Тема: Криволинейная трапеция и ее площад

ь

Цели урока: Дать определения криволинейной трапеции и ее площади, научиться вычислять

площадь криволинейной трапеции.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие студентов, проверка готовности к уроку, организация внимания студентов,

раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Этап проверки домашнего задания.

Задачи: Установить правильность, полноту и осознанность выполнения д/з всеми студентами,

выявить пробелы в знаниях и способах деятельности студентов. Определить причины

возникновения затруднений, устранить обнаруженные пробелы.

3.Этап актуализации.

Задачи: обеспечение мотивации учения, включение в совместную деятельность по определению

целей урока. Актуализировать субъективный опыт студентов.

Вспомним основные понятия и формулы.

Определение. Функция y=F(x), x



(a,b), называется первообразной для функции y=f(x), x



(a,b),

если для каждого x



(a,b) выполняется равенство

F



(x)=f(x).

Замечание. Если F(x) есть первообразная для функции f(x), то при любой константе С, F(x)+C

также является первообразной для f(x).

Задача нахождения всех первообразных функции f(x) называется интегрированием, а

множество всех первообразных называется неопределенным интегралом для функции f(x) по dx и

обозначается

.

Имеют место свойства:

1



.

;

2



. Если С=Const, то

;

3



.

.

Замечание. В школьном курсе математики не употребляется термин «неопределенный интеграл»,

вместо этого говорят «множество всех первообразных».

Приведем таблицу неопределенных интегралов.

1.

;

2.

;

3.

;

4.

; в частности,

;

5.

;

6.

;

7.

;

8.

.

Пример 1. Найти первообразную для функции

, проходящую через точку М(2;4).

Решение. Множество всех первообразных функции

есть неопределенный интеграл

. Вычислим его, используя свойства интеграла 1



и 2



. Имеем:

.

Получили, что множество всех первообразных задается семейством функций y=F(x)+C, то есть

y=x

3

–2x+C, где С – произвольная постоянная.

Зная, что первообразная проходит через точку М(2;4), подставим ее координаты в предыдущее

выражение и найдем С.

4=2

3

–2



2+С



С=4–8+4; С=0.

Ответ: F(x)=x

3

-2x – искомая первообразная.

4. Формирование новых понятий и способов действия.

Задачи: Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание учащимися изучаемого материала.

Обеспечить усвоение учащимися методики воспроизведения изученного материала, содействовать

философскому осмыслению усваиваемых понятий, законов, правил, формул. Установить

правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного

осмысления, провести коррекцию. Обеспечить соотнесение учащимися своего субъективного

опыта с признаками научного знания .

Нахождение площадей плоских фигур

Задача нахождения площади плоской фигуры тесно связана с задачей нахождения

первообразных (интегрированием). А именно: площадь криволинейной трапеции ограниченной

графиком функции

y=f(x)

(

f(x)>

0) прямыми

x=a; x=b; y=

0, равна разности значений

первообразной для функции

y=f(x)

в точках

b

и

a

:

S=F(b)–F(a)

Дадим определение определенного интеграла.

Определение. Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на отрезке [a,b] и пусть F(x) –

некоторая ее первообразная. Тогда число F(b)–F(a) называется интегралом от а до b функции f(x) и

обозначается

.

Равенство

называется формулой Ньютона–Лейбница.

Эта формула связывает задачу нахождения площади плоской

фигуры с интегралом.

В общем случае, если фигура ограничена графиками функций

y=f(x); y=g(x) (f(x)>g(x)) и прямыми x=a; x=b, то ее площадь равна:

.

Пример2.

В какой точке графика функции y=x

2

+1 надо провести

касательную,

чтобы

она

отсекала

от

фигуры,

образованной графиком этой функции и прямыми y=0,

x=0, x=1 трапецию наибольшей площади?

Решение. Пусть M

0

(x

0

,y

0

) – точка графика функции y=x

2

+1, в которой

проведена искомая касательная.

1)

Найдем уравнение касательной y=y

0

+f



(x

0

)(x–x

0

).

Имеем:

Поэтому



.

О

x

y

a

b

S

y=f(

x)

S

1

S

2

0

1

2

3

4

x

y

2

3

–

3

1

–

1

–

2

4

5

y=–

x

2

+6

x–5

y=–

x

2

+4

x–3

y=

3x–

15

0

x

y

B

A

1

2

1

C

M(x

0

,y

0

)

2)

Найдем площадь трапеции ОАВС.

.

Далее, А – точка пересечения касательной с осью Oy, поэтому

.

B – точка пересечения касательной с прямой x=1



.

.

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции

S(x)=–x

2

+x+1 на отрезке [0;1]. Найдем S



(x)=–2x+1. Найдем критическую точку из условия S



(x)=0



x=

.

Найдем

.

Видим, что функция достигает наибольшего значения при x=

. Найдем

.

Ответ: касательную надо провести в точке

.

Отметим, что часто встречается задача нахождения интеграла, исходя из его геометрического

смысла. Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 4. Используя геометрический смысл интеграла вычислить

а)

; б)

.

Решение.

а)

– равен площади криволинейной

трапеции, ограниченной линиями

.

Преобразуем

– верхняя половина окружности с центром Р(1;0) и радиусом R=1.

Поэтому

.

Ответ:

.

б) Рассуждая аналогично, построим область, ограниченную

графиками

.

Имеем:

.

.

Ответ:

.

5. Применение. Формирование умений и навыков.

Задачи: Обеспечить применение студентами знаний и способов действий, которые им необходимы

для СР, создать условия для выявления ими индивидуальных способов применения изученного.

Контрольное задание

Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного решения.

Найти первообразную функции y=f(x), проходящую через точку M

0

(x

0

,y

0

).

f(x)=1+cosx+cos2x, M

0

(0;1)

0

x

y

1

1

2

S

–

2



0

x

y

1

–

1

A

B

C

D

f(x)=3cosx–2sinx, M

0

f(x)=

, M

0

(0;3)

Найти площадь фигуры. Ограниченной линиями

y=–3x

2

–2, x=1, x=2, y=–1

y=4x–x

2

, y=0

y=x

2

–2x+3, x+y=5

y=x

2

, y=



x



y=0,5x

2

–2x+2, касательными к ней в точках A

, B(4;2)

y=–9x–59, параболой y=3x

2

+ax+1, если известно, что касательная к параболе в точке x=–2

составляет с осью Ox угол величиной arctg6.

Найти а, если известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=3x

3

+2x,

x=a, y=0, равна единице.

Найти наименьшее значение площади фигуры, ограниченной параболой y=x

2

+2x–3 и прямой

y=kx+1.

6.Этап информации о домашнем задании.

Задачи: Обеспечить понимание студентами цели, содержания и способов выполнения домашнего

задания.№18, 19,20,21 нечетные

7.Подведение итогов урока.

Задача: Дать качественную оценку работы группы и отдельных студентов.