Разработка

урока по геометрии в 10 классе.

Тип урока – открытие нового знания.

Учитель Паршина Людмила Борисовна

Актуальность представленной темы заключается в том, что в современных

учебниках геометрии теоретический материал по теме «Площадь

ортогональной проекции многоугольника на плоскость» практически не

излагается. Вместе с тем, многие задачи из банка заданий ЕГЭ по

стереометрии легко, красиво и быстро решаются с применением теоремы о

площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость.

В данной разработке представлен конспект урока изучения названной

темы, приводится подборка задач как для решения на уроках, так и на

занятиях спецкурса.

Тема урока: «Площадь ортогональной проекции

многоугольника на плоскость».

Цели урока: 1.Изучить теорему о площади ортогональной проекции многоугольника

2.Формировать умение применять эту теорему в задачах

3.Установить на основании теоремы связь площади основания пирамиды с

гранями, равнонаклоненными к основанию, с площадью ее боковой

поверхности.

Оборудование: кодопроектор, кодопленка с решением домашней задачи, карточки с

набором задач по изучаемой теме

Этапы урока:

I

– самоопределение к учебной деятельности.

Ученик выписывает решение домашней задачи на доску. При этом задача может быть

решена различными способами. Так как решение задачи не представляет большой

сложности для учащихся, то различные подходы к решению задачи (или отдельных ее

этапов) можно обсудить устно со всеми учащимися. В данной работе приводится один

вариант решения.

Дано. .

Пирамида SABCD, ABCD – ромб,

АС=12, BD=

,

Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

1.OH

. Тогда

по теореме о трех перпендикулярах, и

.

Т.к. боковые грани равнонаклонены к основанию, то О – центр вписанной в

ромб окружности, ОН=r, высоты боковых граней пирамиды равны и равны

2.ΔCOD:

.

3. ΔSOH:

Ответ.

II

этап – создание проблемной ситуации.

Проблемная ситуация создается учителем с помощью ряда вопросов, которые он

задает своим ученикам:

1.

Чему равно отношение площадей треугольников COD и CSD? (

2.

Как связан полученный результат с величиной угла между плоскостями

указанных треугольников? (

это косинус угла между плоскостями

треугольников COD и CSD).

3.

Как вы назовете ΔCOD по отношению к ΔCSD? (ΔCOD – ортогональная

проекция ΔCSD на плоскость основания ромба).

4.

Так чему же равно отношение площади ортогональной проекции треугольника к

площади этого треугольника? Выдвиньте гипотезу. Грамотно сформулируйте

утверждение. (Отношение площади ортогональной проекции треугольника к

площади этого треугольника равно cosφ, где φ – угол между плоскостью

треугольника и плоскостью его ортогональной проекции).

5.

Докажите это утверждение

Доказательство

1).Одна из вершин треугольника лежит в плоскости проецирования или в

параллельной ей плоскости.

АВ

(или АВ||α). СО

CН

. Т.к. СО

, то ОН

, и

.

S

ΔABC

=

S

ΔAOB

=

.

2).В плоскости проецирования лежит вершина треугольника.

Тогда

.

ΔС

1

ВА

1

– ортогональная проекция ΔАВС на

плоскость α.

Отсюда

3).Если ни одна вершина треугольника не лежит в плоскости проецирования и ни

одна сторона его не параллельна этой плоскости, то через одну из вершин проводим

плоскость

. Площадь проекции данного треугольника на плоскость α

1

равна

площади его проекции на плоскость α. Доказательство утверждения аналогично

п.2).

После того как утверждение доказано для треугольника (следует заметить, что в

основном его доказывают ученики, роль учителя обычно сводится к тому, чтобы

более грамотно и корректно выразить их мысли и суждения, помочь ребятам

оформить запись доказательства в тетрадях) следует расширить проблему, задав

вопрос: «для каких фигур верно доказанное утверждение?». Ответ обычно не

вызывает затруднений у учеников, и они отвечают, что утверждение верно для

произвольного n-угольника и приводят устное доказательство своей гипотезы.

Далее вместе с учениками в тетради для теории завершаем доказательство

утверждения:

«Отношение площади ортогональной проекции n-угольника к площади этого n-

угольника равно cosφ, где φ – угол между плоскостью треугольника и

плоскостью его ортогональной проекции).»

Доказательство.

Проведем из вершины А

1

все диагонали. Тогда

многоугольник

разобьется на n-2

треугольника, на имеющих общих внутренних

точек. Площадь многоугольника S равна сумме

площадей полученных треугольников, а площадь

его ортогональной проекции равна

или

произведению площади многоугольника на

косинус угла между плоскостью его и его

ортогональной проекции.

Отсюда следует, что утверждение верно.

3 этап -первичное закрепление.

