ЦЕЛИ: Повторить изученное, узнать новое, подготовиться к экзамену
Многогранники.

Тела вращения.
Тема:
МНОГОГРАННИКИ
ПРИЗМА- многогранник, который состоит из двух равных n -

угольников, лежащих в параллельных плоскостях и

совмещаемых параллельным переносом, и n

параллелограммов.
Применение формы призмы в дизайне МР3 Треугольная призма Четырёхугольная призма
А В С D D A B С 1 1 1 1 Призма называется
прямой,
если её боковые рёбра перпендикулярны основанию. АВСD и A 1 B 1 C 1 D 1 - основания призмы А A 1 ; ВB 1 ; СC 1 ; DD 1 -боковые рёбра. А 1 D-диагональ призмы А 1 В-диагональ боковой грани Н=АА 1 =ВВ 1 =… высота прямой призмы равна боковому ребру АА 1 (АВСD); ВВ 1 (АВСD)… AA 1 B 1 B; BB 1 C 1 C; CC 1 D 1 D; DD 1 A 1 A – боковые грани (прямоугольники).
Наклонная призма Н о Призма, у которой боковые рёбра не перпендикулярны плоскостям основания НО - высота призмы
Виды призм
Треугольная

призма ABDEGF

Четырёхугольная

призма ABCDEFGH

Пятиугольная призма

BCDEFHGIKJ

Шестиугольная

призма

ABCDEFGIJKLH

Параллелепипед –

призма, в основании

которой лежит

параллелограмм

Кубом называется

прямоугольный

параллелепипед, у

которого все рёбра

равны
.

Площади поверхности и объёмы призм

Наклонная призма

Прямая призма

Боковая

поверхность

Полная

поверхность

Объём

S

бок

= Р

пер

L
Р пер - периметр перпен- дикулярного сечения, L- длина бокового ребра
S

полн

= S

бок

+2 S

осн

V= S

пер

L= S

осн

Н
S пер - площадь перпендикулярного сечения, L- боковое ребро.
S

бок

= Р

осн

Н
Р осн - периметр основания, Н - высота
S

полн

= Sб

ок

+ 2 S

осн

V=S

осн

∙

Н
S осн - площадь основания призмы, Н - высота.

П и р а м и д а

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского n -

угольника (основания), точки, не лежащей в плоскости основания

(вершины) и n треугольников ( одна из сторон каждого треугольника

является стороной многоугольника, а две другие соединяют её концы с

вершиной).

Пирамиды в окружающем мире:

Египетские пирамиды

Пирамиды Майя

S O D B A K C E
SABCDE-пирамида

ABCDE – основание пирамиды,

S- вершина пирамиды
.
SO – высота пирамиды,

SO (ABC)

SK - высота боковой грани,

SK АВ


Элементы пирамиды

1 Высота пирамиды:

Перпендикуляр, опущенный из вершины

пирамиды на плоскость основания.

2 Боковые грани:

ΔASB, ΔSBC, Δ SDC, ΔSDE, ΔSAE.

3 Боковые рёбра:

SA, AB, SC, SD, SE.
V=
4 Боковая поверхность пирамиды равна

сумме площадей боковых граней пирамиды.

Sбок = S

SAB

+S

SBC

+S

SCD

+S

SDE

+S

SEA

5 Полная поверхность пирамиды равна

сумме боковой поверхности пирамиды и

площади её основания.

S

полн

=S

бок

+ S

осн

6 Объём пирамиды равен произведению

одной третьей площади основания пирамиды

на её высоту.

V= S

осн

*Н
S O A B C Грань ASC перпендикулярна плоскости основания, SО- высота пирамиды и высота боковой грани ASC. S A C B Грани ASC и ВSС перпендикулярны плоскости основания. АS-их общее боковое ребро. АS-высота пирамиды и боковых граней АSС и АSВ 3 1

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если её основание является

правильным n-угольником, а основание высоты пирамиды

совпадает с центром этого n-угольника.

Осью правильной

пирамиды
называется прямая, содержащая высоту пирамиды.
Апофемой правильной

пирамиды
называется высота боковой грани.
B

C

О

К

D

А

S

отрезок SО - высота,

прямая SО - ось,

SK – апофема.


Некоторые виды правильных пирамид

Треугольная

С

В

А

S

O
ΔАВС - правильный; О – точка пересечения медиан (высот и биссектрис), центр описанной и вписанной окружностей.
Четырёхугольная

S

C

D

О

В

А
АВСD – квадрат; О – точка пересечения диагоналей, центр описанной и вписанной окружностей.
Шестиугольная

A

O

B

C

S

F

E

F
ABCDEF - правильный шестиугольник; О - точка пересечения диагоналей AD, BE и FC (центр описанной и вписанной окружностей).

Тела вращения

конус

шар

цилиндр
Именно ему мы обязаны умению вычислять объемы ШАРА, КОНУСА, ЦИЛИНДРА .
Архимед


ЦИЛИНДР

Использование формы цилиндра в

дизайне головного убора


Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не

лежащих в одной плоскости и совмещающихся параллельным

переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки

этих кругов.
О 1 О А 1 В 1 В А Основания – равные круги. АА 1 , ВВ 1 – образующие цилиндра . АА 1 = ВВ 1 = ОО 1 = Н – высота. OA = R – радиус. Цилиндр можно получить при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон.
S

бок

= 2RН

S

полн

= 2RН + 2R

2
V =
R

2

H


Виды сечений цилиндра
О 1 О С D А В Осевое сечение АВСD – прямоугольник АD=2R, АВ=Н О 1 О M N L K Сечение плоскостью, параллельной оси. MNKL- прямоугольник. KN-хорда, MN=H О 2 О О 1 β Сечение плоскостью, параллельной основаниям. Сечение - круг, равн ый основаниям.

Конус
S O A B
Конусом
называется тело, состоящее из круга, точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих заданную точку с точками круга. Круг- основание конуса. Точка S - вершина конуса. Конус называется прямым, если SО ┴ (АОВ) (О - центр круга). Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, - образующие. SА; SВ - образующие конуса. Образующие конуса равны. SO = Н - высота конуса АО = R - радиус конуса SА = L - образующая Конус образуется при вращении прямоугольного треугольника около его катета как оси.
S
бок
= RL
S полн =R(R+L)
V= R H

Применение формы

конуса в огранке

драгоценных камней
2 3 1
Что означает слово «конус» ?

ШАР
о А В Р М
ШАРОМ называется множество всех точек

пространства, находящихся от заданной точки О на

расстоянии, не большем данного расстояния R
При вращении полукруга около его диаметра получаем ШАР. Сфера является
поверхностью шара.

О - центр шара,

ОА = R - радиус шара,

точки Р, М - полюса шара,

Прямая РМ - ось шара.

S

=4 R

(площадь сферы)

V = R

(Объём шара)
2 3 4 3

ЧАСТИ ШАРА

Сегмент
Объём:V= H (3R- H). Площадь сегментной поверхности: S бок =2 R H
Cектор
Объём:V= R 2 H. Площадь полной поверхности: S полн.= R(2H+ )
Шаровой слой
Объём:V= H + ( )H Площадь боковой поверхности: S бок. = 2 R H. 6 1 3 2 2 2 1 r r  2 1 3 1 2 3 2 2 2 H HR 
Новый взгляд на «старые вещи»
Цилиндр

Призма


Шестиугольная

призма

Полусфера

Конус
Шар
Спасибо за внимание!
Презентацию подготовили

учащиеся 11 класса

Зиневич Сергей и

Беккерман Юлия.

учитель Серажим Неонилла Анатольевна
о А В Р М