«Разработка итогового повторения курса алгебры 7-9 классов».

Работу выполнила:

Альтшуллер Светлана Валерьевна, учитель математики высшей категории

МБОУ СШ № 45 г. Архангельска.

Итоговое повторение курса алгебры 7 – 9 классов.

Пояснительная записка

Данная программа предназначена для учащихся 9 класса в количестве 35 часов.

Цель курса: подготовить обучающихся к итоговой государственной аттестации по математике.

Задачи:

- создание прочной и надежной базы, которая поможет учащемуся продемонстрировать

определенную системность знаний и широту представлений, умение переходить с одного

математического

языка

на

другой,

узнавать

стандартные

задачи

в

разнообразных

формулировках, применять свои знания в практических ситуациях;

- способствование развитию мышления коммуникативной культуры учащихся;

- формирование ответственности за результат итоговой аттестации.

В данном курсе содержание образования развивается в следующих направлениях:

•

систематизация сведений о числах; формирование представлений о расширении

числовых множеств от натуральных до действительных чисел; совершенствование техники

вычислений;

•

развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения

уравнений, неравенств, систем;

• систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование графических

умений;

•

совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно

применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также

использовать их в нестандартных ситуациях;

• формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели

при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об

особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в

природе и обществе.

Содержание курса.

1.

Числа и вычисления.

Числа: натуральные, рациональные, действительные. Соответствия между числами и

координатами на координатном луче. Сравнение чисел. Стандартная запись чисел.

Сравнение квадратных корней и рациональных чисел. Понятие процента. Текстовые

задачи на проценты, дроби, отношения, пропорциональность. Округление чисел.

2.

Алгебраические выражения.

Выражения, тождества. Область определения выражений. Составление буквенных

выражений, по задачам или по чертежам. Одночлены. Многочлены. Действия с

одночленами и многочленами. Формулы сокращенного умножения. Разложение

многочленов на множители. Сокращение алгебраических дробей. Преобразование

числовых выражений, содержащих квадратные корни.

3.

Уравнения и системы уравнений.

Уравнения с одной переменной. Линейные уравнения. Квадратные уравнения.

Исследование квадратных уравнений. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения с

двумя переменными. Системы уравнений. Задачи, решаемые с помощью уравнений

или систем уравнений.

4.

Неравенства и системы неравенств.

Основные свойства числовых неравенств. Решение линейных, квадратных

неравенств. Системы неравенств. Метод интервалов при решении рациональных

неравенств. Графический метод решения неравенств. Неравенства,

содержащие переменную под знаком модуля.

5.

Последовательности и прогрессии.

Последовательности. Прогрессии. Рекуррентные формулы. Задачи, решаемые с

помощью прогрессий.

6.

Функции.

Функции, аргумент функции, область определения, свойства функций. Нули функции.

Максимальное и минимальное значение. Чтение графиков функций. Зависимость

между величинами.

7.

Итоговое занятие.

Требования к уровню подготовки выпускников.

1.

Уметь выполнять вычисления и преобразования.

Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические действия с рациональными

числами, сравнивать действительные числа; находить в несложных случаях значения степеней с

целыми показателями и корней; вычислять значения числовых выражений; переходить от

одной формы записи чисел к другой.

Округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел с недостатком и с

избытком, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений.

Решать текстовые задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, дробями,

процентами.

Изображать числа точками на числовой прямой.

2.

Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений.

Составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач, находить значения буквенных

выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования.

Выполнять основные действия со степенями с целым показателями, с многочленами и

алгебраическими дробями.

Выполнять разложение многочлена на множители.

Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений.

Применять свойства арифметических квадратных корней для преобразования числовых

выражений, содержащих квадратные корни.

3.

Уметь решать уравнения, неравенства и их системы.

Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним,

системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы.

Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы.

Применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств.

Решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат,

проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи.

4.

Уметь строить и читать графики функций.

Определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами.

Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания

функции, решать обратную задачу.

Определять свойства функции по её графику (промежутки возрастания, убывания, промежутки

знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значение).

Строить графики изученных функций, описывать их свойства.

Решать элементарные задачи, связанные с числовыми последовательностями.

Распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать задачи с применением

формулы общего члена и суммы нескольких первых членов.

5.

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели.

Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения и

неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата

алгебры.

6.

Уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и

повседневной жизни.

Решать несложные практические расчётные задачи, решать задачи, связанные с отношением,

пропорциональностью величин, дробями, процентами, пользоваться оценкой и прикидкой при

практических расчётах, интерпретировать результаты решения задач с учётом ограничений,

связанных с реальными свойствами рассматриваемых объектов.

Календарно-тематическое планирование курса.

№

п/п

Тема консультации

Примерные

сроки

1.

Числа и вычисления (6 часов).

1

Натуральные числа. Арифметические действии над натуральными числами.

Делимость чисел. Признаки делимости. Дроби. Арифметические действия с

дробями.

2

Рациональные числа. Действия с рациональными числами. Степень с целым

показателем. Числовые выражения.

3

Действительные числа. Иррациональные числа. Десятичные приближения

иррациональных чисел.

4

Измерения, приближения, оценки. Стандартный вид числа.

5

Отношения. Проценты. Пропорции.

6

Тест № 1 по теме «Числа и вычисления».

2.

Алгебраические выражения (7 часов).

7

Буквенные выражения.

8

Степень с целым показателем.

9

Многочлены. Формулы сокращённого умножения. Преобразования

многочленов.

10

Алгебраическая дробь. Сокращение дробей.

11

Действия с алгебраическими дробями.

12

Рациональные выражения и их преобразования.

13

Тест № 2 по теме «Алгебраические выражения».

3.

Уравнения и системы уравнений. (8 часов).

14

Линейные уравнения. Системы линейных уравнений.

15

Квадратные уравнения.

16

Решение уравнений на основе условия равенства нулю произведения

17

Решение дробно-рациональных уравнений

18

Графический способ решения уравнений

19

Решение систем двух уравнений с двумя переменными

20

Решение текстовых задач

21

Тест№ 3 по теме «Уравнения и системы уравнений».

4. Неравенства и системы неравенств ( 4 часа).

22

Свойства числовых неравенств

23

Решение линейных неравенств и их систем

24

Решение квадратных неравенств

25

Тест№ 4 по теме «Неравенства и системы неравенств».

5. Последовательности и прогрессии ( 3 часа).

26

Последовательности.

27

Арифметическая прогрессия. Геметрическая прогрессия.

28

Тест № 5 по теме «Числовые последовательности».

6. Функции (6 часов).

29

Числовые функции. Область определения. Способы задания. Свойства функции.

30

Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости.

31

Линейная функция.

32

Квадратичная функция.

33

Графики функций

.

34

Тест № 5 по теме «Функции».

35

Итоговый тест № 7 по алгебре.

Тематические тестовые работы (в одном варианте)

Тест №1 «Числа и вычисления»

1.

Расположите в порядке убывания числа: 0,1327; 0,014; 0,13.

1) 0,1327; 0,014; 0,13 3) 0,1327; 0,13; 0,014

2) 0,014; 0,13; 0,1327 4) 0,13; 0,014; 0,1327

2. Какому из данных промежутков принадлежит число

?

1) [0,1; 0,2] 2) [0,2; 0,3]

3) [0,3; 0,4]

[0,4; 0,5]

3. Какое из чисел

,

,

является иррациональным?

1)

2)

3)

4) все эти числа

4. На координатной прямой отмечены числа а и b. Какое из следующих утверждений является

верным?

1)

ab › 0; 2) a + b › 0; 3) b(a + b) ‹ 0; 4) a(a + b) ‹ 0

5. Сколько целых чисел расположено между числами

и

?

Ответ: _______________________

6. На рулоне обоев имеется надпись, гарантирующая, что его длина равна

10 + 0,05 м. Какую длину не может иметь рулон при этом условии?

1) 10 м 2) 9,98 м 3) 10,04 4) 9,92 м

7. Найдите десятичную дробь, равную 76,48 · 10

-6

.

1)

0,07648 2) 0,007648 3) 0,00007648 4) 0,0000007648

8. Стоимость билета на утренний сеанс мультфильма составляет 165 рублей. Детям до 12 лет

предоставляется скидка 40%. Сколько рублей стоят билеты на этот сеанс для 5 взрослых и 4

детей (до 12 лет) ?

Ответ: _______________________

9. Выразите десятичной дробью 53,7%.

Ответ: _______________________

10. Запишите в ответе номера тех выражений, значение которых равно 0.

1) (-1)³ + (-1)² 3) -1² - (-1)²

2) (-1)³- (-1)³ 4) -1³ + (-1)³

11. Вычислить ( 5,5 - 2

) : 4 -1.

1)

2) -

3)

4) 9

.

Тест№2 «Алгебраические выражения»

1.

Найти значение выражения

при а = 0,81; в = 0,02.

Ответ: _____________________________

2.

Найдите значение выражения 0,6х³ + 0,4х

²

+3 при х = -2.

Ответ: _____________________________

3.

Соотнесите каждое выражение с его областью определения.

А)

Б)

В)

Г)

1)

с # -4 2) с # -1 3) с # -4 и с # -1 4) с – любое число

4. При каком из указанных значений х выражение

не имеет смысла?

1) х = -8 2) х = -5 3) х = 8 4) х = 4

5. За 45 минут человек прошел 4 км. Какое расстояние он пройдет за t минут, если будет

идти с той же скоростью?

1)

2)

3)

4)

6. Из формулы Q = cm ( t

2

–t

1

) выразите t

2

Ответ: _____________________________

7. Представьте выражение

в виде степени.

1)

a

2

2) a

-4

3) a

8

4) a

-2

8. Найдите значение выражения (2,5 · 10

-3

) · (3 · 10

-2

).

1.

7500000 2) 0,00075 3) 0,000075 4) 0,0000075

9. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное ?

1) (х-2у)у=х-2у 2) (х+у)(у-х)=х²- у²

3) (2-х)²=4-4х+х² 4) (х+у)²=х²+у²

10. Упростите выражение (а + 3)

2

– (9 – а

2

).

1)

0 2) 2а

2

3) 6а 4) 2а

2

+ 6а

11. Разложите на множители квадратный трехчлен 2х²+5х-3.

1) (х+3)(х-0,5) 2) (х-3)(х+0,5)

3) (х+3)(2х-1) 4) (х-3)(2х+1)

12. Сократите дробь

.

1)

2)

3)

4)

13. Упростите выражение

:

.

1)

2) -

3) -

4)

Тест№3 «Уравнения, системы уравнений»

1. Решите уравнение (8х-5)(-5х-8)=0

Ответ: _____________________________

2. При каком значении х значения выражений 20х-14 и 15х+20 равны?

Ответ: _____________________________

3. Найдите сумму корней уравнения 4х

2

– 12х + 5 = 0.

1)

12 2) – 3 3) 3 4) 1,25

4. Соотнесите каждое квадратное уравнение и его корни:

А) х

2

– 25 = 0 Б) х

2

+ 3х = 0 В) х

2

+ 9 = 0

1) 0; -3 2) -3; 3 3) -5; 5 4) нет корней

5. Решите уравнение (х+9)² + (х-11)² =2х²

Ответ: ___________________________

6. Решите уравнение

.

Ответ: ___________________________

7. Найдите решение системы уравнений

1)

(-2; 1) 2) нет решений 3) (-2; -1) 4) (1; -2)

8 Найдите координаты точки пересечения параболы у = х

2

-5х и прямой у = 16 + х.

Ответ: _____________________________

9. В пакете 800 г смеси сухофруктов, состоящей из абрикосов , изюма и чернослива.

