Конференция

«Решение исторических задач»

Алгебра, 7 класс (2 часа)

Цели:

- закрепить умения решать задачи составлением уравнений;

- прививать интерес к истории алгебры;

- развивать культуру устной и письменной математической речи, умение выступать

перед аудиторией с сообщением;

- приучать работе с дополнительной литературой.

Оборудование: слайды портретами математиков и с текстами исторических задач.

ПЛАН КОНФЕРЕНЦИИ

1.

Исторический экскурс и теория решения уравнений.

2.

Язык алгебры – уравнение. Перевод задачи «с родного языка на язык алгебры».

3.

Решение исторических задач на составление уравнения.

4.

Заключение. Знакомство с литературой, рефератами.

ХОД КОНФЕРЕНЦИИ

Ведущий конференции (учитель):

Здравствуйте. Алгебра является одним из

важнейших разделов математики. Она помогает решать сложные задачи, встречающиеся

в технике, науке, практической жизни.

В истории арифметики и алгебры большое значение имеют труды Мухаммеда ал-

Хорезми (слайд с портретом ученого). Написанный им в начале IX в, алгебраический

трактат «Китаб ал-джабр в-ал-мукабала» явился первым в мире самостоятельным

сочинением по алгебре.

Для ал-Хорезми алгебра – это искусство решения уравнений, необходимое людям,

как писал он «в случаях наследования, наследованных пошлин, раздела имущества,

торговли и во всех их деловых взаимоотношениях, или же в случае измерения земель,

проведения каналов, геометрических вычислений и других предметов различного рода».

Достаточно много уравнений умел решать греческий математик Диофант (слайд с

портретом), который даже применял буквы для обозначения неизвестных. Но по-

настоящему метод решения уравнений был сформулирован арабскими учеными. Они,

по-видимому, знали, как решали задачи в Вавилоне и Индии, улучшили эти способы

решения и систематизировали их.

Первым книгу о решении уравнений написал на арабском языке уже знакомый нам

Мухаммед бен Муса ал-Хорезми. Она называлась так - «Краткая книга об исчислении

ал-джабры и ал-мукабалы». В этом названии впервые прозвучало хорошо известное нам

слово «алгебра».

Что же означают слова «ал-джабра» и «ал-мукабала»? Ответ на этот вопрос дадут

наши архивариусы - хранители архивных документов.

Первый архивариус: Вот как писал в стихах один персидский математик:

«Ал-джабра» (слайд)

При решении уравнения

Если в части одной,

Безразлично какой,

Встретится член отрицательный,

Мы к обеим частям,

С этим членом сличив,

Равный член придадим,

Только с знаком другим

И найдём результат нам желанный.

Второй архивариус:

«Ал-мукабала» (слайд)

Дальше смотрим на уравнение,

Можно ль сделать приведенье,

Если члены в нём подобны,

Сопоставить их удобно,

Вычтя равный член из них,

К одному приводим их.

Первый архивариус:

Словом «ал-джабра» называлась операция переноса

отрицательных членов из одной части уравнения в другую, но уже с положительным

знаком. По-русски это слово означает «восполнение».

Второй архивариус: Слово «ал-мукабала» означало приведение подобных членов.

В отличие от слова «ал-джабра», которое в форме «алгебра» стало впоследствии одним

из самых употребляемых в математике, про «ал-мукабалу» помнят только историки

науки.

Первый архивариус: Итак, когда при решении уравнения (слайды):

9х - 18 = 2х – 4,

мы заменяем его уравнением: 9х + 4 = 2х + 18,

то делаем операцию «ал-джабра».

Второй архивариус: Когда после этого мы заменяем члены 9х и 2х на 7х в левой

части, а 18 и 4 на 14 – в правой части, и получаем уравнение:

7х = 14,

то делаем «ал-мукабалу».

Операция последующего деления обеих частей уравнения на 7 специального

названия не получила: х = 2.

Ведущий:

Спасибо нашим архивариусам за интересный экскурс в историю

математики.

На сегодняшней научно-технической конференции мы рассмотрим решение

исторических задач на составление уравнения.

Язык алгебры – это уравнение. Как писал Исаак Ньютон в своём учебнике

«Всеобщая арифметика»,

«Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к

отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на

язык алгебраический». Как именно выполняется такой перевод, Ньютон показал на

примерах. Вот один из них (слайд):

Чтобы определить первоначальный капитал купца, остается решить последнее

уравнение:

64 х

−

14800

27

= 2х

(Один ученик решает на доске, остальные решают в своих тетрадях)

64х – 14800 = 54х,

64х – 54х = 14800,

10х = 14800,

х = 1480.

Ответ: купец первоначально имел 1480 фунтов.

Ведущий: Решение уравнений – дело нетрудное. А вот составление уравнения по

данным задачи иногда вызывает затруднения. Вы убедились сейчас, что искусство

составлять уравнения действительно сводится в умению переводить «с родного

языка на алгебраический». Однако язык алгебры немногословен, перевести на него

без труда удается не каждый оборот речи.

Практически не сохранилось фактов биографии древнего александрийского

математика Диофанта, жившего в III в. Всё, что известно о нём, почерпнуто из

надписи на его надгробии, составленной в виде математической задачи.

Вот эта надпись (слайд):

Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант.

Участники конференции самостоятельно решают полученное уравнение. Один

ученик работает у доски.

Имеем:

х =

х

6

+

х

12

+

х

7

+

5

+

х

2

+

4

,

умножим обе части уравнения на 84, получаем:

84х = 14х + 7х + 12х + 420 + 42х + 336,

84х = 75х + 756,

84х - 75х + 756,

9х = 756,

х = 84.

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Ведущий: Задачи, которые мы решаем в наше время с помощью уравнений,

были хорошо известны еще в Древней Греции, Древнем Египте, Древнем Вавилоне,

Древнем Китае.

Решим несколько старинных задач (сообщения учеников – участников

конференции).

1 слайд. ЗАДАЧА Бхаскары.

Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве - третью

долю этого множества, Вишпу - пятую, Солнцу - шестую, четвертую долю получил

Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было

цветков?

Решение:

х

3

+

х

5

+

х

6

+

х

4

+

6

=

х

,

20х + 12х + 10х + 15х + 360 = 60х,

57х + 360 = 60х,

3х = 360,

х = 120.

Ответ: всего было 120 цветков лотоса.

2 слайд. ЗАДАЧА Сриддхары.

Есть кадамба цветок.

На один лепесток

Пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету сименгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность ты их найди,

Ее трижды сложи

И тех пчелок на Кутай посади.

Лишь одна не нашла

Себе места нигде,

Всё летала то взад, то вперёд, и везде

Ароматом цветов наслаждаясь.

Назови теперь мне,

Подсчитавши в уме,

Сколько пчёлок всего здесь собралось?

Решение: х -

х

5

−

х

3

−

3

(

х

3

−

х

5

)

=

1 ,

х -

х

5

−

х

3

−

х

+

3 х

5

=

1 ,

-3х – 5х + 9х = 15,

х = 15.

Ответ: всего собралось 15 пчел.

3 слайд. Из арифметики Магницкого.

Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но

тот, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойные платы с кафтаном; он

же дал ему по достоинству расчет: 5 рублей и кафтан. Коликой цены оный кафтан

был?

Решение: Пусть х рублей стоил кафтан, тогда имеем

12

+

х

12

=

5

+

х

7

,

84 + 7х = 60 + 12х,

5х = 24,

х = 4,8.

Ответ: кафтан стоил 4 рубля 80 копеек.

4 слайд.

Задача великого русского писателя Антона Павловича Чехова из

рассказа «Репетитор»:

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается,

сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин,

а черное 3 рубля?

Решение: Пусть было х аршин синего сукна, тогда черного сукна (138 – х) аршин.

Получаем:

5х – 3(138 – х) = 540,

5х – 414 – 3х = 540,

5х – 3х = 540 – 414,

2х = 126,

х = 63.

Если х = 63, то 138 – х = 138 – 63 = 75.

Ответ: купец купил 63 аршина синего сукна и 75 аршин черного сукна.

5 слайд. Старинная русская задача.

Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как я

хочу отдать сына к тебе в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников

еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у

меня учеников 100». Сколько было у учителя учеников?

Решение: Пусть у учителя было х учеников. Тогда получаем:

х + х +

1

2

х

+

1

4

х

+

1

=

100 ,

Умножим обе части уравнения на 4:

4х + 4х + 2х + х + 4 = 400,

11х = 396,

х = 36.

Ответ: у учителя было 36 учеников.

Ведущий: Конференция подошла к концу. Уважаемые участники конференции,

закончите предложение:

Сегодня я узнал…

Теперь я могу…

Было интересно…

Материал урока мне был…

Я смог…

Если у вас появилось желание попробовать свои силы в решении старинных задач на

составление уравнений, то задачи можно найти в этих книгах:



Депман ИЛ., Виленкин НЛ. «За страницами учебника алгебры»;



Игнатьев Е.И. «В царстве смекалки»;



Кордемский Б А. «Математическая смекалка»;



Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка».