тезисы

Решение задач при помощи неравенств.

Задачи, связанные с неравенствами бывают двух видов: задачи на сравнение

двух выражений; задачи, которые решаются с помощью неравенств, систем

неравенств, систем неравенств и уравнений. Предлагаемые примеры задач

собраны из разных источников и предназначены для школьников и

педагогов, любящих решать задачи вообще и для использования на уроках и

факультативных занятиях.

Введение.

Задачи на составление уравнений и неравенств занимают важное место в

школьном курсе математики. Решение их способствует развитию

логического мышления, сообразительности и наблюдательности, развивает

умение самостоятельно осуществлять небольшие исследования. Задачи,

связанные с неравенствами бывают двух видов:

- задачи на сравнение двух выражений;

- задачи, которые решаются с помощью неравенств, систем неравенств,

систем неравенств и уравнений.

Эти задачи необходимо начинать решать уже в восьмом классе.

Предлагаемые примеры задач собраны из разных источников и

предназначены для школьников и педагогов, любящих решать задачи вообще

и для использования на уроках и факультативных занятиях.

Задачи с решением.

Задача 1. Самолет пролетел путь от А до В по ветру и путь от В до А против

ветра, причем скорость ветра не менялась. В другой раз самолет совершил

рейс по тому же маршруту в безветренную погоду. В обоих случаях моторы

самолета развивали одинаковую мощность. В каком случае на весь полет

ушло меньше времени?

Решение:

Пусть V

C

– собственная скорость самолета

V

B

– скорость ветра

S – расстояние от А до В,

тогда

C

V

S

t

2

1



- время, затраченное самолетом на путь от А до В и обратно в

безветренную

погоду.

B

C

B

C

V

V

S

V

V

S

t









2

- время, затраченное самолетом на тот же путь в

ветреную погоду.

Так как нужно указать, в каком случае затрачено меньше времени, то

сравним t

1

и t

2

.

Для этого составим разность:







































B

C

B

C

C

B

C

C

B

C

C

B

C

B

C

B

C

C

V

V

V

V

V

V

SV

SV

V

SV

SV

SV

SV

V

V

S

V

V

S

V

S

t

t

2

2

2

2

2

1

2

2

2









B

C

B

C

C

B

V

V

V

V

V

SV









2

2

< 0

Поэтому меньше времени ушло в безветренную погоду.

Ответ: В безветренную погоду.

Задача 2.

Два туриста вышли из пункта А в пункт В. Первый турист половину

затраченного времени от начала движения шел со скоростью V

1

, затем со

скоростью V

2.

Второй же турист первую половину пути шел со скоростью

V

1

, а вторую половину со скоростью V

2

. Кто из них затратил меньше времени

на прохождение пути от А до В?

Решение:

Пусть t - время, затраченное первым туристом на весь путь.

Тогда расстояние от А до В равно





2

1

2

1

2

2

2

V

V

t

t

V

t

V











Найдем время, затраченное вторым туристом









t

V

V

V

V

t

V

V

V

V

V

V

t

V

V

V

t

V

V

V

t



























































1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

4

4

2

2

1

2

2

1

т.к.

2

1

2

2

1





V

V

V

V

Первый турист затратил времени меньше.

Равенство достигается при V

1

= V

2

Ответ: Первый турист затратил времени меньше.

Задача 3.

Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны

вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 часа. На какое

расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а

скорость в стоячей воде 18 км/ч?

Решение:

Пусть туристы могут отъехать на Х км, тогда















16

20

õ

õ

ч. затрачено на всю поездку

По условию задачи

3

16

20





х

х

4х + 5х



240

9х



240

х



26

3

2

Туристы могут отплыть не более чем на 26

3

2

км.

Ответ: Не больше чем на 26

3

2

км.

Задача 4.

На соревнованиях каждый стрелок делал 10 выстрелов. За каждое попадание

он получал 5 очков, за каждый промах с него снимали одно очко. Успешным

считалось выступление, при котором стрелок получал не менее 30 очков.

Сколько раз стрелок должен попасть в мишень, чтобы его выступление было

сочтено успешным?

Решение:

Пусть Х раз стрелок попал в мишень, тогда 5х очков он получил. (10 – х) раз

стрелок промахнулся, (10 – х) очков было снято. Т.к. успешным считалось

выступление, если стрелок получил не менее 30 очков то, 5х – (10 – х)



30

х



6

3

2

Число попаданий может быть только натуральным и не более 10, значит,

стрелок может попасть 7,8,9,10 раз, тогда его выступление будет успешным.

Ответ: 7,8,9 или 10 раз.

Задача 5.

Со склада вывозят железные болванки массой по 500 кг и медные массой 200

кг. На грузовик, который может везти не более 4 тонн, погрузили 12

болванок. Сколько среди них может быть железных болванок?

Решение:

Пусть х железных болванок погрузили на грузовик, их масса 500х кг.

Тогда (12 – х ) медных болванок, их масса 200(12 – х ) кг.

Масса всего груза (500х + 200( 12 – х ) кг.

Так как грузовик может взять не более 4 тонн,

то 500х + 200(12 – х )



4000

х



5

3

1

Количество болванок число натуральное, значит, железных болванок можно

взять 1,2,3,4,5.

Ответ: Не более 5 болванок.

Задача 6.

Турист на байдарке проплыл по течению реки 6 км, тут же повернул обратно

и проплыл против течения реки 4 км. С какой собственной скоростью должен

плыть турист, чтобы на все путешествие затратить не более часа, если

скорость реки равна 2 км/ч?

Решение:

Пусть х км/ч собственная скорость байдарки.

Тогда на все путешествие турист затратил



















2

4

2

6

õ

õ

ч.

По условию задачи

1

2

4

2

6









õ

õ

х ( х – 10 )



0

х



0

х



10

Условие х



0 не удовлетворяет условию задачи.

Значит, турист должен плыть со скоростью не менее 10 км/ч, чтобы

на все путешествие затратить не более часа.

Ответ: Не менее 10 км/ч

Задача 7.

Около дома посажены липы и березы, причем общее их количество более 14.

если увеличить вдвое количество лип, а количество берез на 18, то берез

станет больше. Если увеличить вдвое количество берез, не меняя количество

лип, то лип все равно будет больше. Сколько лип и сколько берез было

посажено?

Решение:

Пусть х – число берез, у – число лип.

По условию задачи можно составить систему неравенств.

х + у >14,

2у< х +18,

2у< у.

Складывая второе и третье неравенства, получаем х + у<18.

Учитывая первое неравенство, возможны три случая

х + у = 15, х + у = 16 и х + у = 17.

Рассмотрим их:

1) х + у = 15

у =15 – х

2(15-х) < х+18, х > 4 , 4< х <5

2х < 15 - х х < 5

учитывая, что Х – натуральное число, то этот случай не имеет места.

2) х + у = 16

у = 16 – х

2(16 - х) < х + 18 , х >

3

14

,

2х < 16 - х х <

3

16

4

3

2

< х <5

3

1

х = 5 удовлетворяет этой системе, у = 16 – 5 = 11

3) х + у = 17

у = 17 – х

2(17 - х) < х +18 , х >

3

16

,

2х < 17 - х х <

3

17

5

3

1

< х <5

3

2

Здесь, как и в первом случае, натуральных Х, удовлетворяющих системе

неравенств, нет. Таким образом, возможен лишь один случай, когда х = 5,

у = 11.

Ответ: 11 лип, 5 берез.

Задача 8.

Группа студентов решила купить цветок ценой от 170 до 195 рублей. Однако

в последний момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому

каждому из оставшихся пришлось внести на 1 руб. больше. Сколько стоил

цветок?

Решение:

Пусть Х руб. – первоначальный взнос каждого студента, У – число

студентов в группе. По условию задачи 170 <

y

x



<195 и

y

x



= (х + 1)(у – 2)

Из уравнения получаем

2

2





y

х

, тогда

170 <





2

2



y

y

< 195

170 <





2

2



y

y





2

2



y

y

< 195 , 1 +

341

< у < 1 +

391

т.к. у – натуральное число, то у

1

= 19 или у

2

= 20. Тогда х

1

= 8,5 х

2

= 9

Все условия задачи выполняются лишь при у = 20, х = 9.

Ответ: 180 рублей.

Задача 9.

Лодка спускается по течению реки на расстояние 10 км, а затем поднимается

против течения на расстояние 6 км. Скорость течения реки равна 1 км/ч. В

каких пределах должна быть собственная скорость лодки, чтобы вся поездка

заняла от 3 до 4 часов.

Решение:

Пусть Х км/ч – собственная скорость лодки. Тогда время движения лодки –

1

6

1

10













õ

õ

ч.

По условию задачи составим систему неравенств

3

1

6

1

10









õ

õ

, - 3х

2

+ 16х – 1



0,

4

1

6

1

10









õ

õ

0

4

2





õ

õ

3

61

8

4







õ

Ответ: [4;

3

61

8



]

Задача 10.

Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по

20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист,

то по крайней мере один лист окажется пустым. Если школьнику подарить

такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у

него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?

Решение: пусть в альбоме Х листов, а у школьника имеется У марок,

тогда по условию задачи уравнение и неравенства составляются

следующим образом:

20х < у, у = 500 – 21х ,

23 ( х – 1 )



у 20х < 500 – 21х

21х + у = 500 23(х – 1)



500 – 21х

Учитывая, что Х целое число получаем Х=12. Значит, в альбоме 12 листов.

Ответ: 12 листов.

Задача 11.

Пункты А и В расположены на одной реке так, что плот, плывущий из А в В

со скоростью течения реки, проходит от А до В за 24 часа. Весь путь от А до

В и обратно катер проходит не менее чем за 10 часов. Если бы собственная

скорость катера увеличилась на 40%, то тот же путь (от А до В и обратно)

занял бы у катера не более 7 часов. Найдите время, за которое катер

проходит путь от В в А, когда его собственная скорость не увеличена.

Решение:

Пусть S – расстояние между А и В. U – собственная скорость катера.

V– скорость течения реки. По условию задачи имеем:

24



V

S

10









V

U

S

V

U

S

нужно найти

V

U

S



7

4

,

1

4

,

1









V

U

S

V

U

S

Обозначим

x

V

U



(по замыслу задачи х > 1) и преобразуем неравенства.

24



V

S

,

24



V

S

,

10

1

1

1

1





















x

x

V

S

5х

2

– 24х – 5



0

7

1

4

,

1

1

1

4

,

1

1





















x

x

V

S

. 1,96х

2

– 9,6х – 1



0 .

Решая систему находим х = 5

6

1

5

1

24

1

1

















x

V

S

V

U

S

Катер проходит путь от В до А, когда его собственная скорость не увеличена

за 6 часов.

Ответ: 6 часов.

Задачи для самостоятельного решения с ответами.

Задача 1.

Расстояние между станциями А и В равно 360 км. В одно и то же время из А

и В навстречу друг другу выходят два поезда. Поезд, отправившийся из А,

прибывает на станцию В не ранее чем через 5 часов. Если бы его скорость

была в 1,5 раза больше, чем на самом деле, то он встретил бы второй поезд

раньше, чем через два часа после своего выхода из А. Скорость какого поезда

больше?

Ответ: Скорость поезда, вышедшего из В, больше.

Задача 2.

Из пункта А в пункт С в 9 часов утра отправился скорый поезд. В это же

время из пункта В, расположенного между пунктами А и С, выходят два

пассажирских поезда, первый из которых следует в пункт А, а второй – в

пункт С. Причем, скорости пассажирских поездов равны. Скорый поезд

встречает первый пассажирский поезд не позже чем через 3 часа после его

отправления, потом приходит в пункт В не ранее 14 часов того же дня и,

наконец, прибывает в пункт С одновременно с первым пассажирским

поездом. Найти время прибытия в пункт А первого пассажирского поезда.

Ответ: 16 ч 30 мин.

Задача 3.

Из А в В по течению реки плывет плот. Одновременно с тем, когда плот

начал путь из А в В, из В в А навстречу ему поплыла лодка, которая

встречает плот не ранее чем через 2 ч и затем прибывает в А, затратив на весь

путь менее 3 ч 20 мин. Успеет ли плот преодолеть путь из А в В за 5 ч, если

расстояние между А и В равно 20 км?

Ответ: Не успеет.

Задача 4.

Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем

девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных

домов увеличить вдвое, то общее число домов станет более 24, а если

увеличить вдвое число пятиэтажных домов, то общее число домов станет

менее 27. сколько построено пятиэтажных домов и сколько девятиэтажных?

Ответ: 9 пятиэтажных и 8 девятиэтажных.

Задача 5.

Пункты А и В расположены на одной реке так, что плот, плывущий из А в В

со скоростью течения реки, проходит путь от А до В за 24 часа. Весь путь от

А до В и обратно моторная лодка проходит не менее чем за 10 ч. если бы

собственная скорость моторной лодки увеличилась на 40% , то тот же путь

(т.е. путь от А до В и обратно) занял бы у лодки не более 7 ч. Найти время, за

которое моторная лодка проходит путь от А до В в случае, когда ее

собственная скорость не увеличена.

Ответ: за 4 ч.

Задача 6.

В 9 ч утра из пункта А выезжает велосипедист, который едет до пункта В.

Через 2 ч после выезда велосипедиста из А в В выезжает автомобилист,

который догоняет велосипедиста не позже 12 ч дня. Продолжая движение,

автомобилист прибывает в пункт В, мгновенно поворачивает и едет из В в А.

На этом пути автомобилист встречает велосипедиста и потом прибывает в

пункт А в 17 ч того же дня. Найти время прибытия велосипедиста в пункт

В , если известно, что между двумя встречами велосипедиста и

автомобилиста прошло не более 3ч.

Ответ: 18 ч.

Задача 7.

От пристани А вниз по реке, скорость течения которой равна V км/ч, отходит

плот. Через час вслед за ним выходит катер, скорость которого в стоячей

воде равна 10 км/ч. догнав плот, катер возвращается обратно. Определить все

те значения V ,при которых к моменту возвращения катера в А плот

проходит более 15 км.

Ответ: 5 < V< 10

Задача 8.

Расстояние между А и В равно7 км. Два пешехода одновременно вышли

навстречу друг другу и встретились раньше чем через 1 час, если бы первый

шел вдвое быстрее, чем он шел на самом деле, а скорость движения второго

была бы на 2 км/ч больше его фактической скорости, то к моменту встречи

второй прошел бы большую часть пути. Скорость какого пешехода больше?

Ответ: Скорость второго пешехода больше.

Задача 9.

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 120 км, одновременно друг

другу навстречу выезжают два велосипедиста и встречаются позже, чем

через 5 ч после выезда. На следующий день они выезжают навстречу

одновременно в одну и ту же сторону из пунктов С и D, расстояние между

которыми 36 км, причем велосипедист, едущий впереди, движется со

скоростью, на 6 км/ч больше, чем накануне, а велосипедист, едущий сзади,

движется с той же скоростью, что и накануне. Хватит ли второму

велосипедисту двух часов, чтобы догнать первого?

Ответ: Не хватит.

Задача 10.

Из города А в город В, находящийся на расстоянии 105 км от А, с

постоянной скоростью V км/ч выходит автобус. Через 30 мин вслед за ним из

А со скоростью 40 км/ч выезжает автомобиль, который, догнав в пути

автобус, поворачивает обратно и движется с прежней скоростью. Определить

все те значения V , при которых автомобиль возвращается в город А позже,

чем автобус приходит в город В.

Ответ: 30 < V≤ 33,6

Литература:

Виленкин Н.Я. Алгебра 8. Учебное пособие для учащихся школ и классов с

углубленным изучением математики. М ., Просвещение, 2010г.

Галицкий М.Л. сборник задач по алгебре для 8-9 классов. М., Просвещение,

2016г.

Дыбов П.Т., Забоев А.И. Сборник задач по математике для поступающих в

вузы. М., Высшая школа, 1983.

Лурье М.В., Александров Б.И. задачи на составление уравнений. М., Наука,

1990 г.

Содержание:

1.Введение.

2.Задачи с решением.

3.Задачи для самостоятельного решения с ответами.

4.Список литературы