Тема урока «Сумма углов треугольника»

Н.А. Логинова – учитель математики ГБОУ СОШ №2

п.г.т. Усть-Кинельский г.о. Кинель Самарской области

Организационная информация

Предмет: геометрия

Класс: 7

Цели урока:

образовательная:

повторить

открытие

Евклида

о

сумме

углов

треугольника,

организовать усвоение учащимися различных способов доказательства этой теоремы;

сформировать умение применять полученные знания для решения типовых и творческих

задач;

развивающая:

развивать наблюдательность, геометрическую интуицию и глазомер,

пространственное воображение, творческие способности и исследовательские навыки

учащихся;

воспитательная: воспитывать самостоятельность и умение работать в соответствии с

намеченным планом.

Тип урока: урок изучение нового материала.

Оборудование: интерактивная доска, модели треугольников.

План урока

I.Организационный момент.

Приветствие.

II.Теоретическая разминка.

III.Проверка творческой части домашнего задания.

IV.«Открытие нового знания» (Изучение нового материала) .

1. Выдвижение гипотезы.

2. Совместная постановка цели.

3. Решение подготовительной задачи.

4. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника:

- доказательство Прокла;

- доказательство Евклида;

5. Сравнение доказательств Прокла и Евклида.

6. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника в школах Японии.

V.Минутка отдыха.

VI.Применение полученных знаний для решения типовых и творческих задач (закрепление

изученного материала).

1. Решение задач по готовым чертежам.

2. Решение задач по учебнику №224.

3. Решение практической задачи

VII.Подведение итогов урока.

VIII.Домашнее задание.

Ход урока

1

I.Организационный момент. (слайд №1)

Учитель приветствует ребят и высказывает надежду, что совместная работа на

уроке будет проникнута духом высказывания А.С. Пушкина: «Вдохновение нужно в

геометрии как в поэзии», и предлагает перейти к теоретической разминке.

II.Теоретическая разминка. (слайд №2,3)

1. Какой из треугольников №1-№7 остроугольный, прямоугольный, тупоугольный?

Почему вы так считаете?

2. Сформулируйте для каждого из приведенных на слайде предложений обратное

утверждение и установите, будет ли оно верным или нет.

* Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.

* Если три стороны одного треугольника соответственно равным трем сторонам

другого треугольника, то такие треугольники равны.

* Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов

равна 180°, то эти прямые параллельны.

Учитель: Сформулируйте ещё две теоремы об углах, образованных двумя

параллельными прямыми и секущей, и к ним обратные утверждения. Верны ли они?

III.Проверка творческой части домашнего задания.

Учитель проводит беседу:

- Дома 3 творческие группы проводили исследование. В чем заключалось исследование,

и какой результат вы получили? Кто хочет рассказать?

По желанию выступают участники групп:

I группа. (демонстрируя разноцветные модели) Мы измеряли углы остроугольных

треугольников: разностороннего, равностороннего и равнобедренного. Сумма углов

получилась…

II группа. Демонстрируя разноцветные модели прямоугольных разностороннего и

равнобедренного треугольников, рассказывают об аналогичном исследовании и

полученных результатах. Сумма углов получилась…

III группа. Демонстрируя разноцветные модели равнобедренного и разностороннего

тупоугольных треугольников, также делает свой вывод о сумме углов треугольников.

Учитель предлагает проанализировать результаты исследования, обобщить и сделать

вывод.

Ученики делают вывод, что сумма углов независимо от вида треугольника у

большинства равна 180 градусам, и только у некоторых больше или меньше 180

градусов.

IV.Открытие нового знания. (Изучение нового материала).

Учитель продолжает беседу:

1. – Какую гипотезу мы можем выдвинуть по результатам исследования?

Ученики: Сумма углов треугольника равна 180°.

Учитель: Да, эта гипотеза имеет право на существование. В каком случае гипотеза

становится открытием, ведь у некоторых получились результаты отличные от

180°?

- Если мы докажем ее истинность.

2. - Какую цель мы перед собой поставим?

- Наша цель – доказать, что сумма углов треугольника равна 180°.

3. - Замечательно, но прежде чем перейти к доказательству этой теоремы решим

задачу №1 (слайд №4).

Учащиеся по готовому чертежу на слайде №4 оформляют решение в тетради. После

чего один из учеников комментирует решение задачи, остальные учащиеся проводят

коррекцию, используя интерактивную доску.

Учитель продолжает беседу, предлагая доказать теорему.

