УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

СОДЕРЖАНИЕ

1.

Введение…………………………………………………………………..4

2.

Практическая работа № 1………………………………………………..7

3.

Практическая работа № 2………………………………………………..8

4.

Практическая работа № 3………………………………………………10

5.

Практическая работа № 4………………………………………………12

6.

Практическая работа № 5………………………………………………13

7.

Практическая работа № 6………………………………………………13

8.

Практическая работа № 7………………………………………………15

9.

Практическая работа № 8………………………………………………16

10.Практическая работа № 9………………………………………………17

11.Практическая работа № 10……………………………………………..18

12.Практическая работа № 11……………………………………………..20

13.Практическая работа № 12……………………………………………..21

14.Практическая работа № 13……………………………………………..22

15.Практическая работа № 14……………………………………………..23

16.Практическая работа № 15……………………………………………..24

2

ВВЕДЕНИЕ

В учебном плане специальности «Строительство и эксплуатация городских

путей сообщения» по дисциплине «Математика» 62 часа. 50% времени отводится

на практическую работу студентов. Рабочей программой предусмотрено 15

практических работ.

Учебное пособие содержит описание практических работ:

1.

Операции над матрицами. Вычисление определителей.

2.

Решение линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

3.

Составление уравнений прямых, кривых 2 – го порядка, их построение.

4.

Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие

неопределенностей.

5.

Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва.

6.

Вычисление производных сложных функций.

7.

Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя.

8.

Полное исследование функции. Построение графиков.

9.

Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном

интеграле.

10.Вычисление определенных интегралов.

11.Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла.

12.Вычисление

частных

производных

и

дифференциалов

функции

нескольких переменных.

13.Решение

дифференциальных

уравнений

1 – го

порядка

с

разделяющимися переменными. Решение однородных дифференциальных

уравнений

1 – го

порядка. Решение

линейных дифференциальных

уравнений 1 – го порядка.

14.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2 – го

порядка с постоянными коэффициентами.

15.Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 – го

порядка с постоянными коэффициентами.

Требования к знаниям и умениям при выполнении

практических работ

В

результате

выполнения

практических

работ,

предусмотрено

программой по данной специальности, студент должен

уметь:



Выполнять операции над матрицами. Вычислять определители. Разлагать

определитель по элементам любой строки и любого столбца. Находить

обратную матрицу;



Решать системы уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса;



Составлять уравнения прямых и кривых 2 – го порядка. Находить углы

между прямыми, расстояния от точек до прямой. Изображать прямые,

кривые 2 – го порядка;

3



Вычислять

пределы

последовательностей

и

функций. Раскрывать

неопределенности. Классифицировать точки разрыва;



Вычислять

производные

сложных

функций,

производные

и

дифференциалы

высших

порядков. Раскрывать

неопределенности

с

помощью правил Лопиталя. Находить экстремумы и точки перегиба

функций;



Вычислять определенные и неопределенные интегралы методом замены

переменной и по частям. Применять определенный интеграл для

решения геометрических задач;



Вычислять частные производные и дифференциалы;



Решать обыкновенные дифференциальные уравнений 1 – го порядка с

разделяющимися переменными, линейные однородные и линейные

неоднородные. Решать линейные однородные и неоднородные уравнения

2 – го

порядка

с

постоянными

коэффициентами

и

уравнения,

допускающие понижение степеней;

знать:



Определение матрицы, действия над матрицами и их свойства.

Определении определителя, свойства определителя. Определение минора

и

алгебраического

дополнения. Определение

обратной

матрицы.

Определение ранга. Элементарные преобразования матриц, определение

ступенчатой (трапецеидальной) матрицы;



Определение

системы

линейных

уравнений,

однородных

и

неоднородных систем;



Уравнение прямой на плоскости. Уравнение кривых 2 – го порядка

(окружности, эллипса, параболы, гиперболы);



Определение

числовой

последовательности

и

функции,

свойства

пределов, замечательных пределов. Определение функции, непрерывной

в точке, ее свойства;



Определение производной, ее геометрический и физический смысл.

Табличные

производные,

правила

дифференцирования.

Правило

вычисления сложной функции. Определение дифференциала функции,

его свойства. Определение производных и дифференциалов высших

порядков. Определение экстремума функции. Определение выпуклой

функции, точек перегиба, асимптот;

4



Определение неопределенного интеграла, его свойства, табличные

интегралы. Формулы интегрирования при помощи замены переменной и

по частям для неопределенного интеграла. Определение определенного

интеграла, его свойства, основная формула интегрального исчисления

формула Ньютона – Лейбница. Формула интегрирования при помощи

замены

переменной

и

по

частям

для

определенного

интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла;



Определение

частных

производных

и

дифференциала

функции

нескольких переменных;



Определение обыкновенного дифференциального уравнения. Общего и

частного решения;

Практические работы рассчитаны на выполнение в течение двух учебных

часов.

Правила выполнения практических работ

1.

Студент должен прийти на практическое занятие подготовленным к

выполнению работы. Студент, не подготовленный к работе, не может

быть допущен к ее выполнению.

2.

Каждый студент после выполнения работы должен представить отчет о

проделанной работе с решением задач и выводом по работе.

3.

Отчет о проделанной работе следует делать в журнале практических

работ выполненном на листах формата А4 с одной стороны листа.

Содержание отчета указано в описание практической работы.

4.

Таблицы

и

рисунки

следует

выполнять

с

помощью

чертежных

инструментов (линейки, циркуля и т. д.) карандашом с соблюдением

ЕСКД.

5.

Расчет следует проводить с точностью до двух значащих цифр.

6.

Исправления выполняются на обратной стороне листа отчета. При

мелких

исправлениях (слово, буква,

число

и

т. д.)

аккуратно

зачеркиваются и над ним пишутся правильно (слово, букву, число и т.

п.).

7.

Вспомогательные расчеты можно выполнить на отдельных листах, а

при необходимости на листах отчета.

8.

Если студент не выполнил практическую работу или работы, то он

может выполнить работу или оставшуюся часть во внеурочное время,

согласованное с преподавателем.

9.

В критерии оценивания практической работы входят:



объем и качество решения задач;



наличие анализа и выводов проделанной работы;

5



наличие пояснений по окончании выполнения каждого этапа;



соблюдение требований к оформлению работы.

10.Положительная итоговая оценка по дисциплине выставляется при условии

выполнения всех, предусмотренных программой практических работ,

предоставления отчета, оформлению к соответствии с требованиями,

предъявляемыми к оформлению текстовых документов.

11.Зачет

по

практическим

работам

студент

получает

при

условии

выполнения всех предусмотренных программой работ, после сдачи

отчетов по работам при удовлетворительных оценках за опросы и

контрольные вопросы во время практических занятий.

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

Практическая работа № 1

Тема: Операции над матрицами. Вычисление определителей.

1.

Цель работы: формирование умений и навыков при выполнении операций

над матрицами.

2.

Пояснение к работе:

Краткие теоретические сведения:

Таблица чисел a

ij

вида

обозначаемая кратко (a

ij

) (i=1,2,3,…..,m; j=1,2,3,….,n) состоящая из m

строк и n столбцов, называется матрицей размера m x n. Определителем

второго порядка, соответствующим матрице А, называется число, равное

а

11

а

22

– а

12

а

21

.

Определитель обозначают символом

(кратко

)

= а

11

а

22

– а

12

а

21

Определителем третьего порядка, называется число

= а

11

а

22

а

33

+а

12

а

23

а

31

+а

13

а

21

а

32

-а

13

а

22

а

31

-а

11

а

23

а

32

-а

12

а

21

а

33

3.

Задание

3.1 Найти сумму матриц

I в.

II в.

6

а)

и

б)

и

а)

и

б)

и

3.2 Найти матрицу а) А+2В б) 3А-В, если

I в.

,

.

II в.

,

.

3.3

Вычислить произведение матриц АВ, если

I в.

,

.

II в.

,

.

3.4 Вычислить определители

I в.

II в.

а)

б)

а)

б)

в)

г)

в)

г)

4. Контрольные вопросы

1.

Что называется матрицей?

2.

Какие операции выполняются над матрицами?

3.

Что называется определителем второго порядка и третьего порядка? Как

можно вычислить определитель?

5. Литература

1.

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, «Высшая

школа», 2001.

2.

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», «Высшая

школа», 1999.

7

Практическая работа № 2

Тема: Решение линейных уравнений по правилу Крамера и методом

Гаусса.

1.

Цель работы: формирование умений и навыков при решении систем

линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

2.

Пояснение к работе

Краткие теоретические сведения

Система трех линейных уравнений с тремя переменными

при условии, что определитель системы

, имеет единственное

решение, которое находиться по формуле Крамера:

где

,

,

Если же

, то система является либо неопределенной, либо

несовместной. В этом случае, если система одновременная, т. е. имеет вид:

и

, то она имеет единственное

решение: Х=0, Y=0, Z=0.

Если определитель однородной системы

то система сводиться

либо к двум независимым уравнениям (третье является их следствием), либо

к одному (следствием которого являются остальные два уравнения)

В обоих случаях однородная система имеет бесконечное множество

решений.

Пример:

Решить систему уравнений

Преобразуем матрицу в эквивалентную:

(для упрощения вычислений мы поменяем местами первое и второе

уравнения).

Вычитаем из остальных двух строк 1–ю строку, умноженную на 3 и на 4:

Изменив знаки во 2-й строке и умножив ее на 5, прибавляем к 3-й:

8

(мы разделим на 11 последнюю строку)

Система уравнения приняла треугольный вид:

Она имеет единственное решение. Из последнего уравнения имеем Z=2;

подставляя это значение во второе уравнение, получаем Y=3 и, наконец, из

первого уравнения находим X= -1.

3.

Задание

3.1 Решить системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса.

I в.

а)

б)

II в.

а)

б)

4.

Контрольные вопросы

1)

В чем заключается метод Гаусса решение систем линейных

уравнений?

2)

Сформулировать правило Крамера решения систем линейных

уравнений.

5.

Литература

1.

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия,

«Высшая школа», 2001.

2.

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», «Высшая

школа», 1999.

Практическая работа № 3

Тема: составление уравнений прямых, кривых 2 – го порядка, их

построение.

1.

Цель работы: формирование умений и навыков при

составлении уравнений прямых, кривых 2 – го порядка и их построение.

2.

Пояснение к работе

Краткие теоретические сведения

Общее уравнение прямой на плоскости Ах+Вy+С=0

Уравнение окружности

; где

0 (а;b) – центр окружности

r – радиус окружности

Уравнение эллипса (фокус лежит на оси ох)

(a>b)

9

Уравнение гиперболы (фокус лежит на оси ох)

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, с осью

симметрии ох

(p>0)

3.

Задание

I в.

а) Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку Mo и

перпендикулярно данному вектору

M

0

(-2;-3)

=(4;-5)

б) Найдите координаты центра и радиус окружности. Сделать чертеж.

в) Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках

(-5; 0) и (5; 0), а фокусы в точках (-3; 0) и (3; 0). Сделать чертеж.

г) Составьте уравнение асимптот гиперболы. Сделать чертеж.

д) Составьте уравнение директрисы параболы

II в.

a)

Составьте уравнение прямой, проходящей через данную точку M

0

и

перпендикулярно данному вектору

,

,

b)

Найдите координаты центра и радиус окружности. Сделайте чертеж.

в) Найдите координаты вершин и длины осей эллипса. Сделать чертеж.

г) Найти эксцентриситет гиперболы. Сделать чертеж.

д) Составить уравнение директрисы параболы. Сделать чертеж.

4.

Контрольные вопросы

1)Какой вид имеет общее уравнение прямой на плоскости?

2)Какой вид имеет общее уравнение кривой 2 – го порядка?

3)Записать уравнение окружности, эллипса, гиперболы, параболы?

5.

Литература

10

1.Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, «Высшая

школа», 2001.

2.Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», «Высшая школа»,

1999.

Практическая работа № 4

Тема: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов,

раскрытие неопределенностей.

1.

Цель работы: формирование умений и навыков при вычислении пределов

с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей.

2.

Пояснение к работе

Краткие теоретические сведения

I – первый замечательный предел

II – ой замечательный предел

При решении примеров полезно иметь ввиду следующие равенства:

3.

Задания

Найти пределы

I в.

а)

д)

б)

е)

в)

ж)

г)

II в.

а)

д)

б)

е)

в)

ж)

г)

4.

Контрольные вопросы

1)

Что называется пределом функции в точке?

2)

Записать первый замечательный предел.

3)

Записать второй замечательный предел.

5.

Литература

11

1)

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, Высшая

школа, 2001

2)

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», - М, 2003.

3)

Данко П.Е. , Попов А. Г. , Кожевникова Т. Я. «Высшая математика в

упражнениях и задачах».

Практическая работа № 5

Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва.

1. Цель работы: формирование умений и навыков при вычислении

односторонних пределов и классификации точек разрыва.

2. Пояснение к работе

Краткие теоретические сведения:

Если функция y=f(x) при x=a имеет разрыв, то для выяснения какого он

рода находим пределы функции при

слева и справа.

Разрыв I рода - если пределы

и

в точке А конечны и не

равны;

Разрыв II рода - если хотя бы один из пределов

и

не

существует или бесконечен.

1.

Задание

3.1

Найдите точки разрыва функции, и определить их род:

I в.

II в.

а)

г)

а)

в)

б)

д)

б)

г)

в)

д)

2.

Контрольные вопросы

1)

Что называется точкой разрыва I рода?

2)

Что называют точкой разрыва II рода?

3.

Литература

1)

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», - Высшая школа,

12

2)

Шипачев В. С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа,

2000.

Практическая работа № 6

Тема :Вычисление производных сложных функций.

1.

Цель работы: формирование умений и навыков при вычислении

производных сложных функций.

2.

Пояснение к работе

Краткие теоретические сведения:

Теорема. Если функция

имеет производную в точке t

0

, то имеет

место следующая формула:

Формулы дифференцирования:

3.

Задание

Вычислите производные

I в.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

II в.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

4.

Контрольные вопросы

1)

Что называется производной сложной функции?

2)

Сформулировать основные правила дифферицирования?

13

5.

Литература

1)

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, Высшая

школа, 2001

2)

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», - М, 2003.

Практическая работа № 7

Тема: Производные и дифференциалы высших пределов. Правило Лопиталя.

1.

Цель работы: формирование умений навыков при вычислении

производных и дифференциалов высших порядков.

2.

Пояснение к работе

Краткие теоретические сведения

Производная от производной некоторой функции называется производной

второго порядка (или второй производной). Производная от второй

производной называется производной третьего порядка (или третьей

производной) и т. д. Производные, начиная со второй, называется

производные высшего порядка и обозначаются так:

3.

Задания

3.1. Найти производные второго порядка от следующих функций:

I в.

a)

b)

c)

II в.

a)

b)

c)

3.2. Найдите производные третьего порядка от следующих функций:

I в.

a)

b)

II в.

a)

б)

3.3. Найдите дифференциалы первого порядка функций:

I в.

a)

b)

II в.

a)

b)

3.4. Найти дифференциалы второго порядка:

I в.

a)

II в.

а)

3.5. Используя правило Лопиталя, найти следующие пределы:

I в.

II в.

14

а)

б)

в)

a)

b)

c)

4.

Контрольные вопросы

1)Что называется производной высшего порядка?

2)Что называется дифференциалом высшего порядка?

3)Сформулируйте правило Лопиталя.

5.

Литература

1)

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, Высшая

школа, 2001

2)

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», - М, 2003.

Практическая работа № 8

Тема: Полное исследование функции. Построение графиков.

1.

Цель работы: формирование знаний и навыков при исследовании

функции.

2.

Пояснение к работе

Краткие теоретические сведения:

Общая схема построения графиков функции



Найти область определения функции



Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или

периодической



Найти точки пересечения графика с осями координат (если это

не вызывает затруднений)



Найти асимптоты графика функции



Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы



Найти промежутки выпуклости графика функции и точки

перегиба



Построить график, используя полученные результаты

исследования.

3.

Задание

Использовать следующие функции и построить их графики.

I в.

а)

б)

II в.

а)

б)

15

4.

Контрольные вопросы

1)

Какова общая схема построения графиков функции?

2)

Как найти асимптоты графика функции?

3)

Как найти интервалы монотонности, точки экстремума функции?

4)

Как найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика

функции?

5.

Литература

1)

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, Высшая

школа, 2001

2)

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», - М, 2003.

Практическая работа № 9

Тема: Интегрирование заменой переменной и по частям в

неопределенном интеграле.

1. Цель работы: формирование умений и навыков при интегрировании

заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле.

2. Пояснение к работе.

Краткие теоретические сведения

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом

подстановки) заключается в преобразовании интеграла

в интеграл

, который легко вычисляется по какой – либо из основных формул

интегрирования

После того, как интеграл, относительно новой переменной и будет

найден с помощью подстановки

он приводиться к переменной Х.

Интегрирование по частям

Интегрируя обе части равенства

, получим

, откуда

.

3. Задание

3.1. Найти следующие интегралы методом замены переменной

I в.

a)

b)

c)

d)

II в.

a)

b)

c)

d)

e)

16

e)

3.2. Найти следующие интегралы по частям

I в.

a)

b)

c)

d)

II в.

a)

b)

c)

d)

4. Контрольные вопросы

1)

Записать формулу интегрирования по частям в неопределенном

интеграле.

2)

В чем суть интегрирования заменой переменной в неопределенном

интеграле?

5. Литература

1)

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, Высшая

школа, 2001

2)

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», - М, 2003.

Практическая работа № 10

Тема: Вычисление определенных интегралов.

1.

Цель работы: формирование умений и навыков при вычислении

определенных интегралов.

2.

Пояснение к работе

Краткие теоретические сведения

Формула Ньютона – Лейбница

Свойства определенного интеграла:

1)

2)

3)

где

4)

17

5)

Замена переменной в определенном интеграле

Пример: подстановка

дает

Интегрирование по частям

3.

Задание

3.1 Применяя формулу Ньютона – Лейбница вычислите определенные

интегралы

I в.

а)

б)

II в.

а)

б)

3.2 Вычислите определенный интеграл методом подстановки

I в.

а)

б)

II в. а)

б)

3.3 Вычислить определенные интегралы, используя формулу интегрирования

по частям

I в.

а)

б)

II в.

а)

б)

4.

Контрольные вопросы

1)

Что называется определенным интегралом?

2)

Что называется формулой Ньютона – Лейбница?

3)

В чем суть вычисления определенного интеграла методом замены

переменной?

4)

Записать формулу интегрирования определенного интеграла по частям.

18

5.

Литература

1)

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, Высшая

школа, 2001.

2)

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», - М, 2003.

3)

Данко П. Е. , Попов А. Г. , Кожевникова Т. Я. «Высшая математика в

упражнениях и задачах» I часть.

Практическая работа №11

Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла.

1.

Цель задания: формирование знаний и навыков при вычислении

площадей фигур с помощью определенного интеграла.

2.

Пояснение к работе

Краткие теоретические сведения.

Если интегрируемая на отрезке

функция f(x) неотрицательная, то

определенный интеграл

числено, равен площади S криволинейной

трапеции aABb, ограниченной графиком функции

, осью абсцисс и

прямыми

и

, т. е.

. В этом заключается геометрический

смысл определенного интеграла.

y

В

А

x

а b

3.

Задание

I в.

3.1. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной параболой

,

осью ох и прямыми х=1, х=4.

3.2.

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной полукубической

параболой

и прямой

3.3. Переходя к полярным координатам, вычислите площадь круга,

ограниченного окружностью

II в.

3.1. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

.

3.2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

и

3.3Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной первым вектором

спирали Архимеда

и полярной осью.

19

4.

Контрольные вопросы

1)

В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

2)

Что называется криволинейной трапецией?

3)

Как вычислить площадь криволинейной трапеции для f(x)>0, для

f(x)<0?

5.

Литература

1)

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, Высшая

школа, 2001.

2)

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», - М, 2003.

Практическая работа № 12

Тема: Вычисление частных производных и дифференциалов функций

нескольких переменных.

1.

Цель работы: формирование умений и навыков при вычислении

частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных.

2.

Пояснение к работе

Краткие теоретические сведения:

Частной производной функции нескольких переменных по какой – нибудь

переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по

этой переменной, считая другие переменные фиксированными

(постоянными).

Обозначение частных производных

Формула производной сложной функции

3.

Задание

3.1 Найдите частные производные первого порядка от следующих функций

I в.

II в.

20

3.2 Для функции U найдите

и

в указанной точке

I в.

II в.

3.3 Найдите полный дифференциал первого порядка от функций

I в.

II в.

3.4 Найдите дифференциалы второго порядка для следующих функций

I в.

II в.

4.

Контрольные вопросы

1)

Что называется частной производной функции нескольких переменных

первого порядка?