1). Вернемся к домашней задаче и ответим на вопросы:

а) Если боковые грани пирамиды равнонаклонены к основанию под углом φ,

то чем является основание пирамиды по отношению к боковой поверхности?

(Ортогональной проекцией).

б)Как в этом случае найти площадь боковой поверхности пирамиды? (

)

2)Решим задачу: в кубе с ребром сечение наклонено под углом φ к основанию и

проходит через ребро DC. Найти площадь сечения.

Решение.

1.Как правило, многие ребята в классе видят, что

основание куба является ортогональной проекцией

сечения на плоскость основания и сразу дают ответ:

2.Иногда в классе найдутся ребята, которые сами

увидят, что ортогональной проекцией сечения может

быть и боковая грань куба и даже в состоянии

сформулировать, в каком случае это имеет место (

).

Если же в классе таких учеников не нашлось, я помогаю им, задавая вопросы:

а)всегда ли ортогональной проекцией сечения является основание? Если

группа слабая, и нет ответа на этот вопрос, на доске показываю различные

варианты расположения сечения в кубе.

б)в каком случае ортогональной проекцией сечения является боковая грань?

в)чему равен угол между плоскостью сечения и боковой гранью? (

г)найдите площадь сечения.

4 этап –

рефлексия учебной деятельности урока.

На этом этапе подводится итог урока, еще раз озвучиваются изученные теоремы,

оценивается работа учителя и работа класса, отличившимся ученикам выставляются

отметки (как правило, на первом уроке по изучаемой теме, отметки я ставлю по

желанию), задается домашнее задание: карточка, №1, №2, выучить теоретический

материал

.

Приложение 1.

Задачи по теме «Площадь ортогональной проекции

многоугольника»

1.

В кубе построили сечение через точки К и М, середины АВ и ВС, параллельно В

1

D.

Найдите площадь сечения.

2.

В кубе АВСDA

1

B

1

C

1

D

1

построено сечение плоскостью, проходящей через точки K и

N – середины рёбер АВ и AD соответственно, параллельно B

1

D. Найдите площадь

сечения, если ребро куба равно а.

3.

В прямоугольном параллелепипеде основание квадрат. Через диагональ основания

проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45

○

. Найдите

площадь полученного сечения, если измерения параллелепипеда 2, 2, 1.

4.

В кубе ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

построено сечение плоскостью, проходящей через точки N, F-

середины рёбер AD и DC соответственно, параллельно B

1

D.

1) Найдите площадь сечения, если ребро куба равно а.

2)Найдите площадь сечения куба плоскостью B

1

NF.

5. В кубе ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

построено сечение плоскостью (АСМ), где М- середина ребра

A

1

D

1.

Найдите угол, образованный плоскостями (АСМ) и (АВС).

6. Все грани тетраэдра равновелики, для

- двугранных углов, образуемых тремя

гранями с четвертой. Найдите

.

7. В основании прямого параллелепипеда – ромб, сторона 3см, угол А равен

.

Боковые ребра пересечены плоскостью, расположенной под углом 45

к площади

основания. Найдите площадь сечения.

8. Ребро куба а. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через сторону

основания, если угол между этой плоскостью и плоскостью основания : а) 30

; б)

Приложение 2.

Предложенные задачи используются для решения на занятиях спецкурса, а также

для индивидуальной работы с учащимися

Задачи по теме «Площадь ортогональной проекции

многоугольника»



Верно ли, что ортогональной проекцией прямоугольного треугольника является

прямоугольный треугольник?



Диагонали ромба равны 10 и 4 см. Плоскость ромба составляет с плоскостью

проекции угол

. Найдите площадь проекции ромба.



Найдите ортогональную проекцию ромба, одна из диагоналей которого

перпендикулярна к плоскости проекции.



Чему равен угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции, если

площадь проекции этого треугольника:

а) в 2 раза меньше площади самого треугольника?

б) равна площади треугольника?



Найдите зависимость между площадями вертикальной и горизонтальной

проекцией плоской фигуры, если её плоскость составляет с горизонтальной

плоскостью

.



Треугольник

является ортогональной проекцией треугольника

,

причем отрезки

равны соответственно высотам

треугольника

. Докажите, что треугольники

равновелики.



Треугольник

является ортогональной проекцией треугольника

,

причем расстояние между соответствующими вершинами этих треугольников

равны а, в и с. Докажите, что расстояние между центроидами этих

треугольников равно

.



Проекцией квадрата со стороной а на некоторую плоскость является ромб со

стороной в и острым углом

. Найдите угол между плоскостями квадрата и

ромба.



Прямоугольные проекции плоского четырехугольника на две взаимно

перпендикулярные плоскости, является квадратами со сторонами 1. Найдите

периметр четырехугольника, если известно, что одна из его сторон имеет длину

.