Напоминание

"Первообразная. Дидактический материал по математике 12 класс"


Автор: Кащеева Ольга Михайловна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: КОУ "СШ №2 (очно-заочная)"
Населённый пункт: город Омск
Наименование материала: учебно-методический материал
Тема: "Первообразная. Дидактический материал по математике 12 класс"
Раздел: полное образование





Назад




Первообразная

Дидактический материал по математике 12 класс

О.М. Кащеева , учитель математики

КОУ «Средняя школа №2 (очно-заочная)», г.Омск

Задание 1. Найдите функцию f, если известно, что f´(x) = 3x

2

.

Задание 2. Заполните пропуски:

а) (….)´= 2х; б) (....)´= cosx; в) (...)´ = 2sinx

Пусть закон движения точки задан функцией s = s(t), тогда мгновенная скорость в момент

времени t равна v = s’(t). В этой задаче по заданной функции s(t) вычисляется ее

производная.

В физике встречается обратная задача: найти закон движения по заданной скорости v =

v(t), то есть s = s(t).

В этом случае функцию s(t) называют первообразной для функции v(t).

Определение: Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на некотором

интервале, если для всех х из этого интервала выполняется равенство F’(х) = f(х).

Пример1. Показать, что функция F(х) =

1

3

sin 3 х

является первообразной для функции

f(х) =

cos 3 х

.

Решение. F’(х) = (

1

3

sin 3 х

)’ =

cos 3 х

= f(х), значит,

1

3

sin 3 х

первообразная для функции

cos 3 х

.

Пример2

.

Доказать, что функции

х

3

3

,

х

3

3

+ 1 ,

х

3

3

- 4

являются первообразными для

функции f(х) = х

2

.

Решение.

(

х

3

3

)’ =

1

3

(

х

3

)’ =

1

3

· 3х

3 – 2

=

х

2

= f(х)

(

х

3

3

+ 1 )’ =

(

х

3

3

)’ + ( 1 )’ =

(

х

3

3

)’ + 0 =

х

2

= f(х)

(

х

3

3

- 4

)’ = (

х

3

3

)’ - ( 4 )’ =

(

х

3

3

)’ - 0 =

х

2

= f(х)

Вывод: Если функция F(х) является первообразной для функции f(х) на некотором

промежутке, то и функция

F(х) + С , где С – любая постоянная, также является первообразной для функции f(х) на

этом промежутке.

Таблица первообразных

Функция f

Первообразные для f

С (постоянная)

Сх +C

х

n

х

n

+

1

n

+

1

+

C

(kх + b)

n

, n

- 1, k

0

(

k х

+

b

)

n

+

1

k

(

n

+

1

)

+

C

1

х

, х

0

ln

¿

х

∨¿+

C

¿

1

+

b

, k

0

1

k

ln

¿

+

b

∨¿+

C

¿

e

х

e

х

+

C

e

+

b

, k

0

1

k

e

+

b

+

C

sinx

- cosx + C

sin(kх + b), k

0

-

1

k

cos(kх + b) + C

cosx

sinx + C

сos(kх + b), k

0

1

k

sin(kх + b) + C

Задание 3. Первообразная функции f имеет вид F(x) = 4х

3

. Найти еще три первообразных

этой же функции f. Записать общий вид первообразных.

Задание 4. № 5 (1, 2, 3, 4), 6 (1, 2, 3), 7 (1, 2).

Задание 5. Доказать, что функция F(x)= x

5

есть первообразная для функции f(x)= 5x

4

Пример 3

Найдите первообразную F(х) для функции f(х), если f(x) = х

2

и F(3) = 9.

Решение:

1)

Записать формулу первообразной функции f(x) = x

2

;

F(x) =

х

2

+

1

2

+

1

+ С ;

F(x) =

х

3

3

+ С

2)

Определить С.

Так как F(3) = 9:

9 =

3

3

3

+ С;

9 =

27

3

+ С ;

9 = 9 + С ;

С = 0;

значит, F(x)=

х

3

3

.

Задание 6. Одна из первообразных функции g (х) имеет вид G(x) = 5x

2

- 3. Найти ту

первообразную функции g(х), график которой проходит через точку Е(1;12).

Задание 7. Для функции g (х) = 3 найти первообразную, график которой проходит через

точку В(0;-3).

Задание 8. Первообразная функции f(x) = x

3

при х = 2 равна 16. Найти эту

первообразную.

Задание 9. Производная функции G имеет вид g (x) = 7х

6

. Найти функцию G, если

известно, что G (1)=10.

Самостоятельная работа

1.

Найдите первообразную F(х) для функции f(х), если f(x) = х

7

.

2.

Первообразная функции f(x) = х

3

при х = 2 равна 12. Найдите эту первообразную.

3.

Известно, что график функции проходит через точку (3; 18) и F´(x)= x

3

. Задать

формулой функцию F.



В раздел образования