Задачи на применение дифференциальных уравнений

Аннотация. Во множестве сфер человеческой деятельности возникает огромное

количество проблем, которые могут быть решены с использованием дифференциальных

уравнений. Допустим, у нас есть определенный процесс, будь то физический, биологиче-

ский или химический. Мы заинтересованы в определенной функциональной характери-

стике этого процесса, такой как изменение температуры, давления или массы со време-

нем. Стоит отметить, что различные задачи, которые содержат в себе разные материалы,

могут быть приведены к одним и тем же или похожим дифференциальным уравнениям.

Ниже приведены примеры, которые это демонстрируют.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, общее решение,

начальное условие, интегралы по частям, сила.

Tasks for the application of differential equations

Annotation. In many areas of human activity, a huge number of problems arise that can

be solved using differential equations. Let's say we have a certain process, whether it's physical,

biological or chemical. We are interested in a certain functional characteristic of this process,

such as changes in temperature, pressure, or mass over time. It is worth noting that various prob-

lems that contain different materials can be reduced to the same or similar differential equations.

The following are examples that demonstrate this.

Keywords: ordinary differential equations, general solution, initial condition, integrals

by parts, force.

Пример 1. Ракета с начальной массой

m 0

кг взлетает с поверхности

Земли в вертикальном направлении. Газы, образованные сгоранием топлива,

выбрасываются постоянными долями массы в единицу времени и с постоян-

ной скоростью , где и

¿

0

. Найти скорость движения ракеты и расстояние,

пройденное за время t.

Решение. Движение ракеты осуществляется путем выброса струи горя-

щего газа с определенной скоростью относительно самой ракеты. Вместе с

собой ракета несет запас топлива, которое составляет основную часть ее

переменной массы. Поэтому движение ракеты можно рассматривать как дви-

жение объекта с изменяющейся массой.

В соответствии со вторым законом динамики, изменение импульса ра-

кеты пропорционально приложенной силе и происходит в направлении этой

силы.

Если

Q

– количество движения тела с массой

m , F

– действующая

сила, – скорость движения тела, то в момент времени

t

Пусть

m

=

m

(

t

)

– масса ракеты в любой момент времени t после начала

движения, – её скорость относительно Земли в момент времени t, F

1

–

внешняя сила, действующая на ракету, F

2

– реактивная сила, направленная

по движению ракеты и возникающая за счёт выбросов газов из сопла ракеты.

Тогда суммарная сила и равенство (4) принимает вид

Реактивная сила определяется за счёт изменения количества движе-

ния убывающей массы. Пусть – убыль массы за время

. Масса имеет

скорость , т.е. скорость – относительно ракеты. Тогда количество движения

убывающей массы

равно . По условию скорость

постоянная, поэто-

му

Подставляя (3) в равенство (2), получаем дифференциальное уравнение

движения ракеты

По условию задачи из ракеты выбрасывается газ массой

за единицу

времени, тогда за время t – масса

. Тогда масса

ракеты, спустя вре-

мя t, составит

где

– начальное значение массы ракеты, т.е. . Скорость газа

от-

носительно ракеты известна и равна

. Внешняя сила

– ускорение свободного падения. С учётом (5), (6) и значе-

ния

, уравнение (4) принимает вид

или

Интегрируя дифференциальное уравнение (7), найдём его общее реше-

ние

Пусть . Тогда из (8) имеем и с учётом этого значения

соотношение

(8) примет вид

Полагая в (9)

и интегрируя полученное уравнение, по-

лучим

Интегрируя по частям, вычислим последний интеграл:

Тогда, подставляя (11) в (10) и учитывая начальное условие , найдём

искомый закон движения ракеты

Таким образом, на основании формул (9) и (12) в любой момент време-

ни

можем определить скорость и высоту подъёма ракеты.

Пример 2(Химическая реакция). В результате химической реакции

между двумя жидкими веществами X и Y образуется уникальное вещество Z.

Наша задача состоит в определении количества вещества Z в любой момент

времени после начала реакции. Для этого имеются следующие данные: а) в

начальный момент реакции количество веществ X и Y составляло соответ-

ственно x и y литров; б) температура в процессе реакции осталась постоян-

ной; в) каждые m литров вещества X и n литров вещества Y приводят к об-

разованию m+n литров вещества Z. Путем анализа этих условий мы сможем

определить требуемое количество вещества Z в любой момент после начала

реакции.

Решение. Скорость создания нового вещества Z определяется как ско-

рость реакции. Для определения действующей массы или концентрации реа-

гирующего вещества используется количество молей этого вещества, присут-

ствующее в определенном объеме.

Один из основных принципов теории химических реакций – закон дей-

ствующих масс, который утверждает, что скорость химической реакции при

постоянной температуре прямо пропорциональна произведению концентра-

ций веществ, принимающих участие в данный момент времени в реакции.

Пусть -количество вещества Z через время t после начала реакции. То-

гда скорость образования вещества Z, т.е. скорость реакции. Из условий за-

дачи следует, что к моменту времени t в химическую реакцию вступило лит-

ров вещества X и литров вещества Y. Тогда к указанному моменту осталось

литров вещества X и литров вещества Y. На основании закона действующих

масс приходим к дифференциальному уравнению

которое можно переписать в следующем виде:

где

Разделяя переменные в уравнении (13), получим

Интегрируя последнее уравнение, имеем

где - произвольная постоянная.

Отсюда

Из начального условия

находим

. Тогда из (14) получим

Допустим, что , тогда из формулы (15) следует, что при . Если , то

при . Если , то и и уравнение (13) принимает вид

Снова разделяя в (16) переменные и интегрируя, получим

Из условия

и соотношения (17) найдем значение . Тогда ра-

венство а (17) с учетом значения , примет вид

Отсюда при .

Список литературы:

1. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференци-

альных уравнений. Москва – 1967.

2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1958

3. Сабитов К. Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные

уравнения. Москва – 2005.

4. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное ис-

числение. М., 1969.