Абрикосов в этой смеси на 30% меньше , чем изюма , а чернослива на 10% больше , чем

абрикосов. Сколько грамм изюма в этом пакете?

Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначена масса изюма (в

граммах)?

1) х+ (х-800·0,3) +(х-800·0,2)=800

2) х+( х-800·0,3)+1,1· (х-800·0,3)=800

3) х+0,7х+1,1·0,7х=800

4) х+0,7х+1,1х=800

Тест№4 «Неравенства и системы неравенств»

1. На координатной прямой отмечены числа х, у и z. Какая из следующих разностей

отрицательна?

1) х – у 2) у – х 3) z – у 4) z – х

2. Какое из перечисленных ниже неравенств не следует из неравенства с > b – a

1) a + c > b 2) a > b - c 3) b – a – c > 0 4) a – b + c > 0

3. Решите неравенство 6x – 3( 4x + 1) > 6.

1) (-∞; -1,5)

2) (-1,5; +∞) 3) (-∞; -0,5) 4) ( -0,5; +∞)

4. На каком рисунке изображено множество решений неравенства

?

5. Решите неравенство ( х + 2 ) ( х + 3 ) > 0.

1) (- ∞; - 3) и ( - 2; + ∞ ) 2) ( - 3; 2 ) 3) ( -2; +∞ ) 4) ( - ∞; - 3 )

6. На рисунке изображен график функции у = х

2

+2х.

Используя график, решите неравенство х

2

> - 2х

1) (- 2; 0) 2) (- ∞; - 2)

(0; + ∞)

3) (- ∞; - 2)

7. Решите систему неравенств

1)

Решений нет; 2)

; 3)

; 4)

.

8. Укажите неравенство, решением которого является любое число.

1)

x

2

+ 7 < 0; 2) х

2

– 7 < 0; 3) х

2

+ 7 > 0; 4) х

2

– 7 > 0.

9. Найдите область определения выражения.

1) (-∞;+ ∞) 2) (- ∞; - 1] и [1; + ∞) 3) [ -1; 1 ] 4) ( -1; 1 )

Тест№5 «Последовательности и прогрессии»

1. Последовательность задана формулой а

n

= -4n²+7. Какое из указанных чисел является

членом этой последовательности ?

1) -56 2) -58 3) -57 4) -55

2. Каждой последовательности поставьте в соответствие формулу n-го члена.

А) 6; 12; 24… Б) 10; 8; 6… В) 2; 8; 18…

1) 12 – 2n

2) а

n

= 2n

2

3) а

n

= 2n + 6

4) а

n

=

3. Укажите какая из нижеперечисленных последовательностей является арифметической

прогрессией.

1) Последовательность натуральных степеней числа 2.

2) Последовательность натуральных чисел, кратных 5.

3) Последовательность кубов натуральных чисел

4) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя.

4. Найдите неизвестный член геометрической прогрессии :

…; -0,12; 0,6; х; 15; … .

Ответ: ________________________________

5. В первом ряду кинозала 45 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем.

Сколько мест в ряду с номером n?

Ответ: ________________________________

6. Геометрическая прогрессия (b

n

) задана условиями: b

1

, и b

n+1

= b

n

·

. Определите формулу

n-го члена этой прогрессии.

1) b

n

=

2) b

n

=

3) b

n

=

4) b

n

=

7. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, если С

n

= 6n + 2.

1) 864 2) 848 3) 792 4) 716

8. Последовательность задана формулой С

n

= 17 – 2n. Укажите номер наименьшего

положительного члена этой последовательности.

1) 4 2) 8 3) 9 4) 17

9. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые делятся на 7 и не превосходят 370 ?

Ответ: ____________________________________

Тест№6 «Функции»

1. На рисунке изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между

графиками и знаками коэффициентов k и b.

А) k>0, b<0;

В) k<0, b>0;

С) k<0, b<0;

Д) k>0, b>0.

2)

3)

4)

2. Какая из функций является убывающей?

1)

у = 5х – 7 2) у = -3х + 8 3) у = 6х

2

4) у = -4х

2

3. Функция задана формулой

f(x)= -х³ + 5x -7. Найдите f(-1).

1)

-1 2) -3 3) -11 4) -13

4. Найдите координаты точки пересечения графиков функций у = (х – 3)

2

+ 1 и у = х

2

+ 4.

1)

(2; 8) 2) (-2; 8) 3) (1; 5) 4) (3;1)

5. На рисунке изображён график функции y = f(x). Какие из утверждений относительно этой

функции неверны? Укажите их номера.

1) функция возрастает на промежутке

2) f (3) > f(-3)

3) f(0) = -2

4) прямая y=2 пересекает график в точках (-2; 2) и (5; 2)

А)

В)

С)

Д)

6. Найдите область определения функции у =

.

1) х # 4 2) х # -4 3) х #

4 4) х – любое число

7. Найдите сумму координат точки пересечения графиков функций у =

и у =

.

Ответ: ___________________________________

8. Какая из данных прямых не имеет общих точек с параболой y= x²+3x+2?

1) у = -4 2) у =x+1

3) у = -4x-4 4) у =-2

9. На рисунке изображен график изменения силы тока при подключении цепи, содержащей рео-

стат, к источнику тока. По вертикальной оси откладывается сила тока I (в A), по горизонталь-

ной — время t (в сек). По рисунку определите силу тока через 4 секунды с момента подключе-

ния данной цепи.

Ответ: _______________________________________

10. Каждый график соотнесите с соответствующей формулой.

А) y=

;

В) y=2-x

2

;

С) y=2x;

Д) y=2x+2.

1)

2)

3)

4)

Ответ:

Обобщающая тестовая работа

1. Чему равно значение выражения 0,1 ·( -10)³ - 10 .

Ответ:____________________________

1)

2)

3)

4)

2. Площадь садов фермерского хозяйства распределена следующим образом: яблонями занято 7

га, грушами- 24 га. Сколько примерно процентов площади садов занимают груши?

1) 3,4% 2) 77% 3) 130% 4) 0,8%

3. Известно, что числа а, в и с – отрицательные. Какое из приведенных утверждений верно?

1) ав + с < 0 2) ав + с > 0 3) ав +с = 0 4) знак ав + с может быть любым

4. При каком значении х значение выражения

является числом иррациональным?

1) 16 2) 12 3) 9 4) -4

5 Из формулы

выразите переменную

.

1)

2)

3)

4)

6. Какое из двойных неравенств не является верным?

1) 4 <

< 5 2) 4,1 <

< 4,3

3) 3,5 <

< 6 4) 4,5 <

< 5,5

7. Упростите выражение:

3

2

5

3







b

b

.

8. В какое из следующих выражений можно преобразовать произведение (х -1)(х -5)?

1) – (х-1)(х-5) 2) (х+1)(- х+5) 3) (1-х)(5-х) 4) (1-х)(х+5)

9. Решите уравнение

Ответ: __________________________

10. Соотнесите каждое квадратное уравнение и его корни.

А) 4х

2

+ 4х – 15 = 0 Б) 4х

2

+ 9 = 0 В) 4х

2

– 25 = 0

1) – 2,5; 1,5 2) – 2,5; 2,5 3) 1,5; - 2,5 4) корней нет

11. В какой координатной четверти находится точка пересечения прямых 6х + у = - 15 и

8х - 7у = 42?

1) в I 2) вo II 3) в III 4) в IV

12. Все имеющиеся фотографии можно поместить в 3 больших альбома или в 6 маленьких. В

большой альбом помещается на 12 фотографий больше, чем в маленький. Сколько всего

имеется фотографий?

Пусть х – число имеющихся фотографий. Тогда уравнение для решения задачи будет иметь вид

1) 6х = 3(х +12) 2)

3) 3х = 6(х – 12) 4) 6х – 3х = 12

13. Укажите наименьшее целое решение неравенства 0,5· (х+4) –х < 4

1) 5 2) -2 3) 0 4) -3

14.

у

0 х

у=1-х

2

х+у=4

х+4=0

у+10=0

На рисунке изображена парабола и три прямые.

Укажите систему уравнений, которая имеет два

решения.

15. Решите неравенство х

2

– 49

0.

1)

(- ∞; - 7] U [7; +∞) 2) [-7; 7] 3) (-∞; 7] 4) [- 7; +∞)

16.

Ответ: __________________________

При выполнении заданий 17 – 19 запишите решение.

17. Решите уравнение х³ + 5х² - х – 5=0

18. Найдите сумму отрицательных членов арифметической прогрессии: - 10; - 9,8 …?

19. Каменщики Антон и Петр выкладывают один кирпичный забор за 8 часов, Петр и Дмитрий

выполняют эту же работу за 12 часов, а Антон и Дмитрий – за 9,6 часа. Найдите, за сколько

часов каменщики выполнят эту работу, если будут работать втроем.

Анализ тестовой работы в 9 классе по теме « Числа и вычисления».

Цели:

1. Выявить типы заданий, вызывающие затруднения у учащихся.

2. Выявить учащихся, требующих оказания помощи.

3. Разработать методические рекомендации по устранению пробелов в знаниях учащихся.

В классе: 26 учащихся

Выполняли: 26 уч-ся

Отметки: Качество: 85%

«5»- 9

«4»- 13 Обученность: 100%

«3»- 4

Ошибки, допущенные учащимися при выполнении теста.

Типичные ошибки

Кол-во уч-ся,

допустивших ошибки

%

1

Сравнение и упорядочивание десятичных дробей

3

12

2

Сравнение обыкновенных и десятичных дробей

0

0

3

Определение рациональных и иррациональных

чисел

1

4

4

Установление соответствия между числами и

точками координатной прямой

2

8

5

Сравнение рациональных и иррациональных

чисел

3

12

6

Понимание записи приближенных значений

(задание с практическим контекстом)

0

0

7

Запись десятичного числа с помощью степеней

числа 10

3

12

8

Процентные вычисления ( практический

контекст)

4

8

9

Перевод процентов в десятичную дробь

6

23

10

Понятие степени с натуральным показателем

7

27

11

Арифметические действия с обыкновенными

дробями

2

8

Анализ ошибок, допущенных учащимися при выполнении теста.

1. Наиболее простыми оказались задания № 2, 3, 6. Учащиеся владеют понятиями

рациональные и иррациональные числа. Выявилось хорошее понимание смысла

записи приближенных значений.

2. При выполнении задания №1 есть учащиеся, которые путают термины

«возрастания» и «убывания».

3. В задании №4 большинство учащихся отлично осуществляют перевод с

геометрического языка на алгебраический.

4. В задании №5 не внимательно прочитали задание. Ответили не сколько, а

какие числа расположены между данными иррациональными числами.

5. В задании №7 причины ошибок связаны с неверным представлением о том, что

отрицательный показатель говорит о числе нулей в записи десятичной дроби.

6. В задании №8 учащиеся нашли скидку, а не стоимость детского билета.

7. В задании №9 6 человек не смогли выразить проценты десятичной дробью.

8. Наибольшее количество ошибок допустили в задании №10. Не умеют

возводить в натуральную степень 1 и -1.

Методические рекомендации по устранению ошибок учащимися и

подготовке их к экзаменам.

Необходимо обратить внимание на повторение следующих тем:

«Проценты», « Степень с натуральным показателем».

Выделить «западающие» темы для каждого ученика и составить банк личных

достижений учащихся.

При подготовке к экзамену приучать учащихся пользоваться черновиком,

выполнять проверку.

Развивать у учащихся привычку к самоконтролю, к самоконтролю.

Необходимо больше внимания обращать обучению учащихся не только

выполнению действий с числами, записанными в стандартном виде, а также и

работе с фабулами.

После каждого тематического теста проводить анализ и разбор допущенных

ошибок.

Задания повышенного уровня разбирать на факультативах с сильными

учащимися.