Тема:

Касательная к графику функции. (10 класс)

Цели:

Образовательные

Учить

учащихся

выполнению

задач,

связанных

с

составлением

уравнения

касательной

к

графику

дифференцируемой

функции

с

различными

исходными

данными.

Повторить

и

закрепить:

понятие

касательной к графику дифференцируемой функции; основные правила

дифференцирования; решение квадратных уравнений и систем уравнений.

Воспитательные.

Через решение задач, уравнений, постановку нетрадиционных вопросов

прививать учащимся интерес к предмету. Способствовать выработке у

учащихся умения обобщать изучаемые факты. Воспитывать веру в свои

силы. Формировать умения ясно и четко излагать свои мысли и грамотно

выполнять математические записи.

Развивающие.

Через решения системы разнотипных заданий развивать творческую и

мыслительную деятельность учащихся; умение анализировать, сравнивать

математические объекты; способствовать развитию интеллектуальных

качеств (самостоятельность мышления, способность к переключению,

обобщению).

Способствовать

формированию

самостоятельной

и

коллективной работы.

Ход урока

I

. Организация начала урока. Постановка целей.

Учитель:

Сегодня на уроке мы продолжим с вами работу по теме «Касательная к

графику функции». Только сегодня, всевозможные задачи, связанные с

составлением уравнения касательной, мы рассмотрим на примере одной

функции. По ходу выполнения заданий, мы попробуем проследить: как

изменяется решение задачи при незначительном изменении содержания ее

условия.

Сначала выполним несколько устных упражнений.

II

. Устная работа.

№1. В какой точке параболы y = 0,5x

2

– x касательная к ней

наклонена к оси под углом



/4?

№2. К кривой y = 2x

2

– 8x + 1 проведена касательная

параллельная оси абсцисс. Найдите координаты точки

касания.

Функции

заранее

записаны на

доске.

№3. Какой из прямых

y = 2x – 7

y = -x + 2

y = x + 1

y = 15 – x

будет параллельна касательная к графику функции y = x

3

– x

в точке x

0

= 0?

Варианты ответов учащихся:

№1. Т. к.



=



/4, то tg



= 1

Следовательно, необходимо решить уравнение y’ = 1,

(т. к. tg



= k = y’(x

0

) для касательной)

y’ = x – 1; x – 1 = 1; x = 2. Ответ: (2; 0)

№2. Т. к. касательная параллельна оси абсцисс, то k

кас

= 0

(0x: y = 0)

Необходимо решить уравнение y’ = 0.

y’ = 4x – 8

4x – 8 = 0, x = 2

Ответ: (2; -7)

№3. Т. к. прямые параллельны, если равны их угловые

коэффициенты, то найдем угловой коэффициент

касательной к графику данной функции в точке x

0

= 0.

k

кас

= y’(0)

y’ = 3x

2

– 1; y’(0) = -1, k = -1

Ответ: y = - x + 2 и y = 15 – x

III. Усвоение новых знаний. Решение заданий различного вида.

Теперь перейдем, непосредственно, к составлению

уравнений касательных к графику функции

Рассмотрим функцию

f (

)

x

=

x

3

3

4x

1. Составьте уравнение касательной к графику функции в

точке с абсциссой x

0

= 3.

Функция

записана на

боковой доске

Решение: y = f (x

0

) + f ’ (x

0

)(x – x

0

)

Выполняется

учащимися

f ’(x) = x

2

– 4

y = -3 + 5(x – 3)

y = 5x – 18

Вопрос: Изменится ли решение задачи, если вместо

абсциссы точки x

0

= 3 указать координаты точки, через

которую проходит касательная?

самостоятельно

2. A (3; -3)

Ответ учащегося: Нет, т. к. точка A (3; -3) принадлежит

графику функции и, следовательно, является точкой

касания.

y = 5x – 18

На доске:

A (3; -3)

3. B (3; -12)

Ответ учащегося: Да, т. к. точка не принадлежит графику

данной функции

B (3; -12)

Составьте уравнение касательной, проходящей через эту

точку.

