Автор: Кащеева Ольга Михайловна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: КОУ "СШ №2 (очно-заочная)"
Населённый пункт: город Омск
Наименование материала: учебно-методический материал
Тема: "Первообразная. Дидактический материал по математике 12 класс"
Раздел: полное образование
Первообразная
Дидактический материал по математике 12 класс
О.М. Кащеева , учитель математики
КОУ «Средняя школа №2 (очно-заочная)», г.Омск
Задание 1. Найдите функцию f, если известно, что f´(x) = 3x
2
.
Задание 2. Заполните пропуски:
а) (….)´= 2х; б) (....)´= cosx; в) (...)´ = 2sinx
Пусть закон движения точки задан функцией s = s(t), тогда мгновенная скорость в момент
времени t равна v = s’(t). В этой задаче по заданной функции s(t) вычисляется ее
производная.
В физике встречается обратная задача: найти закон движения по заданной скорости v =
v(t), то есть s = s(t).
В этом случае функцию s(t) называют первообразной для функции v(t).
Определение: Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на некотором
интервале, если для всех х из этого интервала выполняется равенство F’(х) = f(х).
Пример1. Показать, что функция F(х) =
1
3
sin 3 х
является первообразной для функции
f(х) =
cos 3 х
.
Решение. F’(х) = (
1
3
sin 3 х
)’ =
cos 3 х
= f(х), значит,
1
3
sin 3 х
первообразная для функции
cos 3 х
.
Пример2
.
Доказать, что функции
х
3
3
,
х
3
3
+ 1 ,
х
3
3
- 4
являются первообразными для
функции f(х) = х
2
.
Решение.
(
х
3
3
)’ =
1
3
(
х
3
)’ =
1
3
· 3х
3 – 2
=
х
2
= f(х)
(
х
3
3
+ 1 )’ =
(
х
3
3
)’ + ( 1 )’ =
(
х
3
3
)’ + 0 =
х
2
= f(х)
(
х
3
3
- 4
)’ = (
х
3
3
)’ - ( 4 )’ =
(
х
3
3
)’ - 0 =
х
2
= f(х)
Вывод: Если функция F(х) является первообразной для функции f(х) на некотором
промежутке, то и функция
F(х) + С , где С – любая постоянная, также является первообразной для функции f(х) на
этом промежутке.
Таблица первообразных
Функция f
Первообразные для f
С (постоянная)
Сх +C
х
n
х
n
+
1
n
+
1
+
C
(kх + b)
n
, n
≠
- 1, k
≠
0
(
k х
+
b
)
n
+
1
k
(
n
+
1
)
+
C
1
х
, х
≠
0
ln
¿
х
∨¿+
C
¿
1
kх
+
b
, k
≠
0
1
k
ln
¿
kх
+
b
∨¿+
C
¿
e
х
e
х
+
C
e
kх
+
b
, k
≠
0
1
k
e
kх
+
b
+
C
sinx
- cosx + C
sin(kх + b), k
≠
0
-
1
k
cos(kх + b) + C
cosx
sinx + C
сos(kх + b), k
≠
0
1
k
sin(kх + b) + C
Задание 3. Первообразная функции f имеет вид F(x) = 4х
3
. Найти еще три первообразных
этой же функции f. Записать общий вид первообразных.
Задание 4. № 5 (1, 2, 3, 4), 6 (1, 2, 3), 7 (1, 2).
Задание 5. Доказать, что функция F(x)= x
5
есть первообразная для функции f(x)= 5x
4
Пример 3
Найдите первообразную F(х) для функции f(х), если f(x) = х
2
и F(3) = 9.
Решение:
1)
Записать формулу первообразной функции f(x) = x
2
;
F(x) =
х
2
+
1
2
+
1
+ С ;
F(x) =
х
3
3
+ С
2)
Определить С.
Так как F(3) = 9:
9 =
3
3
3
+ С;
9 =
27
3
+ С ;
9 = 9 + С ;
С = 0;
значит, F(x)=
х
3
3
.
Задание 6. Одна из первообразных функции g (х) имеет вид G(x) = 5x
2
- 3. Найти ту
первообразную функции g(х), график которой проходит через точку Е(1;12).
Задание 7. Для функции g (х) = 3 найти первообразную, график которой проходит через
точку В(0;-3).
Задание 8. Первообразная функции f(x) = x
3
при х = 2 равна 16. Найти эту
первообразную.
Задание 9. Производная функции G имеет вид g (x) = 7х
6
. Найти функцию G, если
известно, что G (1)=10.
Самостоятельная работа
1.
Найдите первообразную F(х) для функции f(х), если f(x) = х
7
.
2.
Первообразная функции f(x) = х
3
при х = 2 равна 12. Найдите эту первообразную.
3.
Известно, что график функции проходит через точку (3; 18) и F´(x)= x
3
. Задать
формулой функцию F.