условию теоремы все основания степеней

,

являются взаимно

простыми числами, а следовательно в системе уравнений (10) нет

сократимых и одинаковых уравнений при любой их перестановке.

Полученная система уравнений приводится к виду системы уравнений (6):

(11)

…………………………………

Она отличается от системы уравнений (6) только количеством уравнений в

системе. В системе уравнений (6) количество уравнений равно (n + 1), а в

системе уравнений (11) оно равно (R + 1), где R – количество слагаемых

числового равенства (1).

Система уравнений (11) очевидно является равносильной системе уравнений

(6) (системы уравнений имеют одни и те же решения и относятся к одному и

тому же числовому равенству).

Система уравнений (11) при помощи тождественных преобразований

аналогичных преобразованиям приложения № 1, но в обратном порядке

(свертка системы уравнений (11)), приводится к равенству типа (1) только в

том случае, если показатель степени n = R (где R – количество слагаемых в

равенстве (1)).

Следовательно, если существует удовлетворяющее условиям теоремы верное

числовое равенство типа (1) с показателем степени n

>

1, то его показатель

степени n = R, что и требовалось доказать.

Теорема нарушается, если среди оснований

,

имеются сократимые

числа.

Чтобы показать это, предположим, что существует числовое равенство:

в котором основания степени

и

являются сократимыми. Запишем их

в виде:

где: P и T – целые, несократимые числа, N – общий множитель.

Тогда числовое равенство примет вид:

(12)

После проведения операций 3 – 8 получим для условий преобразования

систему уравнений аналогичную системе уравнений (9):

(13)

……………

А соответствующая числовому равенству система уравнений (аналогичная

системе уравнений (10)) примет вид:

(14)

……………

Последнее уравнение в полученной системе уравнений является сократимым,

что и приведет к нарушению теоремы.

Свертка системы уравнений (14) соответствует числовому равенству (12), а

свертка этой же системы уравнений после сокращения последнего уравнения

невозможна без умножения на множитель (последнее уравнение относится к

иному числовому равенству). Для исключения этой неоднозначности

необходимо рассматривать подобные исходные числовые равенства (12)

первоначально разделив их на множитель N:

(15)

Полученное числовое равенство (15) содержит в своем составе как целые

основания степеней, так и рациональные дроби, что выходит за рамки

теоремы (нарушается требование целостности оснований числового

равенства (1)), может привести к нарушению леммы (невозможности

представления в виде системы уравнений (5) аналогично наличию среди

оснований иррациональных чисел) и соответственно нарушению теоремы.

Выводы из теоремы:

Согласно теореме числовые равенства типа (1), удовлетворяющие условиям

теоремы, имеют показатель степени n = R (где: R - количество слагаемых в

равенстве). Теорема может быть нарушена если среди оснований

,

имеются сократимые числа.

Исключение составляют числовые равенства имеющие в своем составе

только два слагаемых. Такие числовые равенства при отсутствии

иррациональных оснований всегда приводимы к условиям теоремы

(доказательство приведено в приложении 2).

Следовательно, натуральный показатель степени числовых равенств типа (1)

при отсутствии иррациональных оснований и количестве слагаемых R = 2 не

может быть больше 2 (большая теорема Ферма).

P.S.: Приведенная выше теорема является частью более общей теоремы.

Аналогично можно доказать, что верное числовое равенство вида:

где: Ак, Вt – целые, положительные, взаимно простые, основания степеней

слагаемых (Ак)

n

и суммы (Вt)

n

;

n > 1 – натуральный показатель степени,

существует при n = (R + N – 1), где: R и N – количество слагаемых

соответственно в левой и правой частях равенства.

Доказательство ничем не отличается от приведенного выше, за исключением

применения необходимого количества операций аналогичной операции

перехода из системы уравнений (6) к уравнению (7) (эта операция позволяет

поочередно исключать слагаемые из одной части равенства) и далее

получения условий аналогичных условию (8).

Приложение 1.

Пусть имеем систему уравнений (5):

……………………………………………….

Вынеся множители

и

за скобки, преобразуем ее к виду:

……………………………………………………..

Каждое уравнение системы является комбинацией всех предшествующих

ему в этой системе уравнений. Для исключения из какого либо i-го уравнения

системы всех предшествующих ему уравнений этой же системы, необходимо

предшествующие ему уравнения до i-го включительно умножить на

коэффициенты бинома Ньютона соответствующие показателю степени i и

произвести свертку полученных таким образом уравнений. Тогда, после

свертки этих уравнений для i-го уравнения системы получим:

Или окончательно i-ое уравнение системы будет иметь вид:

Проделав аналогичные операции по разделению уравнений с каждым из

уравнений системы, получим систему уравнений аналогичную системе

уравнений (6):

…………………………………………

Следует отметить что все проделанные операции являются тождественными

преобразованиями, а следовательно они обратимы. Это означает, что если

существует система уравнений (6), то, произведя свертку этой системы

(действия аналогичные приведенным преобразованиям, но в обратном

порядке), получим исходное числовое равенство.

Приложение 2.

Пусть существует числовое равенство:

где: A, B, C, D, E, F – целые числа.

Это числовое равенство путем приведения к общему знаменателю

приводится к виду числового равенства с целыми основаниями:

(16)

В полученном числовом равенстве слагаемые имеют общий множитель F.

Представим полученное числовое равенство в виде:

Левая часть числового равенства представляет собой целые числа.

Следовательно и правая часть также является целым числом. Это означает,

что частное от деления произведения (BDE) на целое число F также является

числом целым. Следовательно, числовое равенство (16) сократимо. После

деления обеих частей равенства на целое число

, получим числовое

равенство удовлетворяющее условиям приведенной выше теореме.

Список литературы:

1.Виноградов И.М., Математическая энциклопедия, М., Советская

энциклопедия 1977 – 1985.

2.Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике, М., 1

966 г., 424

стр.