Решение: Пусть x

0

– абсцисса точки касания, тогда

уравнение касательной:

y =

x

0

3

3

4x

0

x

0

2

4 (

)

x

x

0

+

y =

x

0

3

3

x

0

2

x

x

0

3

4x

+

Т. к. B (3; -12) принадлежит этой прямой, то

12 =

2x

0

3

3

3x

0

2

+

12

x

0

2

3

2

3

x

0

= 0

x

0

= 0 или

x

0

=

9

2

Выполняется

учащимися

самостоятельно

1) x

0

= 0 y = -4x

2)

x

0

=

9

2

y = 16

1

4

x

60

3

4

4. Напишите уравнение касательных к графику функции,

параллельных прямой y = -3x + 1.

y = -3x + 1

Вопрос: Что изменится в решении задачи?

Ответ учащегося: Как и в предыдущей задаче, нам

неизвестна точка касания, но теперь, для ее нахождения,

мы можем воспользоваться условием параллельности

прямых (равенство угловых коэффициентов).

Решение: k = f ‘ (x

0

) = -3

x

0

2

4 =

3

x

0

2

= 1

;

x

0

=



1

Выполняется

учащимися

самостоятельно

1) x

0

= 1

y =

3x

2

3

2) x

0

= -1

y =

3x

2

3

+

Видоизменим несколько исходную функцию:

f (

)

x

=

x

3

3

4x

a

+

Запись на доске

5. Найдите все значения параметра a, при которых

график функции касается оси абсцисс.

Решение: Т. к. ось 0x – касательная, то уравнение

касательной y = 0 и f ‘(x

0

) = 0, (x

0

, 0) – точка касания

x

0

2

4 = 0

угловой коэффициент

x

0

3

3

4x

0

a

+

= 0

общая точка

x

0

=



2

a = 4x

0

x

0

3

3

x

0

= 2

a =

16

3

x

0

=

2

a =

16

3

Ответ: при a =



(16/3)

Видоизменим исходную функцию:

f (

)

x

=

x

3

3

bx

a

+

Запись на доске

6. При каких значения a и b график функции касается

прямой y = 4x + 1 в точке с абсциссой?

y = 4x + 1

x

0

= 1

Вопрос: Что общего будет в решении этой и предыдущей

задачи?

Ответ учащегося: Для ответа на вопрос используются

условия, при которых прямая является касательной к

данной функции.

1). f (x

0

) = y(x

0

) – существование общей точки

2). k = f ‘(x

0

)

Решение:

x

0

3

3

bx

0

a

+

= 4x

0

1

+

x

0

2

b = 4

1

3

b

a

+

= 5

1

b = 4

,

a = 4

2

3

b

+

b =

3

,

a = 1

2

3

b =

3

Ответ: при

a = 1

2

3

,

b =

3

7. Определить сколько точек существует на графике

функции

f (

)

x

=

x

3

3

4x

,

касательные в которых

перпендикулярны прямой y = 3x – 5.

Дополнительное

задание

y = 3x – 5

Решение: Условие перпендикулярности прямых: k

1

*k

2

= -1

k

1

= 3,

k

2

= f ' (

)

x

0

=

1

k

1

=

1

3

x

0

2

4 =

1

3

;

x

0

=



11

3

Ответ: две точки.

Подведение итогов урока.

Сегодня на уроке вы увидели, что на примере одной функции можно

рассматривать всевозможные задания, связанные с понятием касательной

к графику дифференцируемой функции, составлением уравнений

касательных, свойствами прямых быть параллельными и

перпендикулярными.

Домашнее задание

№1. В задание №4 найти расстояние между касательными.

№2. В задании №7 написать уравнения касательных.

Учитель подводит окончательные итоги урока и выставляет отметки

учащимся.