Тема: Площадь треугольника.
В школьном курсе изучают лишь несколько основных формул для нахождения площади треугольника. Эта тема очень актуальна, т.к. задачи на нахождения площади треугольника очень часто встречаются в материалах ЕГЭ.
Таблица формул № Данные элементы Формулы 1 a, b S = 2 a, h S = ah 3 B, c, sin A bc * sin A 4 p, r S = pr 5 R, a, b, c S = 6 a, b, c, p S = 7 R, sin A, sin B, sin C S = 2 8 S= * 9 a, ctg C, ctg B S = 10 a, cin A, sin B, sin C S = № Данные элементы Формулы 1 a, b 2 a, h 3 B, c, sin A 4 p, r 5 R, a, b, c 6 a, b, c, p 7 R, sin A, sin B, sin C 8 9 a, ctg C, ctg B 10 a, cin A, sin B, sin C
Формула Герона Рассмотрим треугольник ABC,в котором AB= c, BC=a, AC=b. Пусть A и B- острые углы тре- угольника. Введем обозначения: CH=h, AH=y, HB=x. По теореме Пифагора -==-,откуда -=-,или =-, а так как y + x = c, то y – x = (-). Складывая два последних равенства, получаем: 2y = + c, откуда y = , и, значит , =-=(b-y)(b+y) = = (b- ) (b+ )= * = = = Следовательно, h= . Но S = hc , откуда и получаем формулу Герона. Теорема доказана. 
A

a

b

B

C
h
H

y

x

c

2 способ доказательства формулы Герона. Выразим в треугольнике ABC косинуc угла A через стороны : Cos a= Из основного тригонометрического тождества найдем квадрат синуса угла A: a = 1-()= == == 
A

B

C
c a b
= = = Отсюда следует, что = = * * * Если обозначить полупериметр треугольника через p, то полученное равенство запишется в виде: = p(p-a)(p-b)(p-c). В результате приходим к известной формуле Герона для площади треугольника: S = . 
3 способ доказательства формулы Герона. Докажем, что для любых векторов и справедливо равенство = * - , где S – площадь параллелограмма построенного на векторах и Доказательство: Векторы и неколлинеарные. Построим параллелограмм OACB на этих векторах и пусть - площадь треугольника OAB. Тогда по теореме о площади треугольника получаем: = OA * OB sin A S = 2 = OA * OB sin A. = A = (* )-раскроем скобки = * - ) = (+ )  A O b B a c C A
Т.к. ,то получаем () = = = = =  B A b a c A O C
S = 2 Доказательство: = = = 2R Выразим a, b, c: a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C => S = = = sin A sin B sin C  R B A C
Задача №1 Найти площадь треугольника, если его медианы равны 9 см, 12 см и 15 см. Решение: Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC Треугольник ABC = треугольнику DCB => C= B(как медианы треугольников) – средняя линия треугольника ABC, поэтому AD = A Таким образом треугольник построен из медиан треугольника ABC. Найдем его площадь по формуле Герона: P = (12+5+9)=18 = = = = = 18*3 = 54 Пусть S- площадь ABC, тогда =2S = S (по свойству медиан) = S (аналогично)  B A C D
Треугольники C и CAD подобны. Их площади относятся как k = . = = = S Тогда = 2S - - = S => * = 54 * = 18*4 = 72 Ответ: S = 72  A D C B
Задача №2 1 способ Найти площадь треугольника со сторонами , Решение: Пусть AB = , AC = Попробуем решить эту задачу по формуле Герона: p = S = В итоге получится большое нерациональное число, считать которое очень долго и сложно.  C B A A
Задача №2 2 способ Найти площадь треугольника со сторонами , , Решение: Пусть AB = , BC =, AC = Вычислим косинус одного из углов по теореме косинусов: = - 2 AB*AC * cos A Cos A = Cos A = = Теперь вычислим синус этого угла По основному тригонометрическому тождеству получаем: Sin A = Sin A = 1= = Теперь найдем S треугольника по формуле S = AB * AC * sin A = * * = Ответ: S =  A B A C
Вывод: Почему я выбрала именно эту тему? Она помогла мне с большей точностью понять доказательства теорем, доказываемых в школе, узнать много новых формул и доказательств, которые не изучаются в школьной программе, изучить некоторые тригонометрические тождества, и, безусловно, это поможет мне в будущем при сдачи ЕГЭ.
Спасибо за внимание!