Открытый урок алгебре в 9 классе

на тему:

« Определение арифметической

прогрессии. Формула n-го члена

арифметической прогрессии.
Применение изучаемой темы к решению задач в формате ОГЭ»
Мозговая Евгения Петровна

МБОУ ООШ ст.Ново-Осетинской

Тип урока: урок изучения нового материала Оборудование: - компьютер, интерактивная доска, проектор; - презентация; - распечатки с текстами задач. Цели урока: образовательные: - выявить степень сформированности знаний и умений учащихся по теме «Последовательности» на уровне применения (задание последовательности; перечисление членов последовательности; использование формулы n-го члена и рекуррентной формулы для нахождения любого члена последовательности ); - познакомить учащихся с понятием «арифметическая прогрессия», со свойствами арифметической прогрессии, способами задания арифметической прогрессии; вместе с учащимися вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии; - формирование умений учащихся по изучаемой теме на уровне знания и понимания (уметь ответить на вопрос: какая последовательность называется арифметической прогрессией, приводить примеры, уметь находить члены прогрессии); развивающие: развитие познавательного интереса, умений собраться на уроке, организоваться для восприятия, понимания и ответа, формирования логического мышления; воспитывающие: воспитание настойчивости, воли, характера учащихся для достижения конечного результата, терпеливой работы, выдерживания временного бюджета, а значит, научить работать быстро; формирование культуры речи, умений давать полные, математически грамотные ответы. Методы и приёмы преподавания: - фронтальная беседа; - сообщение; - тестирование; - экспресс-опрос; - упражнения - демонстрация; - математический диктант.

Организационная структура урока

Этапы

проведения

урока

Задания для учащихся, выполнение которых приведёт

к достижению запланированных результатов, цель,

результативность.

Форма

организации

учебных

действий

УУД
Организаци онный этап. Нацеливани е учащихся – мотивация Слайд 2 Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучены космос и море, Строенье звезд и вся Земля, Но математиков зовет Известный лозунг: «Прогрессио – движение вперед» Вступительное слово учителя: Эта история произошла давным-давно. В древнем городе жили добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошел он на луг, поймал бабочку, сжал ее между сомкнутых ладоней и подумал: "Спрошу-ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка - живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою ладони - бабочка улетит, а если скажет - живая, я сомкну ладони, и бабочка умрет". Так завистник и сделал: поймал бабочку, посадил ее между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: "Какая у меня бабочка - живая или мертвая?" Но мудрец ответил: " Все в твоих руках:" Бывают моменты в жизни, когда руки опускаются и кажется, что ничего не получится. Тогда вспомните слова мудреца "Все в твоих руках:" и пусть эти слова будут девизом нашего урока. -- Вы перешли к изучению одной из интересных тем алгебры 9 класса – «Числовые последовательности». Наше познание курса алгебры можно сравнить с походом в горы и сегодня мы с вами преодолеем ещё одну математическую вершину, а какую вы узнаете позже. А теперь давайте проверим, готовы ли вы к восхождению. Учащимся выдан лист рефлексии, они заполняют Ф. И.
Личностные:
формирование мотивации, развитие познавательного интереса
Актуализаци я опорных знаний.Теор етический опрос Ребята, предыдущие два урока алгебры были посвящены теме «Последовательности».
Слайд-4
1.Что называется числовой последовательностью? 2. Приведите примеры числовых последовательностей. 3. Каким способом можно задать последовательность? 4. Какие члены последовательности (bn) расположены между B 134 и b 142 , bn -1 и bn + 2, bn +3 и bn +6 ? 5. Последовательность задана формулой : a n = 3n – 3. Найдите: α ₅ , α ₁₀ , αk .(Ответы: 12,27, 3k-3) 6. с ₁ = - 10, сn+1 = сn + 10. Найдите : с ₂ , с ₃ , с ₄ . (ответы 0,10,20) Вспоминаю т прошлый урок и отвечают (фронтальн ая работа)
коммуникативн