- Итак, какую теорему мы сейчас докажем?

2

- Сумма углов треугольника равна 180°.

- Что нам дано? Какой факт мы будет доказывать?

(учитель записывает на доске, ученики в тетради).

Дано: ∆ABC

Доказать:

A+ B+ C = 180°

Доказательство:

- Как вы думаете, что нужно сделать, чтобы доказать теорему?

- По аналогии с решением задачи №1 через вершину B провести прямую параллельную

AC.

- Можем ли мы взять линейку и просто «на глазок» через точку B провести прямую,

параллельную AC?

Ученики отвечают.

Вне зависимости от ответа ученика, учитель ставит вопрос: «Почему?», и приводит

учеников к мысли, что геометрия наука точная, а человеческий глаз способен видеть

иллюзии, в чем все недавно убедились, посетив сектор «Оптические Иллюзии» физико-

математического эксперементариума. Поэтому искомую прямую нужно построить по

законам геометрии.

1. Разделим отрезок BC пополам: BM = MC.

2. Соединим точку A с точкой M и на продолжении AM отложим отрезок MD = AM.

Соединим точку D с точкой B.

3. Рассмотрим ∆AMC и ∆BMD. Что мы можем сказать об этих треугольниках?

BM = MC, т.к. AM – медиана;

AM = MD по построению;

BMD =

AMC как вертикальные.

Следовательно, ∆AMC = ∆DMB по двум сторонам и углу между ними. Что из этого

следует?

4. В равных треугольниках соответственные элементы равны:

MAC =

BDM, а они

накрест лежащие при прямых AC и BD и секущей AD. Значит, BD || AC.

Учитель продолжает беседу:

- Итак, мы провели BD || AC. Как вы думаете, какой будет ход доказательства

теоремы?

Ученики: «Аналогично решению задачи №1».

- Кто желает доказать?(один ученик выходит к доске, остальные доказывают теорему в

тетрадях, учитель по мере необходимости задает вопросы,

привлекает учеников класса к доказательству, слайд №5)

1. Обозначим углы

1,

2,

3,

4,

5.

2.

1 =

4 как накрест лежащие при BD || AC и секущей AB

3

A

С

B

3.

3 =

5 как накрест лежащие при BD || AC и секущей ВС

4.

4+ 2+ 5=180° образуют развёрнутый угол

5.

1+ 2+ 3 = 180° т.е

А +

В + С = 180° ,что и требовалось доказать.

- Молодцы!Это доказательство еще в V веке привёл математик Прокл в комментариях к

«Началам» Евклида. Это же доказательство приводится и в наших учебниках. Сам Евклид

в первой книге «Начала» доказывает эту теорему по-другому. Посмотрите на чертеж

(слайд №6). Используя рисунок, обдумайте доказательство теоремы Евклида. Кто хочет

доказать теорему?(Один ученик выходит к доске, остальные доказывают на своих

карточках).

Доказательство:

1. СЕ || АВ

2.

2 = 5 (как накрест лежащие при АВ || СЕ и секущей ВД)

3.

1= 4 (как соответственные при АВ || СЕ и секущей ВД)

4.

3+ 5+ 4 = 180° (образуют развёрнутый угол)

5.

3 +

2+ 1 = 180° т.е.

А+

В+ С= 180°, что и требовалось доказать.

- Давайте подумаем, есть ли принципиальная разница в доказательствах Евклида и

Прокла?Какая основная идея лежит в оснве этих доказательств?

- Принципиальной разницы нет, в основе доказательства лежит аксиома о параллельных

прямых

- Дома один человек выполнял специальное задание, сейчас он покажет нам, как

доказывают теорему о сумме углов треугольника в школах Японии.

Ученик выходит к доске.

- Возьмите модель треугольника, верхний угол сгибаем так, чтобы его вершина коснулась

основания треугольника, получаем точку В

1

. Углы А и С сгибаем таким образом, чтобы

4

точка А и С совпали с точкой В

1

. Тогда

A,

B и

C образуют развернутый угол, а

значит их сумма равна 180°.

Учитель: Кому понравилось это доказательство?

V.А теперь – минутка отдыха (звучит музыка).

VI.Применение полученных знаний для решения типовых и творческих задач. (Закрепление

изученного материала).

1. Решение задач на закрепление теоремы о сумме углов треугольника по готовым

чертежам (устный разбор задач по карточкам с готовыми чертежами на столах

учащихся). (слайд 7)

2. Решение задач по учебнику: №224 (Ученики решают самостоятельно, а один, по

желанию, у доски, взаимопроверка)

(В зависимости от хода урока этот пункт может быть дан на выбор с пунктом №3)

3. Решение практической задачи (слайд № 8-9).

Учитель: Четыре семьи получили вместе участок земли в форме правильного

треугольника. На этом участке имеется 4 колодца. Как разделить этот участок на 4

участка одинаковые по форме, равные по площади, и, чтобы на каждом из них, был

колодец?

- Подумайте, как можно переформулировать условие задачи?

- Какие у кого идеи решения?

Дополнительные вопросы учителя:

- Какой дан треугольник (Равносторонний)

- Какими должны быть 4 треугольника? (Равными)

- Как разделить участок, чтобы на каждом было по колодцу? (МN,МР ,PN)

- Где поставить точки М ,N и Р? ( М, N и Р – середины сторон АВ ,ВС и АС –

соответственно)

Учитель: Кто хочет решить задачу у доски? (Доказательство подробно разбирается

на доске с участием класса)

Дано: ∆АВС, АВ = ВС = АС, точки М, N и Р – середины сторон АВ, ВС и АС.

Доказать: ∆АМР = ∆МВN = ∆РМN = ∆РNС

Доказательство:

5

В

Рис. 7

A

B

C

Рис. 1

60

°

50

°

E

F

Д

20

°

Рис. 2

50

°

K

N

M

Рис. 3

30

°

С

A

Д

Рис. 4

A

B

Д

Рис. 5

K

C

E

Рис. 6

С

B

Д

А

70

°

A

F

N

150

°

P

Рис. 8

70

°

1. ∆ABC – равносторонний по условию.

2. Рассмотрим ∆MAP, т.к. M и P – середины

равных сторон AB и AC по условию, то

, значит

3.

AM=AP => ∆MAP – равнобедренный,

A=60° по условию, тогда

AMP= APM=(180°-60°):2=60°,

значит ∆MAP – равносторонний и AM=AP=MP.

4. Аналогично доказываем, что ∆MBN и ∆NCP - равносторонние, поэтому

BM=BN=MN, CN=CP=NP.

5. Получаем, что MP=MN=NP, т.е. ∆PMN – равносторонний.

6. Итак, все стороны равносторонних треугольников ∆MAP, ∆MBN, ∆NCP равны,

следовательно, ∆MAP = ∆MBN = ∆NCP = ∆PMN по трем сторонам, что и требовалось

доказать.

Учитель: Молодцы! Подведем итог урока.

VII.Итог урока.

Учитель: Какое великое открытие мы сегодня сделали?

Ученики отвечают на вопрос учителя.

Учитель: У кого остались какие-либо сомнения? Спросите.

В зависимости от запросов учеников, учитель дает пояснения.

Учитель: Проанализируйте сегодняшний урок. Что вам понравилось? Что бы вы

хотели изменить? Учащиеся высказывают свое мнение.

- Оцените свою работу на уроке. Кто почувствовал себя первооткрывателем,

ощутил, что стал интеллектуально богаче? У кого все получилось? Кто не смог

раскрыть всех своих возможностей на данном уроке? Кто испытывал трудности и

почему? Ответьте себе на эти вопросы. Учащиеся проводят рефлексию.

- Какую оценку вы бы поставили себе за работу на уроке? Учащиеся ставят в тетрадях

оценку и сравнивают ее с той, которую озвучивает учитель. В случаях расхождения

каждый аргументирует свою позицию.

VIII.Домашнее задание:

а) базовая часть – стр. 70 пункт 30, №223(а, в, г) стр. 89, вопрос 1;

б) творческая часть (на карточках)

* Проведите теоретическое исследование и найдите ответ на вопросы:

- могут ли в треугольнике все углы быть острыми, прямыми? Тупыми? Почему?

- если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то каковы два других угла?

Почему?

* Проведите поиск других доказательств теоремы (по желанию)

Учитель: Урок окончен, спасибо за работу!

Информационные источники

1.

Е.Е. Семенов – Изучаем геометрию. Москва, Просвещение, 1987.

2.

В.Д. Чистяков – Старинные задачи по элементарной математике. Минск, Высшая

школа, 1978.

3.

И.Ф. Шарыгин – Геометрия 7, теория, задачи. Москва, МИРОС, 1995.

4.

Л.С. Атанасян – Геометрия 7. Москва, Просвещение, 2012.

6

С

Р

А

N

М

В