КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ

БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ

КОЛЛЕДЖ»

________________________________________________________________________________

Методическая разработка

«Построение кругов в аксонометрических и перспективных

проекциях»

для специальности 07.02.01 «Архитектура»

Разработчик: Бонапартова Г.В., преподаватель

Санкт- Петербург

2023 г.

1

СОГЛАСОВАНА

Зам. директора по УР

СПб ГБПОУ «СПАСК»

,

________________ Т.Э.Степанова

« ___ » ______2023 года

РАССМОТРЕНА

на заседании ЦК

общепрофессиональных и

естественнонаучных дисциплин;

Протокол № __ от « __» _____2023 г.

Методические

указаниядля

выполнения

практических

работучебной

дисциплины ОП.02 «НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» разработаны на

основе рабочей программы в соответствии с требованиями Федерального

государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) (приказ

Министерства образования и науки от 28.07.2014 N 850) для специальности

07.02.01«Архитектура» (базовая подготовка).

Организация-разработчик:

Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение «Санкт-Петербургский архитектурно-

строительный колледж»

Разработчик:

Бонапартова Г.В., преподаватель

2

Аксонометрические проекции - чертежи, которые наглядно, то есть в трех

измерениях передают пространственные формы предметов. Недостатком таких

чертежей является то, что геометрические элементы предметов в них искажены.

Отношение

отрезка

координатной

оси

к

соответствующему

отрезку

аксонометрической оси называется коэффициентом искажения.

В зависимости от расположения плоскости проекций и направления

проецирования возможны случаи, когда коэффициенты искажения по всем трем осям

окажутся

равными Кх=Ку=Кz.

В

этом

случае

аксонометрические

проекции

называются изометрическими (изометрия).

Если

равными

окажутся

два

коэффициента, которые не равны третьему Kх = Кz ≠ Ку, то аксонометрические

проекции называются диметрическими (диметрия). Если коэффициенты по всем

трем осям не равны между собой Kх ≠ Ку ≠ Кz, то аксонометрические проекции

называются триметрическими (триметрия).

Аксонометрические проекции делятся на прямоугольные (когда направление

проецирования составляет с плоскостью проекций прямой угол) и косоугольные.

ГОСТ 2.317-69 определяет пять стандартных аксонометрий, из которых на

практике чаще используют прямоугольные изометрические и диметрические

проекции.

В

прямоугольной

изометрии

коэффициенты

искажения

меньше

единицы, Кх=Ку=Кz = 0,82. Следовательно, размеры предмета, откладываемые по

аксонометрическим осям, умножают на 0,82. Такой перерасчет размеров неудобен и

поэтому для упрощения используют не точные, а приведенные коэффициенты

искажения равные единице. То есть по осям ОХ, ОУ и ОZ откладывают размеры без

искажения, в натуральную величину. Получаемое изображение предмета в связи с

этим оказывается увеличенным в 1,22 раза по отношению к его истинной величине.

В прямоугольной изометрической проекции угол между осями одинаков и равен

120

0

(рис. 9.1), ось OZ располагают вертикально.

3

Окружность, расположенная параллельно одной из плоскостей проекций в

аксонометрических проекциях, изображается в виде эллипса, большая ось которого

всегда перпендикулярна оси, не принадлежащей аксонометрической плоскости

проекций, параллельной данной окружности.

В прямоугольной изометрической проекции окружность диаметром d,

проецируется в виде эллипса, большие оси которой АВ = 1,22d и CD = 0,71d при

приведенных коэффициентах искажения.

Часто на практике при приведенных коэффициентах искажения размеры

осей эллипса находят графическими построениями, а построение эллипса заменяют

построениями четырехцентрового овала. На рисунке представлена окружность

лежащая в плоскости П1.

Соединив

соседние

точки

пересечения

центровых

линий,

получают

величину малой оси эллипса – CD. Проводя дуги радиусом CD попеременно из

точек C и D в пересечении получают положение точек А и В, соединив которые

получают величину большой оси эллипса – АВ. При вычерчивании эллипса в

аксонометрии (рис. 9.5) проводят две окружности диаметрами АВ и CD, обозначив

большую ось эллипса АВ перпендикулярно аксонометрической оси Z, так как

окружность лежит в плоскости П1, а малую ось CD перпендикулярно большой оси.

Из свободных от обозначения четырех точек пересечения двух окружностей с

центровыми линиями, совпадающими по направлению с направлением осей эллипса,

проводят дуги радиусами – 1С, 2D, 3А, 4В, которые образуют овал.

Основные факторы при построении изометрической проекции, которые

нужно запомнить, заключаются в нескольких деталях:

4

Дело в том, что в случаях вычерчивания в изометрии окружность

изображается не в своем первоначальном положении. В конечном итоге она должна

принять форму эллипса.

Вдобавок к этому, есть важный элемент, который задает курс всему

последующему построению. Нужно ориентироваться на тот момент, что любую

окружность можно рассматривать как правильный многоугольник, в котором может

быть неограниченное множество сторон.

Как уже было сказано, в изометрическом пространстве окружность

отображается

в

виде

эллипса.

Но

начинающие

регулярно

сталкиваются

с

проблемами, так как он достаточно сложен для построения. В связи с данным фактом

часто рекомендуется прибегать к использованию овалов как оптимальной замене

эллипсам.

Всего существует несколько инструкций для разных способов, как чертить

круг в изометрии через овал. В нашем же случае будет рассмотрен один из наиболее

часто

используемых

и

распространенных.

Первоочередным

этапом

является

вычисление размеров самих осей фигуры, большой и малой, по формулам через

диаметр окружности, изометрическую проекцию которой необходимо вычертить.

Существует также и графический способ определения осей эллипса, который

изучается наглядным путем. Для вычисления малой оси требуется соединить между

собой ближайшие точки перпендикулярных прямых линий, проведенных через центр

окружности, лежащие на этой самой окружности. Дальше через эти точки проводятся

дуги радиусов так, чтобы они пересеклись между собой. Данные точки пересечения

будут образовывать линию, которая, в свою очередь, является большой осью.

Построение круга в изометрии.Построение изометриикруга в

горизонтальной плоскости.

Алгоритм построения изометрии окружности - эллипса

1.

На ортогональных осях строим окружность заданного радиуса R

0

2.

Проводим изометрические оси х и yпод углом 120

0.

5

3.

Точки 1,2,3 и 4 принадлежат одновременно окружности и изометрическим осям;

4.

Из точки А радиусом R

1

=А-4 илиА-3проводим дугу 4-3, которая заходит за точки

4 и 3;

5.

Из точки В радиусом R

1

=А-4 проводим дугу 1-2, которая заходит за точки 1 и 2;

6.

Из точки О радиусом равным короткой оси эллипса проводим дугу до

горизонтальной оси окружности, получили точки Nи M.

7.

Из точек А и В через точки N и Mпроводим лучи, которыедают точки границы ;

8.

Из точек N и M проводим дуги, соединяющие концы длинных дуг, которые дают

точки границы дуг;

9.

Эллипс построен

Пример: построение круглой лестницы.

Построение изометрии круга вофронтальной плоскости.

Рассмотрим построение изометрии окружности во фронтальной проекции,

так как эта проекция часто применяется при построении фасада здания в изометрии с

циркульными оконными, дверными проемами и арками.

6

При построении всегда соблюдается одно негласное правило: при любых

обстоятельствах большая ось будет расположена перпендикулярно к оси, которая

проецируется в точку на данной плоскости. Малая ось при этом обязательно

совпадает по направлению с этой осью.

Построения изометрии окружности - эллипса выполняется в осях х иz. Алгоритм

построения аналогичен построению в горизонтальной плоскости, только короткая ось

совпадает с осью у, а длинная ось эллипса перпендикулярна короткой оси.

Пример: построение круглой арки.

Построение перспективы окружности

Построение эллипса, являющегося перспективой окружности, лежащей в

горизонтальной плоскости. Для этого построим сначала перспективу квадрата, в

который вписана окружность. Проведя диагональ квадрата, найдем точку К, которая

определит среднюю линию квадрата и точки касания окружности его боковых

сторон. Зная малую ось эллипса направление большой оси (посередине малой оси) и

хотя бы одну из точек эллипса можно найти размер большой оси и построить весь

эллипс.

Есть еще два способа построение перспективы окружности: первый способ

звучит так, для получения перспективы окружности (или любой другой кривой

линии) строится перспектива достаточно большого числа её точек, которые

соединяются плавной кривой линией. Перспектива каждой точки строится при

помощи двух вспомогательных прямых или другим способом. Второй же способ

звучит не много иначе, около заданной окружности (или другой кривой линии)

описывается квадрат (или другой многоугольник), строится перспектива квадрата

или многоугольника и в него вписывается в перспективе кривая - перспектива

заданной кривой.

Перспектива окружности строится в следующей последовательности:

7

Фиксируем положение ряда точек окружности пересекающимися прямыми

частного положения.

Строим перспективы этих прямых и отмечаем точки их пересечения −

искомые перспективы точек окружности.

Основание картины проходит через центр О окружности

Основание картины расположено перед окружностью

8

Основание картины за окружностью

Пример построения перспективы полуциркульной арки с одной точкой

схода.

Построение перспективы окружности по 8 точкам.

При помощи циркуля чертим окружность радиусом 1 м с центром в точке С.

Через центр окружности проводим вертикальную и горизонтальную оси симметрии.

При их пересечении с окружностью получаем 4 точки. Перспективу окружности

удобнее строить при помощи вспомогательного квадрата. Вписываем нашу

окружность в квадрат со сторонами 2Х2 м. Обозначим его вершины А, В, Е,

Д,начиная с левого нижнего угла, двигаясь по часовой стрелке. Проведём в нём две

диагонали. Диагонали при пересечении с окружностью дадут ещё 4 точки. В

9

результате мы получили 8 точек. Обозначим их 1,2,3,4,5,6,7,8, начиная с нижней

точки по часовой стрелке.

Приступаем

к

построению

перспективы

окружности.

Задаём

высоту

горизонта, строим картинную плоскость, проводим линию горизонта и на ней

отмечаем центральную точку схода Р. Находим дистанционные точки D1 и D2. На

основании картинной плоскости отмечаем в заданном масштабе отрезок А Д. Из этих

точек проводим прямые в точку Р. Затем из точки Д проводим прямую в

дистанционную точку D1. При пересечении с прямой АР она отметит нам глубину

квадрата в перспективном сокращении. Достраиваем перспективу квадрата. Из его

вершин проведём две диагонали и получим точку С. Через неё проведём оси

симметрии. Одна будет направлена параллельно основанию картины, а другая будет

направлена в точку Р. При пересечении их со сторонами квадрата получим 4 точки

1,3,5,7.Для нахождения оставшихся 4 точек на плане окружности проведём

вертикальные прямые через точки 2,4 и 6,8. Измерим расстояния до этих прямых от

точки О и перенесём его на основание картинной плоскости. Из этих точек проведём

прямые в точку Р, в местах их пересечения с диагоналями квадрата будут

располагаться остальные 4 точки 2,4,6,8. По полученным в перспективе точкам

строим нашу окружность.

Построение перспективы окружности, расположенной в предметной

плоскости по 8 точкам.

Таким же способам можно строить окружность на вертикальных плоскостях.

Если окружность находится на заданном расстоянии от картинной плоскости, то при

построении квадрата надо от точки А сначала отложить это расстояние, а потом

отложить сторону квадрата. Построение перспективы окружности по 8 точкам на

вертикальной плоскости.

Построение перспективы полуциркульной арки с одной точкой схода.

Построим отдельно стоящую прямоугольную арку, которая имеет сквозной

полуциркульный проём. Ширина проёма 8м, высота 9м. Высота всего сооружения

10

11м. Проём находится на расстоянии 2 м от левого и правого углов объекта и

завершается полуциркульной аркой с радиусом 4м.

Сначала начертим сам проём, вписав его в прямоугольник шириной 8м и

высотой 11м. Обозначим вершины этого прямоугольника, начиная с левой нижней

грани А, Б, С, Д, по часовой стрелке. Проводим вертикальную ось симметрии. На ней

отмечаем точку О (центр окружности) на высоте 5м. При помощи циркуля строим

полуарку (радиус 4м). Через точку О проводим горизонтальную прямую. Она,

пересекаясь с вертикальными сторонами прямоугольника, отмечает 2 точки начала

полуокружности, а вертикальная ось симметрии, пересекая полуокружность, даёт 3

точку. Из центра О проводим две прямые в точки Би С. Они, пересекая нашу

полуокружность, дают ещё 2 точки. Теперь мы можем построить полуокружность в

перспективе по 5 точкам 1,2,3,4,5. Отметим их на чертеже, начиная с левого нижнего

начала полуокружности, двигаясь по часовой стрелке.

Начинаем строить наш проём в перспективе. Задаём высоту линии горизонта

(5,4м). Строим картинную плоскость, проводим линию горизонта, отмечаем на ней

центральную точку схода Р. Её лучше сместить вправо от центра. Находим

дистанционные точки D1 и D2, но так как они могут располагаться за плоскостью

листа, то для построения будем использовать дробные дистанционные точки D1/2 и

D2/2. На основании картинной плоскости отмечаем точку А- точку начала стены и из

11

неё проводим вверх вертикальную границу стены, равной 11 м. Из верхней и нижней

точек проводим прямые в точку Р. От нижней точки стены на основании картинной

плоскости откладываем половину длинны до арки 1,0м (мы используем дробные

дистанционные точки).

Конец отрезка соединяем с дробной дистанционной точкой D1/2 и на

основании стены получаем начало нашего проёма В. Затем, на основании картинной

плоскости к первому отрезку прибавляем половину ширины нашего проёма 4м.

Соединяем конец этого отрезка с точкой D1/2 и эта прямая, пересекая основание

стены, отметит точку С. Отрезок ВС - это ширина нашего проёма в перспективе.

После этого, на основании картинной плоскости, к 4 м прибавляем отрезок 1м и

конец этого отрезка соединяем с точкой D1/2 . Таким образом, мы получили

крайнюю точку Д. Из точек В и С проводим вертикальные границы нашего проёма.

На вертикальной грани начала стены отмеряем высоту проёма 9,0м и проводим

прямую переноса в точку Р. Эта прямая, пересекая вертикали, проведенные из точек

В и С, отмечает высоту проёма. Начертив проём в перспективе, проводим в нём две

диагонали и на их пересечении получаем ось симметрии. Поднимаем её наверх до

верхней границы проёма. На ней она отмечает точку 3'. Теперь на грани стены

отмеряем высоту точки О (5,0м). Из неё проводим прямую переноса в точку Р и на

оси симметрии получаем точку О. На крайних границах проёма она отмечает точки 1'

и5'.

Для того чтобы построить в перспективе точки 2 и 4, надо на чертеже проёма

провести через них горизонтальную прямую и измерить расстояние N от этой прямой

до отрезка Е М.

Переходим к перспективному изображению. Отмеряем расстояниеN на

грани стены и соединяем полученную точку с точкой Р. Из точки О проводим два

отрезка в точки Е и М. Эти отрезки, пересекаясь с прямой идущей в точку Р,дадут

нам точки 2 и 4. Используя точки 1, 2, 3, 4, 5, строим полуокружность в перспективе.

Из точки С проводим влево прямую до вертикали ВЕ. Она отмечает толщину стены.

Библиографический список

1.

Климухин А.Г. «Начертательная геометрия» учебник для ВУЗов по специальности

Архитектура/ А.Г. Климухин –М.: Стройиздат, 1978.-215с. ;

2.

Короев Ю.И. Начертательная геометрия:

учебник для ВУЗов по специальности

Архитектура / Ю.И. Короев– М.: Строойиздат.1987. - 319 с. ;

3.

Короев Ю.И. Начертательная геометрия (для СПО) / Ю.И. Короев. - М.: КноРус, 2018.

- 272 c. ;

4.

Томилова С.В. Начертательная геометрия: учебник для СПО / С.В. Томилова. - М.:

Академия, 2016. - 288 с.

12