ые
работа с информацией. Развивать умение грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи. Устная работа. Создание проблемной ситуации, постановка темы и целей урока. Слайд-5 На доске записаны последовательности: а) 4; 8; 12; … 16,20,24 г) 1; 2; 3; 4; …5,6,7,8 б) - 13; - 15; - 17; - 19; …-21,-23,-25 д) 2; 4; 6; 8; …10,12,14 в) - 2; -4; - 8; -16; …-32,-64,-128 Продолжите их. Какие последовательности образованы с помощью одного и того же правила? (а,б,г,д) Определение:Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
Слайд 6
Как проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией? Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и тоже число, то данная последовательность является арифметической прогрессией Учащиеся выполняют решение предложен ных заданий. (Учащиеся пытаются сформулир овать определени я самостоят ельно)
Личностные:
творчество Осуществлять анализ, синтез, проводить сравнение и классификацию по заданным критериям.
Что же нам нужно для упрощения и рационализации этой работы? Итак:О чем пойдет речь сегодня на уроке? Какие цели мы должны поставить и реализовать на уроке?
Слайд 7

«

О п р е д е л е н и е

а р и ф м е т и ч е с к о й

п р о г р е с с и и .

Ф о рм у л а n- г о

ч л е н а

арифметической

прогрессии.Применение

изучаемой темы

к

решению

задач

в

формате ЕГЭ».
• И наша цель сегодня на уроке: используя определение арифметической прогрессии, находить любой член прогрессии , разность , порядковые номера членов арифметической прогрессии и свойство арифметической прогрессии, подготовиться к ЕГЭ в ходе решения задач,активировать умственную д е я т е л ь н о с т ь у ч е н и ко в , р а з в и в а т ь критическое мышление, учить оценивать свои знания. •
Результативность:
формирование познавательной компетентности. • А сейчас мы снова сформулируем определение, которое у нас получилось и запишем её в виде рекуррентной формулы:
•

Слайд 8 Это наша формула –по

определению
a n+1 = α n + d, d – некоторое число Выразим d , получим формулу d = α n+1 – α n , верную при любом значении n, она выражает разность арифметической прогрессии, обозначенная d. Т.Е. если у нас известно а 1 и d , то легко определить любой член прогрессии по схеме: а 1 (+d) , а 2 (+d) , а 3 (+d) , а 4 (+d) , а 5 (+d) ……… а n-1 (+d),а n (+d),а n-2 (+d) …… • Все формулиру ют тему и цели урока. Записываю т тему урока в тетрадях.
Личностные:
формирование мотивации, развитие познавательного интереса.
Первичное закрепление нового материала
Слайд 9

Решить устно:
1.Назовите первые пять членов арифметической прогрессии: Разбить на три группы по рядам: 1 вариант а) α ₁ = 5, d = 4; Ответы: а ₁ =5, а ₂ = 9, а ₃ = 15, а ₄ =19, а ₅ =23 2 вариант. б) α ₁ = 5, d = - 2 Ответы: а ₁ =5, а ₂ = 3, а ₃ =1 , а ₄ =-1, а ₅ =-3. 3 вариант в) α ₁ = 5, d = 0. Ответы: а ₁ =5, а ₂ = 5, а ₃ = 5, а ₄ =5, а ₅ =5
Слайд 10
Самостоятельная работа №2- ответы занести в бланк. Дано: (аn)- арифметическая прогрессия. 1 вариант а) а ₁ = 2, а ₂ = 6. Найти: d . Ответ: d = 4 2 вариант б) а ₃ = 8, а ₄ = 5. Найти: d . Ответ: d = -3 3 вариант в) а ₇ = 12, а ₈ = -2. Найти: d . Ответ: d = -14 Работа в группах
Регулятивные
: целеполагание, действия по образцу
коммуникативн

ые
р а б о т а с информацией, р а б о т а в к о л л е к т и в е , в группе мотивация !!! Если предложить вашему вниманию такую задачу : а ₁ = 4, d = 1/2, а найти надо а ₁ 0 , а 15, а 100. и т.д..
Очень неудобно
вычислять подряд 10 членов прогрессии, затем 15 членов и тем более 100-ый член арифметической прогрессии. Может, есть другой? Учащиеся предлагают свои решения и способы.
Личностные:
формирование мотивации,разви тие познавательного интереса Исследовате льская работа в группах по выводу формулы Сейчас вы попробуете самостоятельно вывести некую формулу для вычисления n- члена арифметической прогрессии.
Вывод формулы n-го члена

арифметической прогрессии

( вывод формулы провести на доске с

помощью учащимися, затем показать

Слайд -11 )
Коллективн ая совместная работа по выводу формулы.
Познавательны

е:
проведение анализа. Использовать знаково – символьные средства при решении учебных задач. (П)

Дано: (а

n

) – арифметическая прогрессия, a

1

-

первый член прогрессии, d – разность.

a

2

= a

1

+ d

a

3

= a

2

+ d =(a

1

+ d) + d = a

1

+2d

a

4

= a

3

+ d =(a

1

+2d) +d = a

1

+3d

a

5

= a

4

+ d =(a

1

+3d) +d = a

1

+4d

. . .

a

n

= a

1

+ (n-1)d
Записать в тетрадь формулу:
a

n

= a

1

+ d (n-1)
1-й ученик 2-й ученик 3-й ученик 4-й ученик Сравниваю т конечные результаты и делают вывод. Защита Каждая группа представляет свое доказательство у доски.Сравниваем с доказательством на слайде презентации.
Ура! Мы с вами сделали открытие!

