Напоминание

Использование свойств ограниченности функций при решении уравнений


Автор: Шестакова Мария Юрьевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МОУ "Лицей №1 г. Волжского Волгоградской области"
Населённый пункт: город Волжский
Наименование материала: статья
Тема: Использование свойств ограниченности функций при решении уравнений
Раздел: полное образование





Назад




Использование свойств ограниченности функций при решении

уравнений

Материал, связанный с уравнениями составляет значительную часть

школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко

используются в различных разделах математики, в решении важных

прикладных

задач.

Есть

много

уравнений,

которые

считаются

«нестандартными»

для

школьников

можно

решить,

овладев

функциональным методом решений уравнений. Суть данного метода

заключается

в

применении

свойств

функций.

Например,

свойства

ограниченности некоторых функций.

Обучающиеся должны знать, элементарные функции, которые имеют

ограниченное множество значений:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Маркером

того,

что

при

решении

данного

уравнения

нужно

использовать функциональный метод, является наличие в уравнении разных

функций.

После решения нескольких уравнений с помощью ограниченности

функций, необходимо вместе с обучающими делаем вывод:

если функция

f

(

x

)

на промежутке Х ограничена сверху, причем

Sup

x

X

f

(

x

)

=

A

, а функция

ограничена снизу, причем

inf

x

X

f

(

x

)

=

A

, то уравнение

f

(

x

)

=

g

(

x

)

равносильно системе

{

f

(

x

)

=

A ,

¿ ¿ ¿ ¿

И формулируем алгоритм:

выяснить, что правая часть уравнения больше или равна какого-

то числа, а левая – меньше или равна этого же числа;

равенство возможно, если обе части уравнения равны этому

числу;

составляем систему и решаем уравнение, которое проще;

подставляем найденные решения первого уравнения во второе и

проверяем, какие их них является решениями и второго уравнения;

записываем ответ.

Рассмотрим

примеры

уравнений,

решаемых

с

применением

ограниченности функций.

Пример 1: Решить уравнение

.

Решение:

и

, поэтому сумма косинусов может быть

равной 2 только в том случае, когда оба слагаемых одновременно будут

равны по 1.

Ответ:

.

Пример 2: Решить уравнение

.

Решение:

и

, следовательно,

Решая

второе

уравнение

системы,

имеем

и

.

Подстановкой убеждаемся, что при данных значениях переменной х первое

уравнение обращается в верное числовое равенство. Ответ:

,

.

Пример 3: Решить уравнение

.

Решение:

и

при любом значении x.

Следовательно,

Ответ:

.

Пример 4: Решить уравнение

.

Решение:

при

любом

значении

x

и

,

следовательно,

Решение первого уравнения

. Система не имеет решений, так как

не удовлетворяет второму уравнению. Ответ: нет решений.

Пример 5: Решить уравнение

.

Решение:

при любом значении x,

для всех

, следовательно,

Ответ:

.

Пример 6: Решить уравнение

.

Решение:

при

любом

значении

x,

а

,

значит, уравнение не имеет корней. Ответ: нет

решений.

Пример 7: Решить уравнение

.

,

,

.

Значит,

Ответ:

.

Целесообразно

уравнения,

решаемые

функциональным

методом,

систематически включать в урок. С одной стороны, как очень эффектный

прием мотивации изучения свойств функций. С другой, как средства

применения знаний свойств функций и формирования навыка решения

уравнений.



В раздел образования