Метапредметный урок по теме «Симметрия в жизни»

Автор-разработчик: Чебыкина Татьяна Геннадьевна,

учитель математики ГБОУ г. Москвы «Школа № 185 имени Героя Советского Союза,

Героя Социалистического Труда В. С. Гризодубовой»

Класс:

10 класс

Цели урока:

Общедидактическая цель: формирование у обучающихся представления о

разнообразных проявлениях симметрии в окружающем мире, рассмотреть

метапредметное понятие «симметрия».

Образовательный аспект: повторение понятия осевой, центральной, зеркальной

симметрий, изучение поворотной, переносной, винтовой симметрий; проведение поиска

явлений симметрии в искусстве, живой природе, биологии, музыке, архитектуре,

литературе, технике.

Развивающий аспект: развитие логического мышления, творческой активности,

познавательного интереса.

Воспитательный аспект: воспитание умения работать в коллективе, умения учитывать

мнение других.

Предметные результаты:

- давать определения осевой, центральной, зеркальной, поворотной, переносной, винтовой

симметрий;

- находить примеры объектов окружающей действительности, обладающих осевой,

центральной, зеркальной, поворотной, переносной, винтовой симметрией;

- провести исследования по данной теме в математике, искусстве, живой природе,

биологии, музыке, архитектуре, литературе.

Метапредметные результаты:

- видеть важную роль принципа симметрии в научном познании мира;

- уметь видеть и ценить прекрасное;

- использовать для познания окружающего мира различные методы (наблюдение,

измерение, опыт);

- сравнение, сопоставление, классификация предметов и объектов по одному или

нескольким предложенным критериям;

- приведение примеров, подбор аргументов, формулирование выводов;

- отражение в устной и письменной форме результатов своей деятельности;

- оценивание своих учебных достижений.

Личностные результаты:

- формирование умения управлять своей учебной деятельностью, развитие внимания,

памяти, логического и творческого мышления, наблюдательности и воображения.

Оборудование: мультимедийный комплекс.

Ход урока:

Оргмомент:

(учащиеся сидят в группах по 4 человека, на столах лежат пакеты с

карточками с определениями различных видов симметрии, фотографиями и рисунками

живой и неживой природы, орнаментами, памятниками архитектуры, стихами, где можно

увидеть проявление осевой, центральной, зеркальной, поворотной, переносной, винтовой

симметрий; рабочие листы; материал с определениями

симметрии из различных

словарей; текстовый материал для работы в группах) приветствие учителя, проверка

раздаточного

материала

на

столе.

Целеполагание

и

мотивация:

Учитель: Совсем недавно мы обсуждали притчу о буридановом осле и попытались

ответить на вопрос, почему он погиб рядом с едой от голода, а сегодня ответим ещё на

один вопрос, а как ведёт себя природа в подобных случаях? Например, почему шарик

неподвижен на столе (значит стол ровный и слева наклон тот же самый, что и справа),

почему по проводу не идёт ток (если ток не идет по проводу, значит нет разности

потенциалов), почему тучка застыла на небе (если тучка застыла на небе, значит давление

вокруг одинаково и стих ветер). Было бы странным, если бы все происходило наоборот.

Природа

никогда

не

отдает

предпочтения

при

равенстве.

Перед

вами

слова

-

соразмерность,

пропорциональность,

закономерность,

упорядоченность,

повторяемость,

структурность,

неизменность,

стабильность,

совершенство,

порядок,

красота,

гармония.

(слайд).

Как

вы

думаете,

какое

геометрическое

понятие

можно

охарактеризовать

этими

словами?

Учащиеся: симметрия.

Учитель организует учащихся на постановку темы урока и определение его целей.

Учащиеся предлагают тему и цели урока, записывают в тетради: «Симметрия» –

тема, уметь различать различные виды симметрии; учиться видеть явления симметрии

в

окружающей

действительности

–

на

слайде

после

ответа

учащихся).

Учитель: Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта,

по

отношению

к

каким-то

преобразованиям,

выполненным

над

ним.

Работа в группах по 4 человека (у всех групп одинаковое задание и карточки): Из

набора карточек с фотографиями и рисунками живой и неживой природы, орнаментами,

памятниками архитектуры, стихами выделить группы объектов по признаку одинакового

расположения

относительно

точки,

прямой

или

другого

способа.

Разбор задания позволит вспомнить такие понятия, как «центральная», «осевая»,

«зеркальная», а также ввести новые - «поворотная» и «переносная симметрия», и

посмотреть, как часто эти виды симметрии встречаются в окружающем нас мире.

Активизация

мыслительной

деятельности.

Учитель обращает внимание на слова Толстого Л.Н.: «Стоя перед черной доской и рисуя

на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна

глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно

основано?» ( Слова на слайде) Мы живем в очень красивом и гармоничном мире. Нас

окружают предметы, которые радуют глаз. Например, бабочка, кленовый лист, снежинка.

Посмотрите, как они прекрасны. Вы обращали на них внимание? Сегодня мы с вами

прикоснемся к этому прекрасному явлению – симметрии. Будем учиться определять виды

симметрии и находить их в окружающей действительности. Сначала прошу ответить на

вопросы

(у каждого учащегося

карточка с вопросами по теме урока), сравнить

результаты с соседом напротив, потом с соседом, сидящим рядом. К таблице вернёмся в

конце урока.

Вопрос:

«+» «-»

Верите ли вы, что есть общее между кленовым листочком и снежинкой,

кружевной салфеткой и буквами русского алфавита, музыкой и резными

наличниками, красотой и математикой?

Верите ли вы, что принципы симметрии играют важную роль в физике и

математике, химии и биологии, физике и архитектуре, живописи и

скульптуре, поэзии и музыке?

Верите ли вы, что мир существует благодаря единству симметрии и

асимметрии?

Верите ли вы, что при преобразовании симметрия относительно точки

фигура сохраняет свои размеры?

Верите ли вы, что при преобразовании симметрия относительно прямой

фигура изменяет свою форму?

Верите вы ли, что в психологии и морали понятие симметрии

представлены как покой и уравновешенность.

Верите ли вы, что смена дня и ночи – это проявление симметрии.

Верите ли вы, что точки К и М симметричны относительно прямой в,

если прямая в пересекает отрезок МК в его середине под углом,

отличным от прямого.

Верите ли вы, что музыка, исполняемая на музыкальных инструментах

или воспроизводимая человеческим голосом, полна симметрии.

Знакомство с новым материалом

А) Работа с понятием симметрия

Учитель обращает внимание учащихся на слайд. На слайде слова Германа Вейля,

крупнейшего ученого XX века, которому мы обязаны тем, что отдаем себе сегодня

полный отчет в значении для математики и физики общего понятия симметрии:

«Симметрия – это идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и

создать порядок, красоту и совершенство».

Учитель: Сейчас предлагаю работу в группах. Задание группам: обсудить, выбрать и

обосновать выбор внутри группы наиболее подходящего определения симметрии.

Учащихся в группах работают с понятием симметрии из разных словарей.



«Словарь иностранных слов»: «Симметрия - [греч. symmetria] - полное зеркальное

соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра;

соразмерность».



«Краткий Оксфордский словарь»: «Симметрия - красота, обусловленная

пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием,

гармонией, согласованностью».



«Словарь С.И. Ожегова»: «Симметрия - соразмерность, пропорциональность

частей чего-нибудь, расположенных по обе стороны от середины, центра».



Краткий словарь иностранных терминов в математике: Симметрия - греч.слово

simmetria – «соразмерность». Свойство формы или расположения фигур

симметрично.

Учитель предлагает представителю одной из групп представить результаты обсуждения

(ученики высказываются).

На слайде: цитата Аристотеля «Математика… выявляет порядок, симметрию и

определенность, а это – важнейшие виды прекрасного»

и гравюра Эшера

«Силы

гравитации».

Учитель:

Греческое

слово

«симметрия»

означает

«соразмерность»,

«пропорциональность», «одинаковость в расположении частей». Однако часто под словом

«симметрия» понимают более широкое понятие: регулярность смены каких-либо явлений

(времен года, дня и ночи и т.д.), уравновешенность левого и правого, равноправие

природных явлений. Фактически мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается

какая-либо упорядоченность. Симметрия, понимаемая как покой, уравновешенность,

противостоит хаосу и беспорядку. Об этом говорит гравюра Мариуса Эшера «Силы

гравитации», где, как писал сам художник, «звездчатый додекаэдр, символ красоты и

порядка, окружен бессмысленной коллекцией бесполезных вещей». Учитель обращает

внимание на картину и задаёт вопрос: что вам хочется сделать, глядя на рисунок

художника?

Предполагаемые ответы учеников: Убрать многогранник. Освободить его из груды

хлама

или

убрать

вещи

и

оставить

только

многогранник.

Учитель: именно такого эффекта и добивался художник, потому что в каждом из нас

живёт врождённое чувство прекрасного. То чувство, о котором говорил Л.Толстой.

Б) Симметрия везде

Учитель: Приступаем к работе в группах.

Задание группам: Прочитать текст.

1.

Записать цитату, характеризующую тему вашего исследования.

2.

Записать, в какой области вы проводите исследование.

3.

Виды симметрии и примеры нужно занести в таблицу.

4.

Подготовит выступление с результатами исследования.

Цитаты:

«Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» (А. С.Пушкин) [русский

язык, литература]

«Химия – правая рука физики, математика – ее глаз» (М. В. Ломоносов) [химия, физика]

«Равенство, неравенство, повторение и симметрия, определенные структуры играют в

искусстве, как и в математике, фундаментальную роль» (Гейзенберг) [искусство,

архитектура]

«Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и

потому, что она красива» (Р. Петер) [математика]

«Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или

ином деле» (А. Н. Крылов) [техника, музыка]

«Математика – это язык, на котором написана книга природы» (Г. Галилей) [природа]

Учитель: Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и

биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Например, на

уроках геометрии мы рассмотрели симметрию математическую (центральную и осевую,

зеркальную), а в мире растений в ходу другая симметрия. Возьмите в руку цветок

ромашки (карточка). Как совместить разные части цветка (если их повернуть вокруг

стебля)? Такой вид симметрии назвали «поворотная».

Каждой группе выдан лист со следующим содержанием:

Симметрия в окружающем мире

1. Прочтите текст.

2. Запишите цитату.

_______________________________________________________________

3.Запишите, к какой области (областям) относится исследование.

4.Заполните таблицу.

Виды симметрии, которые встречаются в

данной области исследования

Приведите примеры

Группа №1 (Группа читает текст, заполняет рабочий лист по исследованию вопросов

симметрии живой природы)

Установлено, что в природе наиболее распространены такие виды симметрии, как

зеркальная (или билатеральная) и лучевая (или радиальная). Билатеральная (зеркальная)

симметрия характерна всем представителям животного мира. Зеркальной симметрией

обладают жуки, бабочки, птицы, рыбы. Зеркальной симметрией обладают некоторые

внутренние органы человека (например, головной мозг) и само человеческое тело (речь

идет о внешнем облике и строении скелета). К формам лучевой симметрии относятся

гриб, некоторые деревья, морская звезда, панцирь морского ежа. Среди цветов

наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы обладают характерным свойством:

цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок

совместится сам с собой. Такой угол называют элементарным углом поворота оси. Этот

угол для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120º, для колокольчика - 72º,

для нарцисса - 60º.