Цель:
учить оперировать знаниями, развивать гибкость использования знаний, учить краткой рациональной записи, отрабатывать умение делать выводы и обобщения
Результативность:
формирование исследовательской, информационной, самообразовательной компетентностей Учащиеся оценивают предложен ное доказательс тво. Сравнить полученну ю формулу и формулу в учебнике. Каждый ученик записывает в тетрадь формулу.
Личностные:
развивать умение грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи.
Анализ:
открытие нового способа действий.
Слайд -12

Заметим , что эту формулу
можно записать иначе:
a

n

= a

1

+ d (n-1)

a

n

= a

1

+ dn-d

a

n

= dn+( a

1

-d),

обозначим d через k , а разность ( a

1

-d)

через b, получим:

a

n

=kn+b, где k и b некоторые числа
Таким образом, можно определить любой Учащиеся вместе с учителем выводят новые формулы.
Познавательны

е:
Освоение нового способа деятельности.
Создание проблемной ситуации, член арифметической прогрессии. Но, есть и другие задачи, когда нужно определить , является ли данное число ч л е н ом з а д а н н о й а р и ф м е т и ч е с ко й прогрессии: например :задача
из ОГЭ
-15. Содержит ли арифметическая прогрессия :
17; 13; 9 ; 5
число:
а)-7, б) -5
Решение: а 1 =17,
a

n

= a

1

+ d (n-1)

a

n

= a

1

+ d (n-1)
d= -4 17-4(n-1)= -7 17-4(n-1)= -5 а n =-7 -4n = -28 -4n = -26 n= 7 n= -26/5 п р и n=7 (натур.число), следует, что а 7 = -7. Другой ответ не подходит, т.к. индексом не может дробное число. Совместно ерешение задачи у доски. Применение способов действий (формул) к новым ситуациям Вторичное закрепление материала
Слайд -13

Самостоятельное решение с последующей

проверкой.(на

белой

доске

решают

два

ученика)
№ 575 (а, б),
Слайд -14

Комментированное решение с места
№ 576 (b 7 = b 1 +6d , …….. b 2k = b 1 +d(2k-1)
Решить у доски:
№ 577 ( а) с 5 = с 1 +4d = 20+4*3=32
Самостоятельная работа №3 –
ответы Индивидуа льное самостояте льное решение с последующ ей проверкой. Комментир ованное решение Работа у
Личностные:
Развитие креативных способностей
занести в бланк.
слайд -15
1.Дано: (аn)- арифметическая прогрессия, 1 Вариант а) а ₁ = 4, а ₃ = 6. Найти: а ₂ ответ: 5 2 Вариант б) а ₃ = -5, а ₅ = 5. Найти: а ₄ ответ: 0 3 Вариант в) а ₇ = 10, а ₉ = 6. Найти: а ₈ ответ: 8 доски. Индивидуа льная самостояте льная работа. Ответы заносятся в бланки- ответов. Физкультми нутка Выполнени е физкультм инутки Закрепление нового материала
Слайд -16

3.Закрепление.
№ 579 (а) ( решение у доски) a n = a 1 + d (n-1) № 591 (а) ( решение у доски) n=23
Задания встречающиеся на ОГЭ

Слайд -17(решение)

•

условие а

11

<-11
Учащиеся решают у доски (помощь учителя с затруднени ями)
Личностные:
развивать находчивость, активность при решении задач.

•

а

11

=-11+2*11 =11

•

а

11

=22-2*11=0

•

а

11

=11-2*11 =-11

•

а

11

=19-3*11=-14<-11 ответ

Контроль

и оценка
решение заданий повышенн ной сложности
Слайд -18

Прогрессии в жизни и быту.
Задача 1: При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен? П р о с т о й с п о с о б : 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=(1+12)+(2+ 11)+(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7)=13*6=78 (бревен) Учащиеся совещаютс я в группах и предлагают свое решение.
Личностные:
развивать креативность мышления, находчивость, активность при решении задач. Пропедевти ка Согласно легенде, маленький Карл Фридрих Гаусс, по праву называвшийся “королем математиков” (princepsmathematicorum) решил за несколько минут задачу: просуммировать все числа от 1 до 100. Ученики стали последовательно прибавлять одно число к другому, а Гаусс быстро увидел, что …? Это будет тема следующих наших уроков.
Слайд-19
После обсуждени я, учащиеся должны додуматься о рациональн ости вычислени я, если нет, то задание остается на дом. познавательные: осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения у ч е б н ы х и познавательных задач.Создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач. Итог урока.
Тест

по

теме

«

Арифметическая

прогрессия»
Учащиеся записываю т в бланки ответов (индивидуа льная Умение адекватно оцениватьсвои знания и воспринимать оценку учителя. (Р)
Рефлексия. Возвращаясь к эпиграфу нашего урока, я хочу узнать, действительно ли был прав мудрец "Все в твоих руках" ? - Что нового узнали на уроке? - Какова формула n-го члена арифметической прогрессии? Пользуясь данной формулой что мы можем найти? Трудным ли для вас было покорение новой математической вершины, я бы хотела узнать где вы находитесь - по-прежнему у подножия горы, на средине пути или на вершине, изобразите себя на заранее приготовленных листа. работа) и сдают учителю. Учащиеся заполняютт лист рефлексии. Домашнее задание. п.25 знать обе формулы определения n-члена арифметической прогрессии) № 575 (в.г) , № 577 ( б), № 579 (б, № 591 (б) . Повторение: № 600(а)
Слайд-21

Цель:
проверить усвоение материала урока, формировать умение подбирать примеры
Результативность:
формирование самообразовательной компетентности Возможно сть оценки достижени я планируем ых результатов .
Регулятивные:
контроль, коррекция, оценка. Формирование способности к самосовершенств ованию
Творческ

ий этап
применен ие способа к новым ситуациям Исследовате льская работа. Ребята получили задание: подготовить проектную работу «Арифметическая прогрессия вокруг нас» Слово предоставл яется Валиевой Алине и ВалиевойЛ иане с проектной работой.
Личностные
(творчество): умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, с п о с о б н о с т и к саморазвитию и самообразованию
Литература для учителя:

1. Брушлинский А. В. Психология мышления и проблемное обучение. — М.: “Знание”, 1983. — 96 с..С.В. Кульневич, Т.П. Лакоценина “ Современный урок, часть III. Проблемные уроки”; 2. М. И. Махмутов, И. Я. Лернер, М. Н. Скаткин, А.М.Матюшкин; “Теория проблемного обучения”; 3. С. Г. Манвелов “ Конструирование современного урока математики”; 4. И. Зильберберг “ Урок математики. Подготовка и проведение”
Литература для учащихся:
УМК: Ю.
Н
.Макарычев,
Н
.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова.
Приложение 2
Тест по теме « Арифметическая прогрессия» 1.Арифметичекая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член начиная со второго, равен предыдущему Выберите правильный ответ а) сложенному с одним и тем же числом б) умноженному на одно и то же число в) разделенному на одно и то же число г) возведенному в квадрат 2. Что бы найти разность арифметической прогрессии , надо: Выберите правильный ответ а) из первого члена вычесть второй б) второй член разделить на первый в) первый член умножить на второй г) из последующего члена вычесть предыдущий 3. Укажите формулу n – го члена арифметической прогрессии: а) a n = a 1 ∙ d (n-1) б) a n = a 1 + d (n-1) в) a n = a 1 : d (n-1) г) a n = d + a 1 (n-1) 4. Первый член арифметической прогрессии а ₁ ; а ₂ ; 4; 8;… равен а) 1 б) 12 в) -4 г) -1 5. Найдите разность арифметической прогрессии , если а ₃ = 4, а ₄ = 8
а) -4 б) 0,5 в) 6 г) 4 6. Найдите четвертый член арифметической прогрессии , если а ₁ = 10; d = - 0,1 а) 97 б) 9,7 в) -97 г) – 9,7
Приложение 3
Проверка теста: 1 правильный ответ -1 балл. 1.(а) 2.(г ) 3.(б) 4.(в) 5.(г) 6.(б)

Приложение 1
Лист рефлексии. Фамилия, имя учащегося
Презентация к уроку «
« Определение арифметической прогрессии. Формула

n-го члена арифметической прогрессии.
Применение изучаемой темы к решению задач в формате ОГЭ »