Способы самоподготовки к ЕГЭ по математике учащихся 10-11 классов.

В процессе самоподготовки старшеклассников к итоговой аттестации по математике на профильном

уровне можно проверить правильность выполнения задания с помощью программного продукта

WolframAlpha.

Одно из заданий номера 12 предполагает

№12.. Найдите точку максимума функции

.

Решение.

1) ООФ: х >0 .

2) Найдем производную функции

3) Найдем стационарные точки и исследуем их на экстремум

получаем уравнение

корнями которого являются

С помощью знаков производной и поведения функции выясняем

+ 9

0 3 х что

- точка максимума на ООФ.

Ответ: 3.

Задаем параметры в программе и видим, проверенный результат.

Рассмотрим решение задания второй части ЕГЭ под №13. Предлагается решить

логарифмическое уравнение

а) Решите уравнение

.

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

.

Решение.

а) 1) Условие существования уравнения:

открытый

луч

.

2) Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства + и – логарифмов. Такое

преобразование возможно, т.к.

х > ½.

Перенесем все в левую часть и применим способ группировки

Левую часть уравнения разложим на множители

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем, что

и

3) Соотнося полученные значения с условием существования

видим,

что

- корни данного уравнения.

б) Произведем отбор корней на

1) Запишем в виде

Так как функция

возрастает, то

.

Значит

.

2) Аналогично поступим с числом 3. Запишем его в виде

Так как функция

возрастает, то

.

Значит

.

Ответ: а)

; б)

.

Проверяя правильность решения этого уравнения с помощью WolframAlpha, видим

Выполненные преобразования и корни уравнения.

Функционально- графический метод решения неравенств (задача №15 ЕГЭ)

Утверждение 1

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) определены и непрерывны на некотором множестве X . При

этом функция y=f(x) монотонно возрастает, а функция y=g(x) монотонно убывает на

множестве X . Тогда уравнение f(x)=g(x) на множестве X имеет не более одного решения.

Задание 1. Решить неравенство:

Решение. 1) Неравенство имеет смысл при хϵ(3; +∞).

2) Перенесём слагаемое в правую часть и воспользуемся свойством логарифма. Получим

неравенство

.

Функция

монотонно возрастает на промежутке

как композиция двух

возрастающих функций,

а функция

убывает на области определения как композиция убывающей

логарифмической и возрастающей линейной функций.

Равенство достигается при х=5. Решение неравенства:

.

Чтобы убедиться в правильности полученного решения воспользуемся программным продуктом

Wolfram Alpha. В поле задания необходимо ввести команду

«plot[3^(x^2-4x-5)&&log(1/3,(x-3)/6)]from3to6».

В результате получим изображение:

С помощью команды «3^(x^2-4x-5)=log(1/3,(x-3)/6)» можно получить решение уравнения

. При этом получаем графическое изображение:

Утверждение 2.

Если на множестве Х наибольшее значение функции y=f(x) равно А и наименьшее значение

функции y=g(x) тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно на множестве Х

системе уравнений

Задание 2. Решить уравнение:

.

Решение. 1) Область существования логарифма определяет область существования уравнения:

.

2) Преобразуем уравнение к виду

и рассмотрим функции

и

.

Воспользовавшись свойствами квадратичной и показательной функции, получим следующие

ограничения:

и

. Таким образом исходное уравнение эквивалентно

системе уравнений (в силу утверждения 2):

Решив систему уравнений, получим решение х=3.

3)

Чтобы убедиться в правильности полученного решения воспользуемся программным продуктом

Wolfram Alpha. В поле задания необходимо ввести команду

«plot[log(2,6x-x^2-7)&&7^(abs(x-3)))]from0to10».

В результате получим изображение: