Решение

сложных

задач по

физике

Александрова Н.В.учитель физики

МАОУ Лицей №1 г.Балаково

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Характеристики

электростатического

поля. Проводники и

диэлектрики в

электростатическом

поле.

Задача 1.

На рис. а, б, в показаны картины силовых линий трех

электрических полей. Как будет вести себя незаряженный шарик,

помещенный в каждое из этих полей?

Задача

2.

В

однородное

электрическое

поле

вносят

металлический

незаряженный

шар.

Где

и

какие

индуцированные заряды появятся на шаре? Нарисуйте линии

напряженности

поля

и

эквипотенциальные

поверхности.

Задача 3.

Изобразите примерную картину силовых линий и

эквипотенциальных поверхностей электрического поля для

следующих систем: а)состоящей из точечного заряда и

незаряженной металлической сферы; б) состоящей из

точечного заряда и незаряженного металлического цилиндра.

Задача 4.

Внутрь незаряженной проводящей сферической оболочки

помещен положительный точечный заряд Q (не в центр).

а)Какие заряды индуцируются на сфере?

б)Как они распределяются по сфере?

в)Какой вид имеет картина силовых линий эл. поля?

Все

силовые

линии,

выходящие

из

заряженного

шарика,

заканчиваются

на

внутренней

поверхности

сферы

(внутри проводника поля нет). Значит,

на

внутренней

поверхности

сферы

индуцируется заряд –Q, а на внешней-

заряд +Q. На внутренней поверхности

заряд распределяется неравномерно, а

на внешней – равномерно, поскольку в

толще

металла

поле

заряженного

шарика

компенсируется

полем

заряженного

шарика

компенсируется

полем

заряда

–Q

на

внутренней

поверхности.

Задача 5.

Внутрь незаряженной проводящей сферической оболочки

помещен положительный точечный заряд Q (не в центр). Чему равен

потенциал сферы? Будет ли поле действовать на положительный

точечный заряд q (q много меньше Q) вне сферы, на расстоянии r от ее

центра? С какой силой? Как изменится распределение зарядов и поле,

если сферу заземлить?

Потенциал сферы:

φ=

Поле вне сферы совпадает с полем точечного

заряда

Q,

расположенного

в

центре

сферы,

поэтому на точечный заряд будет действовать

сила

отталкивания:

F=

.

Эта

сила

не

будет

изменяться

при

перемещении

шарика

внутри

сферы:

заряд

q

взаимодействует

не

с

заряженным

шариком,

а

с

зарядами,

индуцированными

на

внешней

поверхности

сферы.

Если

сферу

заземлить,

её

потенциал

обратится в нуль вследствие стекания на землю

заряда с внешней поверхности. Поле вне сферы

при

этом

исчезнет.

Распределение

зарядов

и

поле внутри сферы не изменится.

Задача

6.

Электрическое

поле

создается

положительным

точечным

зарядом.

Как

изменится

напряженность и потенциал поля в точке А, если справа

от нее поместить незаряженный шар?

Электрическое поле приведет к разделению

зарядов в шаре, причем на ближней к точке А

стороне

шара

появится

отрицательный

заряд,

влияние которого и будет определяющим.

Поэтому вопрос сводится к следующему: как

изменятся Е и φ в точке А, если справа от нее

поместить небольшой отрицательный заряд?

Этот заряд создаст в точке А поле, направленное

слева направо, и отрицательный потенциал.

По принципу суперпозиции это приведет к

увеличению

напряженности

поля

и

уменьшению потенциала.

Поле создаваемое сферической поверхностью радиуса R,

заряженной с постоянной поверхностной плотностью обладает

центральной симметрией – направление вектора Е в любой точке

проходит через центр сферы, т. е. напряженность является функцией

расстояния r от центра сферы.

Точка В находится внутри заряженной сферической поверхности,

на расстоянии центра, < R, напряженность в точке В равна нулю

=0 , а потенциал равен потенциалу на поверхности заряженной

сферы

=

πkσR

= 22,6 В.

На поверхности сферы r = R напряженность и потенциал

определяются радиусом сферы

R: Е=

φ

=

=

=

22,6 В.

В точке А от центра сферы,

на расстоянии напряженность и

потенциал определяются радиусом сферы

R:

=

=

=

12,6 В.

Задача 7.

Сплошная металлическая сфера радиусом 20 см несет равномерно

распределенный заряд с поверхностной плотностью Кл/Определить

напряженность и потенциал электрического поля в точках:

а) на расстоянии 16 см от центра сферы;

б) на поверхности сферы;

в) на расстоянии 36 см от центра сферы.

Постройте график зависимости Е(r), φ(r).

(Кирик 10 кл С.р. 18 ВУ №8)

Задача 7. Сплошная металлическая сфера радиусом 20 см

несет равномерно распределенный заряд с поверхностной

плотностью Кл/Постройте график зависимости Е(r), φ(r).

σ

π

Задача

8.

Заряд

Q

равномерно

распределен

по

объёму

непроводящего шара радиусом R. Чему равна напряженность

поля Е на расстоянии r от центра шара? Постройте график

зависимости Е(r).

Воспользуемся аналогией между законом Кулона и

законом всемирного тяготения. При сферически

симметричном распределении заряда поле на расстоянии r

от центра создается только зарядом q(r) внутри сферы

радиуса r. Поскольку заряд распределен по сфере

равномерно, при r ≤ R можно записать

тогда Е(r) = =

При r < R поле, создаваемое заряженным шаром,

такое же, как поле точечного заряда Q, расположенного в

центре шара, т.е. Е(r) = можно чертить график.

Задача 8.

Заряд Q равномерно распределен по объёму

непроводящего шара радиусом R. Определить потенциал поля

на расстоянии r от центра шара. Построить график

зависимости φ(r).

Если r больше R поле заряженного шара совпадает с полем

точечного заряда, поэтому φ =сли r = R, то φ =.

Чтобы найти потенциал при r меньше R, вычислим работу поля по

перемещению заряда q из точки, находящейся на расстоянии r от

центра шара, к поверхности шара. При малом перемещении ΔА= qEΔr.

Значит полная работа составит А= q==

= (R-r) = С другой стороны А=q(φ(r)-

Откуда φ== , можно чертить график φ(r). При r < R это парабола, при r ˃

R – гипербола.

Задача 9.

Точечный заряд q > 0 находится на расстоянии r от

центра проводящего шара радиусом R < r в вакууме. Чему равен

потенциал шара, если а) он не заражен; б) его заряд равен Q.

Вследствие электростатической индукции заряды не возникают, а только

перераспределяются по поверхности шара. Суммарный заряд шара равен нулю и все

элементы

заряда

находятся

на

одном

расстоянии

от

центра.

Следовательно,

индуцированные

заряды

создают

потенциал,

равный

нулю.

Так

как

сам

шар

не

заряжен,

то

он

создает

в

своем

центре

нулевой

потенциал,

тогда

по

принципу

суперпозиции:

𝜑

ш = + 0 + 0 = .

а)

Потенциал всех точек проводящего

шара

одинаков,

поэтому

достаточно

найти

потенциал

одной

точки.

Проще

всего найти потенциал центра шара. Он

равен

сумме

потенциала,

созданного

в

центре шара точечным зарядом q:

φ

=

и

потенциала,

созданного

индуцированными зарядами.

Задача 9.

Точечный заряд q > 0 находится на расстоянии r от

центра проводящего шара радиусом R < r в вакууме. Чему равен

потенциал шара, если а) он не заражен; б) его заряд равен .

б)

Если

кроме

индуцированного

заряда

на

шар

поместить

дополнительный заряд , он распределится по поверхности шара и

создаст в любой точке шара дополнительный потенциал, равный =

∑ = ∑

= .

𝑞𝑖

Согласно принципу суперпозиции потенциалов, получим, что

суммарный

потенциал

в

центре

шара

и

в

любой

точке

шара

равен:

ш ′ =

ш +

0 =

𝜑

𝜑

𝜑

+

Задача 10.

В центре сферы радиусом R находится

точечный заряд Q > 0. По сфере равномерно распределён

заряд -

4Q.

Найти потенциалы φа и φс на расстояниях R/2 и 2R

от центра сферы.

Потенциал в любой точке равен

сумме потенциалов полей,

созданных в этой точке зарядами Q

и -4Q. Для точек А и С запишем:

𝜑𝐴

=

+ = −2

,

𝑘

𝜑𝐶

=

+

= −

𝑘

𝑘

𝑘

Задача 11.

Если воздушный шарик радиусом R= 10 см

потереть о шерсть, о мех или о волосы, то он приобретет

довольно большой отрицательный заряд – порядка q= 0,1 мкКл.

Каким будет при этом потенциал шарика?

Поле

вне

шара

совпадает

с

полем

точечного

заряда.

Потенциал

шара

будет

равен:

𝜑

ш =

= 9000

, т.е.

𝑘

𝐵

почти 10 кВ (!).

Возникает вопрос: не слишком ли много вольт мы здесь получили? Нет ли

ошибки в нашей оценке? Нет, мы не ошибаемся. Несмотря на столь внушительный

потенциал, шар будет обладать весьма незначительной энергией. Оценить энергию

воздушного шарика можно по формуле

=

, которая здесь приводится без

𝑊

𝑞𝜑

вывода,

что

дает

W

≈

10,5·Дж.

Поэтому

все

эти

9000

вольт

опасности

не

представляют.

Задача 12.

Проводящий шар радиуса R, на котором находится заряд

q>0,

окружен

диэлектриком

проницаемостью

ε=2.

Толщина

диэлектрика равна радиусу шара. Определить, на сколько понизился

потенциал

шара по сравнению с потенциалом на поверхности этого

𝜑

же шара, находящегося в вакууме.

Потенциал

на

поверхности

шара,

находящегося

в

вакууме:

=

.

Поскольку

𝜑

𝑘

диэлектрик уменьшает поле только внутри себя,

то

напряжённость,

а

значит,

и

потенциал

вне

диэлектрика остались такими же, как и без него.

=

при r ≥ 2R.

𝑘

Значит

на

внешней

поверхности

диэлектрика при r = 2R: =

𝑘

При перемещении положительного пробного заряда

внутри диэлектрика из точки

а (a=R) в точку b (b=2R) электрическое поле заряда q совершит работу, равную

𝐴

= ( − )

Задача 12. Проводящий шар радиуса R, на котором находится заряд

q>0, окружен диэлектриком проницаемостью ε=2. Толщина

диэлектрика равна радиусу шара. Определить, на сколько понизился

потенциал

шара по сравнению с потенциалом на поверхности

𝜑

этого же шара, находящегося в вакууме.

Поскольку диэлектрик уменьшает

напряженность поля внутри себя в ε раз, то

эта работа будет во столько же раз меньше,

чем при таком же перемещении этого же

заряда в отсутствие диэлектрика:

= (

𝑘

−

) =

𝑘

𝑘

,

𝐴

= =

𝑘

Итак, потенциал шара, находящегося в

диэлектрике

= + =

𝑘

+

=

𝑘

𝑘

=

=

𝜑

=

= 0,75 т.

е. потенциал шара

уменьшился на 25%.

Задача 13. Незаряженный металлический шар радиусом r

окружен концентрической проводящей сферой радиусом

R. Сфера заряжена до потенциала (относительно земли).

Чему станет потенциал сферы, если незаряженный шар

заземлить?

До заземления заряд внешней сферы q создает

на ее поверхности потенциал =.

После заземления на внутреннем шаре

наведется заряд q1, который можно найти из

условия, что потенциал заземленного шара равен

нулю. Рис. 8 Согласно принципу суперпозиции

полей, потенциал шара равен: + = 0. Отсюда =

−

Потенциал на внешней сфере после

𝑞

заземления шара создается зарядами q и :

=

𝜑

+ =

Задача 13. Проводящий полый шар с радиусами сферических

поверхностей R и 2R имеет заряд 2Q (Q>0). В центре шара находится

точечный заряд Q. Найти напряженность поля и потенциал в точках А

и С на расстояниях R/2 и 3R от центра шара. Найти потенциал полого

шара.

Заметим, что все силовые линии, вышедшие из

точечного

заряда

Q

заканчиваются

на

внутренней

поверхности полого шара (на рис. показана только часть

силовых

линий).

Заряд

на

внутренней

поверхности

равен по модулю и противоположен заряду Q, т.е. равен

−

.

Так

как

заряд

проводника

может

располагаться

𝑄

только

на

его

поверхности,

то

заряд

внешней

поверхности шара составит 3Q. Итак, имеем систему

зарядов, состоящую из точечного заряда Q и зарядов −

𝑄

и 3Q на сферах радиусами R и 2R. Для точек А и С по

принципу суперпозиции полей проекция напряжённости

результирующего поля на ось х, проведённую из центра

шара через исследуемую точку (для точек А и С оси х

различны),

равна

сумме

проекций

напряжённостей

полей, созданных зарядами Q, -Q, 3Q:

= + 0 + 0 = > 0.

Задача 13. Проводящий полый шар с радиусами сферических

поверхностей R и 2R имеет заряд 2Q (Q>0). В центре шара находится

точечный заряд Q. Найти напряженность поля и потенциал в точках А

и С на расстояниях R/2 и 3R от центра шара. Найти потенциал полого

шара.

= + + = > 0. Проекции получились положительные, это означает, что

напряженности полей в точках А и С направлены от центра шара и равны= , = .

Найдем потенциалы. По принципу суперпозиции потенциал в точке А равен

сумме потенциалов в этой точке от полей, создаваемых зарядами Q, −

и 3Q:

𝑄

=

+ + =

Аналогично потенциал в точке С:

=+ + =

Потенциал шара находится как потенциал внешней поверхности радиусом 2R

𝜑

= + + = .

.

Спасибо

за внимание