2)

Что называется дифференциалом функции нескольких переменных?

5.

Литература

1) Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, Высшая

школа, 2001.

2) Данко П. Е. , Попов А. Г. , Кожевникова Т. Я. «Высшая математика в

упражнениях и задачах» I часть.

Практическая работа № 13

Тема: Решение дифференциальных уравнений 1 – го порядка с

разделяющимися переменными. Решение однородных дифференциальных

уравнений 1 – го порядка.

1.

Цель работы: формирование умений и навыков при решении

дифференциальных уравнений 1 – го порядка.

2.

Пояснение к работе

Краткие теоретические сведения

Дифференциальным уравнением называют соотношение связывающее

независимую переменную х, искомую функцию

и ее производные.

- дифференциальное уравнение с разделяющимися

переменными

21

- однородное дифференциальное уравнение 1 – го

порядка

- линейное дифференциальное уравнение 1 – го порядка.

3.

Задание

3.1 Решите уравнения

I в.

а)

б)

в)

II в.

а)

б)

в)

3.2 Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным

начальным условиям.

I в.

а)

y=1, при х=2

II в.

а)

y=0 при х=0

4. Контрольные вопросы

1)

Что называется дифференциальным уравнением?

2)

Что называется общим и частным решениями дифференциального

уравнения?

3)

Какое уравнение называется дифференциальным уравнением с

разделяющимися переменными?

4)

Какое уравнение называется однородным дифференциальным уравнением

1 – го порядка?

5)

Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением 1

– го порядка?

5)

Литература

1)

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, Высшая

школа, 2001.

2)

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», - М, 2003.

3)

Данко П. Е., Попов Н. Г., Кожевникова Т. Я. «Высшая математика в

упражнениях и задачах» 1 ч.

Практическая работа № 14

Тема: Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2 – го

порядка с постоянными коэффициентами.

1.

Цель работы: формирование умений и навыков при решении

дифференциальных уравнений 2 – го порядка.

2.

Пояснение к работе

Краткие теоретические сведения

Уравнение, содержащее производные (или дифференциалы) не выше

второго порядка, называется дифференциальным уравнением 2 – го порядка.

22

Линейным однородным дифференциальным уравнением 2 – го порядка с

постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

3.

Задание

I в.

3.1 Найдите частные решения

дифференциальных решений.

а)

s=5 и

при t=2

б)

y=5 и

при

х=0

в)

y=2 и

при

х=0

г)

y=1 и

при х=0

II в.

3.1 Найдите частные решения

дифференциальных уравнений

а)

s=12 и

при t=-2

б)

y=3 и

при

х=0

в)

y=3 и

при

х=0

г)

y=1 и

при х=

4.

Контрольные вопросы

1)

Что называется линейным однородным дифференциальным уравнением

2 – го порядка с постоянными коэффициентами?

2)

Записать три случая решения характеристического уравнения линейного,

однородного дифференциального уравнения 2 – го порядка с

постоянными коэффициентами.

5.

Литература

1)

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, Высшая

школа, 2001

2)

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», - М, 2003.

Практическая работа № 15

Тема: Решений линейных, неоднородных дифференциальных уравнений 2 –

го порядка с постоянными коэффициентами.

1.

Цель работы: формирование умений и навыков при решении

линейных, неоднородных дифференциальных уравнений 2 – го порядка с

постоянными коэффициентами.

2.

Пояснений к работе

Краткие теоретические сведения

23

- линейное неоднородное уравнение 2 – го порядка с

постоянными коэффициентами

p,q – постоянные действительные числа

f(x) – известная непрерывная функция в интервале (а;b)

Если

а)

- частное решение

б)

- частное решение

в)

- частное решение

3.

Задание

3.1 Решить дифференциальные уравнения.

I в.

а)

б)

в)

г) Найти частное решение

дифференциального уравнения

если y=0,

, x=0

II в.

а)

б)

в)

г) Найти частное решение

дифференциального уравнения

если y=0,

при х=0

4.

Контрольные вопросы

1)

Что называется линейным, неоднородным дифференциальным

уравнением 2 – го порядка с постоянными коэффициентами?

5.

Литература

1) Баврин И. И. Высшая математика: Учебник, - М.: Академия, Высшая

школа, 2001

2)

Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике», - М, 2003.

24