В природе существует и винтовая симметрия. Наблюдается в расположении листьев на

стеблях большинства растений винтом по стеблю. Листья как бы раскладываются во все

стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений.

Симметрия есть и в таком творении природы как отражение в воде – единственный

пример горизонтальной симметрии. Поверхность воды - есть плоскость симметрии.

Группа №2 (Группа читает текст, заполняет рабочий лист по исследованию вопросов

симметрии в архитектуре)

Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Большинство

зданий зеркально симметричны. Общие планы построек, фасады, орнаменты, колонны

обнаруживают соразмерность, гармонию.

Много примеров использования симметрии дает старая русская архитектура: колокольни,

сторожевые башни, внутренние опорные столбы.

Безусловно, симметрия всегда играла важную роль в работе архитектора.

Но в одних случаях архитектор ограничивался симметрией прямоугольного

параллелепипеда, создавая дома-коробки, а в других случаях он использует богатство

симметричных форм и создает, например, мавзолей Тадж-Махал в Агре, в Индии или

Зимний дворец в Санкт-Петербурге.

Различные виды симметрий используются в декоративно-прикладном искусстве. Розетки

– это круглые орнаменты, встречающиеся в резьбе по дереву, настенной лепке, в

вышивках, в ковровых изделиях. Розетки обладают поворотной симметрией, центральной.

Трудно найти человека, не любовавшегося орнаментами.

В них можно обнаружить затейливое сочетание переносной, зеркальной и поворотной

симметрий. Например, орнамент на рисунках обоев, которыми оклеены стены вашей

комнаты.

Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называют бордюром. На

практике бордюры встречаются в различных видах:

настенная роспись, украшающая стены зданий, галерей, лестничных переходов, чугунное

литье, используемое в оградах парков, решетках мостов и набережных.

Любой бордюр обладает симметрией вдоль своей оси (вдоль оси переноса), но переносная

симметрия может быть комбинирована с зеркальной и поворотной симметрией.

Группа №3 (Группа читает текст, заполняет рабочий лист по исследованию вопросов

симметрии в живописи)

В древнерусской живописи сложилась образная система, иллюстрирующая религиозные

сюжеты. Традиционная композиция иконы чаще всего симметрична, а главные персонажи

выделены своим центральным местоположением. Зримый образ Всевышнего обычно

располагался строго в центре пространства иконы как символ и смысл первоосновы мира.

Симметричные,

гармоничные

пропорции,

создающие

впечатление

покоя

и

величественности, подчеркивали несовершенство и хаотичность земного бытия. Конечно,

чаще всего в изобразительном искусстве мы говорим о неполной симметрии. Существует

некоторая «обращенность» к центру, создающая композиционное равновесие. В картине

«Три богатыря» русского художника В. Васнецова по небу движутся тяжелые облака,

колышется спелая нива, волнуются могучие кони, с трепещущими от ветра гривами. Сами

герои полны сдерживаемой силы: вся группа чуть сдвинута влево, один из богатырей

выдвигает

меч,

другой

прикрывает

ладонью

глаза,

третий,

наклонив

голову,

прислушивается. Из-за этих небольших отклонений от строгой симметричности возникает

ощущение внутренней свободы персонажей, их готовности к движению.

Работает Группа № 4 (Группа читает текст, заполняет рабочий лист по исследованию

вопросов симметрии в литературе).

Симметрия в литературе

Палиндромы (слова, произношение которых не меняется

независимо от направления чтения): шалаш, казак, дед, потоп, боб, поп, мадам.

Палиндромические выражения (фразы-перевёртыши):

Кинь лед зебре, бобер бездельник. Я сличил то и то – вот и отличился. А роза упала

на лапу Азора.

В литературных произведениях существует симметрия образов, положений,

мышления. В греческой трагедии - виновный становится жертвой такого же преступления.

В «Евгении Онегине» А.С. Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: «Онегин,

отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет вынужден испытывать

горечь отвергнутой любви». Стихотворный размер почти всегда симметричен. В нем

чередуются ударные и безударные слоги. Единый размер обязателен для всего

стихотворения. Можно заметить, что некоторые поэты в своих стихах стремятся

установить симметрию и вначале и в конце стиха часто повторяют слова:

Ночь, улица, фонарь, аптека,

Бессмысленный и тусклый свет,

Живи ещё хоть четверть века,

всё будет так – исхода нет.

Умрешь, начнешь опять сначала…

И повторится всё как встарь:

Ночь, ледяная рябь канала,

Аптека, улица, фонарь.

В гранит оделася Нева;

Мосты повисли над водами;

Темно-зелеными садами

Ее покрылись острова…

Пушкин А.С. «Медный всадник»

Группа № 5 (Группа читает текст, заполняет рабочий лист по исследованию вопросов

симметрии в музыке, технике)

Симметрия прослеживается в классическом танце, в балете, в других классических видах

искусства. Вспомните знаменитые фуэте, в которых балерина вращается на одной ножке 6

раз, 12, 24 раза.

Отмечая, что на Руси издавна сложилась целая система колокольных звонов, А.С. Сонин в

своей книге “Постижение совершенства” пишет: «… Перезвон – еще один вид звона. Он

получается, если поочередно ударять по нескольку раз в каждый колокол. Трезвон – когда

одновременно, в несколько колоколов, звонят в три приема. Разные звоны, разные ритмы,

разная симметрия»

Полна симметрии также музыка, исполняемая на музыкальных инструментах и таком

природном инструменте, как человеческий голос. Отметим, что и большинство

музыкальных инструментов, например, скрипка, гитара, барабан и т.д. имеют правильную

симметричную форму.

Довольно частое проявление симметрии в творениях человеческих рук объясняется, в

частности, соображениями целесообразности.

В технике, красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью,

устойчивостью в работе.

Дирижабль, самолет, подводной лодка, автомобиль и т.д.

симметричны относительно плоскости. Их симметричная форма обеспечивает хорошую

обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению.

Группа № 6 (Группа читает текст заполняет рабочий лист по исследованию вопросов

симметрии в математике)

Симметрия широко используется в математике.

В алгебре говорят о симметрии графиков функций, когда функция является четной или

нечетной. Область определения четной и нечетной функций симметрична относительно

точки Х=0. Примером нечетной функции являются функции y=x

3

.График нечетной

функции симметричен относительно начала координат (симметрия относительно точки

или центральная симметрия). Примером четной функции являются функции y=x

2

.График

четной функции симметричен относительно оси ординат (симметрия относительно

прямой или осевая симметрия). Поэтому для построения графиков четных и нечетных

функций достаточно провести исследование свойств функции на половине области

определения данной функции. Далее, если функция четная, воспользоваться осевой

симметрией, если нечетная – центральной.

y=x

3

;

y=x

2

Графики периодических функций ( например y=sinx) имеют переносную

симметрию вдоль оси Ох.

Со времени изобретения гончарного круга люди научились создавать круглые амфоры,

вазы, горшки. Их можно получить в результате вращения некоторой плоской фигуры

вокруг прямой, которая называется осью вращения. В геометрии такие фигуры

называются телами вращения (шар, конус, цилиндр). Для всех тел вращения ось вращения

является поворотной осью бесконечно большого порядка (n=

).Не трудно привести так

же и других тел вращения: шахматные фигуры (за исключением коня), колокола, вазы,

электрические лампочки.

Представление результатов группами учащихся по плану, который соответствует

последовательности заданий в рабочем листе. Представители других групп задают

вопросы, учитель комментирует ответы и иллюстрирует выступления с помощью

презентации, которая составлена в соответствии с содержанием в раздаточном материале.

Учитель: Если бы всё окружающее обладало симметрией, мир был бы совершенным?

После обсуждения заслушиваются ответы представителей групп.

Г) Несимметричность и её роль.

Учитель: Среди карточек выберите те, на которых изображены несимметричные

объекты, обсудите в группе вопросы о том, какие объекты вам нравятся больше

симметричные или асимметричные, какой мир лучше: мир симметрии или мир

асимметрии.

Учитель:

Довольно загадочным является тот факт, что в этом симметричном,

симметричном, симметричном мире несимметричность не только, уцелела, но продолжает

играть весьма важную роль. Правда, все симметричное в природе считают отражением

фундаментальных

качеств

мира,

а

несимметричное

—

игрой

случая.

Биологи установили, что несимметричные молекулы более жизнеспособны, процессы в

них идут активней. Может быть, обобщая это наблюдение, можно прийти к выводу, что

окончательная симметрия, гармония, уравновешенность приводят к покою, к застою, к

параличу? И возможно, хитроумная природа выбрала единственно правильный путь —

чтя в целом Его Величество Симметрию, она создала закон и порядок и, слегка изменяя

ему, обеспечила движение и развитие? Во всем ли в жизни должна быть симметрия?

Предполагаемые ответы учащихся: Мир не мог бы быть абсолютно симметричным

(ничто бы не изменялось, не было бы никаких различий, в таком мире ничего бы не

наблюдалось – никаких явлений). Не мог бы существовать абсолютно асимметричный

мир. Это был бы мир без каких-либо законов, где ничто не сохраняется, где нет каких-

либо причинных связей. Реальный мир – это мир, основывающийся на диалектике

симметрии и асимметрии.

Итоги урока

Учитель: Проверьте ответы в таблице, поделитесь с соседом рядом, есть ли разница в

ответах, на все ли вы вопросы вы ответили верно (школьники работают в парах).

Учитель: Анекдотический буриданов осел погиб от голода между двумя охапками сена,

почему?

Мы

уже

пытались

ответить

на

этот

вопрос.

Учащиеся: Он не знал, с какой начать, так как они были совершенно одинаковы.

Учитель: Поведение осла кажется на первый взгляд совершенно неестественным. А как

ведут себя другие объекты окружающей действительности в подобных

ситуациях.

(Шарик на ровном столе, тучки на безветренном небе, электрический ток без разности

потенциалов).

Учащиеся: так же как буриданов осел.

Учитель: Симметрия — это и есть равенство в широком смысле этого слова. Например,

зеркальная симметрия означает, что правая часть в точности равна левой. Поэтому,

подобно

ослу

Буридана,

явление,

обладающее

зеркальной

симметрией,

должно

«уклоняться» от поступков, отдающих предпочтение одной из частей, сохраняя

нейтральное положение. Значит, если имеет место симметрия, то чего-то не произойдет и,

значит, что-то обязательно останется неизменным, сохранится. Сведение красоты только к

симметрии ограничивало бы богатство ее внутреннего содержания, лишало красоту

жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот

почему единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание

прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами как покой, скованность,

закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность.

Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Она присутствует в нашей жизни буквально

во всем, но мы настолько к ней привыкли, что не замечаем этого. Некоторым она кажется

скучной, некоторые любят ее за спокойствие, которое она вносит в нашу жизнь,

некоторые пытаются противостоять ей. Но как бы мы к ней не относились, она есть в

нашей жизни буквально во всем, добавляя в нее мир, спокойствие и состояние

умиротворения.

Рефлексия.

Учитель: продолжите предложения

Сегодня я

•узнал…

•научился…

•понял, что…

•достиг своей цели:…

•почувствовал, что…

•открыл (изучил) новые способы…

•спроектировал (создал алгоритм) действий…

•по-новому оценил себя:…

•помог…

Домашнее задание.

Найти примеры различных видов симметрии в мире, представив себя математиком,

физиком,

химиком,

архитектором,

музыкантом

и

др.

составить

коллаж

после

исследования и подготовить его представление.