ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ДЛЯ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ И ИХ РЕШЕНИЕ

Чушкина Полина Викторовна

студентка, Оренбургского государственного педагогического

университета

Аннотация.

В данной статье мы ставим перед собой цель продемонстрировать

возможность использования алгебраических методов для подтверждения

геометрических теорем. Для этого мы вводим декартовы координаты на

евклидовой плоскости и записываем полиномиальные уравнения, которые

связывают координаты точек, упомянутых в гипотезах и выводах этих

теорем.

Ключевые

слова:

алгебраические

методы,

доказательства,

геометрическая теорема, утверждения, координаты.

Использование

алгебраической

структуры

для

представления

геометрических теорем в виде больших систем уравнений позволяет нам

применять технологии для эффективной проверки выводов этих теорем.

Однако

для

использования

таких

технологий

нам

необходимы

соответствующие входные данные и знание того, как интерпретировать

результаты. Хотя компьютерная программа способна быстро выполнить

алгоритмы, она не может самостоятельно осуществлять планирование. Если

мы не знаем, какой результат нам необходим, мы не сможем утверждать,

была ли теорема доказана.

Переходя от геометрических теорем к полиномиальным уравнениям,

мы можем отметить, что свойства геометрических фигур, таких как линии,

углы, многоугольники и окружности, не меняются при их перемещении и

вращении

на

евклидовой

плоскости.

Поэтому,

используя

декартовы

координаты, мы можем размещать объекты, связанные с нашей теоремой, в

удобном

для

нас

месте.

Координаты

некоторых

точек

могут

быть

произвольными, в то время как координаты других точек могут зависеть от

этих произвольных значений. Обычно мы используем переменные

u

i

для

представления произвольных значений и

x

i

для представления координат,

определяемых этими произвольными значениями.

В следующем предложении представлю геометрическое утверждение,

которое будет использоваться.

Предложение. Пусть

A , B , C , D



различные точки плоскости. Тогда

каждое утверждение может быть выражена одним или несколькими

полиномиальными уравнениями.

(

i

)

A , B , C

коллинеарные.

(

ii

)

AB

перпендикулярна

CD

.

(

iii

)

Расстояние от

A

до

B

равно расстоянию от C до

D

:

AB

=

CD

(

iv

)

C является серединой

Доказательство. Пусть

A

=(

a 1, a2

)

,

B

=(

b1 , b 2

)

,

C

=(

c 1, c 2

)

и

D

=(

d 1 , d 2

)



различные точки в самолет.

(і) Точки A, B и C лежат на одной прямой, если наклоны и равны. С

использованием формула наклона, мы имеем

Отсюда можно получить полиномиальное уравнение

p1

=(

a 2

−

b 2

)(

b1

−

c 1

)−(

a1

−

b1

)(

b 2

−

c 2

)=

0.

(ii) Чтобы показать, что

⊥

,

мы выражаем как вектор

(

b1

−

a1 , b 2

−

a 2

)

, а

как вектор

(

d 1

−

c 1 , d 2

−

c 2

)

. Тогда

⊥

означает, что векторы ортогональны.

Другими словами, скалярное произведение равно нулю. Итак, у нас есть

(

b1

−

a1 , b 2

−

a 2

)

·

(

d 1

−

c 1 , d 2

−

c 2

)=

0

что дает полиномиальное уравнение

p2

=(

b 1

−

a 1

)(

d 1

−

c 1

)+(

b 2

−

a 2

) (

d 2

−

c 2

)=

0.

(iii) Чтобы показать

AB

=

CD

, мы используем формулу расстояния,

чтобы показать

A B

2

=

CD

2

АВ

2

=(

b 1

−

а 1

)

2

+(

b 2

−

а 2

)

2

CD

2

=(

d 1

−

c 1

)

2

2

+(

d 2

−

с 2

)

2

Теперь

AB

2

=

CD

2

дает полиномиальное уравнение

р3

=(

b1

−

а1

)

2

+(

b 2

−

а 2

)

2

−(

d 1

−

с 1

)

2

−(

d 2

−

с 2

)

2

=

0

(iv) Если

C

является серединой

AB

, то

A

,

B

и

C

коллинеарны и

AC

=

BC

,

поэтому мы имеем полиномиальные уравнения из утверждений (i) и (iii).

Другие общие геометрические утверждения, например, то, что две

прямые параллельны могут быть выражены в виде полиномиальных

уравнений. Точка, находящаяся на окружности, и прямая, касающаяся этой

окружности,

также

могут

быть

представлены

полиномиальными

уравнениями. Кроме того, утверждение о том, что прямая делит угол

пополам, может быть выражено в виде полиномиального уравнения. Каждое

из этих геометрических утверждений может быть математически определено

и описано как уравнение полинома.

Список литературы:

1. Дэвид М Бертон. Элементарная теория чисел. Компании McGraw-

Hill, 2011. – С.66-70.

2. Дэвид Кокс, Джон Литтл и Донал О’Ши. Идеалы, разновидности и

алгоритмы. Издательство Springer International, 2015. – С.140-150.

4. Джозеф А. Галлиан. Современная абстрактная алгебра. Заниматься

обучением, 2017. –С.89-102.

5.

Самира

Зеада.

Полиномиальное

деление

и

базис

Грёбнера.

Преподавание математики,2013. -№16. –С.22–28