Автор: Шестакова Мария Юрьевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МОУ "Лицей №1 г. Волжского Волгоградской области"
Населённый пункт: город Волжский
Наименование материала: статья
Тема: Использование свойств ограниченности функций при решении уравнений
Раздел: полное образование
Использование свойств ограниченности функций при решении
уравнений
Материал, связанный с уравнениями составляет значительную часть
школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко
используются в различных разделах математики, в решении важных
прикладных
задач.
Есть
много
уравнений,
которые
считаются
«нестандартными»
для
школьников
можно
решить,
овладев
функциональным методом решений уравнений. Суть данного метода
заключается
в
применении
свойств
функций.
Например,
свойства
ограниченности некоторых функций.
Обучающиеся должны знать, элементарные функции, которые имеют
ограниченное множество значений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Маркером
того,
что
при
решении
данного
уравнения
нужно
использовать функциональный метод, является наличие в уравнении разных
функций.
После решения нескольких уравнений с помощью ограниченности
функций, необходимо вместе с обучающими делаем вывод:
если функция
f
(
x
)
на промежутке Х ограничена сверху, причем
Sup
x
∈
X
f
(
x
)
=
A
, а функция
ограничена снизу, причем
inf
x
∈
X
f
(
x
)
=
A
, то уравнение
f
(
x
)
=
g
(
x
)
равносильно системе
{
f
(
x
)
=
A ,
¿ ¿ ¿ ¿
И формулируем алгоритм:
выяснить, что правая часть уравнения больше или равна какого-
то числа, а левая – меньше или равна этого же числа;
равенство возможно, если обе части уравнения равны этому
числу;
составляем систему и решаем уравнение, которое проще;
подставляем найденные решения первого уравнения во второе и
проверяем, какие их них является решениями и второго уравнения;
записываем ответ.
Рассмотрим
примеры
уравнений,
решаемых
с
применением
ограниченности функций.
Пример 1: Решить уравнение
.
Решение:
и
, поэтому сумма косинусов может быть
равной 2 только в том случае, когда оба слагаемых одновременно будут
равны по 1.
Ответ:
.
Пример 2: Решить уравнение
.
Решение:
и
, следовательно,
Решая
второе
уравнение
системы,
имеем
и
.
Подстановкой убеждаемся, что при данных значениях переменной х первое
уравнение обращается в верное числовое равенство. Ответ:
,
.
Пример 3: Решить уравнение
.
Решение:
и
при любом значении x.
Следовательно,
Ответ:
.
Пример 4: Решить уравнение
.
Решение:
при
любом
значении
x
и
,
следовательно,
Решение первого уравнения
. Система не имеет решений, так как
не удовлетворяет второму уравнению. Ответ: нет решений.
Пример 5: Решить уравнение
.
Решение:
при любом значении x,
для всех
, следовательно,
Ответ:
.
Пример 6: Решить уравнение
.
Решение:
при
любом
значении
x,
а
,
значит, уравнение не имеет корней. Ответ: нет
решений.
Пример 7: Решить уравнение
.
,
,
.
Значит,
Ответ:
.
Целесообразно
уравнения,
решаемые
функциональным
методом,
систематически включать в урок. С одной стороны, как очень эффектный
прием мотивации изучения свойств функций. С другой, как средства
применения знаний свойств функций и формирования навыка решения
уравнений.