Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии,

а выявление его всеобщности.

В. И. Вернадский

1.

Введение

Многие люди обучались и обучаются геометрии только у классной доски и

поэтому не замечают знакомых геометрических отношений в окружающем нас мире

вещей и явлений, не пользуются приобретенными геометрическими знаниями на практике

и в жизни.

С симметрией мы встречаемся буквально на каждом шагу: в природе, технике,

искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю

человеческого творчества. Один из известных математиков XX века, Герман Вейль, писал,

что «симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков

пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство»

Тема «Симметрия» очень актуальна и интересна. В наше время, наверное, трудно

найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. Мир, в

котором мы живем, наполнен симметрией домов и улиц, гор и полей, архитектурных

зданий, творений природы и человека.

Цели данной работы:

выяснение существования связи между симметрией и

окружающим нас миром; проведение исследовательской работы по выявлению явлений

симметрии в математике, русском языке, архитектуре, ботанике, одежде, в быту.

Для достижения поставленных целей необходимо выполнить следующие задачи:

1.

Дать общее понятие о симметрии, о видах симметрии, симметрии в жизни.

2.

Выбрать объекты для исследования, выявить, симметричны ли они, найти оси и центры

симметрии.

3.

Продемонстрировать симметрию и асимметрию одежды.

4.

Провести эксперименты с зеркально симметричными объектами.

5.

Увеличить коэффициент полезности работы, сделать ее интересной, вовлечь учащихся в

ряды любителей математики.

Новизна

моего

исследования

заключается

в

следующем:

впервые

показана

целесообразность применения идей и принципов симметрии и асимметрии в теоретических

и экспериментальных исследованиях познавательных процессов учащихся.

Апробация

исследования: материалы данной работы обсуждались

на заседании

любителей

математики кружка «Царица наук»

Объект исследования – симметрия.

1

Гипотеза исследования: симметрия это - гармония и красота, равновесие, устойчивость.

Проблема: в школьном курсе геометрии в 8 классе отведено на изучение темы

«Симметрия» всего два урока, и потому мы имеем возможность изучить только осевую и

центральную симметрию.

Методы исследования:

1.

Анализ статей, посвящённых симметрии в жизни.

2.

Наблюдение.

3.

Социологический опрос.

4.

Эксперименты.

5.

Обобщение и систематизация полученных данных.

Практическая значимость:

написанная нами работа даст возможность применять

полученные знания при решении предметных задач на уроках, при изучении тем на

других предметах, при выполнении олимпиадных заданий, а также в повседневной

жизни.

2. Основная часть

2.1. История определения понятия симметрии.

По преданию, термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский,

живший в городе Регул. Отклонение от симметрии он определил термином «асимметрия».

О нем нам говорили как о первом скульпторе, в творчестве которого была сделана

попытка соблюсти ритм и соразмерность.

Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она

прекрасна. Считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, они делали

вывод о сферичности Земли и её движении по сфере вокруг некоего «центрального огня»,

где двигались также шесть известных тогда планет вместе с Луной, Солнцем, звёздами.

Древнегреческий философ и математик Пифагор Самосский предпочитал вместо

слова «симметрия» пользоваться словом «гармония». Кроме того, Пифагор прославился

реалистическим изображением человеческих жил, вен и волос.

Последователи Пифагора Самосского пытались связать симметрию с числом.

Каждой вещи, учили пифагорейцы, соответствует определённое отношение чисел,

которое они называли логосом. Поэтому познание вещей заключалось для них познанием

логоса. Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях.

Широко используя идею гармонии и симметрии, учёные древности любили

обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам, для

построения

которых

они

использовали

«золотое

отношение».

У

правильных

многогранников грани – правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями

равны.

2

Все правильные многогранники обладают и зеркальной, и поворотной симметрией.

А идея симметрии являлась отправным пунктом для учёных прошлых веков в теориях о

строении материи и Вселенной.

Аристотель говорил о симметрии, как о таком состоянии, которое характеризуется

соотношением крайностей. Из этого высказывания следует, что Аристотель, пожалуй, был

ближе всех к открытию одной из самых фундаментальных закономерностей природы –

закономерности о её двойственности.

Римский врач Гален из Пергама под симметрией понимал покой души и

уравновешенность.

Герман Вейль сформулировал определение симметрии, установил, по каким

признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином

случае.

Таким

образом,

математически

строгое

представление

сформировалось

сравнительно недавно – в начале ХХ века.

2.2. Виды симметрии.

Симметрия —

соответствие,

неизменность,

одно

из

наиболее

наглядно

проявляющихся (а потому и наиболее привычных для нас) свойств композиции. Это и

свойство - состояние формы, и средство, с помощью которого организуется форма. Под

симметрией понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

На уроке геометрии в 8 классе начинается изучение темы «Симметрия». Здесь

учитель знакомит нас с видами симметрии, а именно: центральной, осевой, зеркальной,

поворотной. В учебнике геометрии для 7-9 классов (авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,

Э.Г. Поздняк, И.И. Юдина) даются следующие определения:

Осевая и центральная симметрия.

Две точки А и А

1

называются симметричными относительно прямой а, если эта

прямая проходит через середину отрезка АА

1

и перпендикулярна к нему. Каждая точка

прямой а считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры

симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.

1

Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает

осевой симметрией.

Две точки А и А

1

называются симметричными относительно точки О, если О -

середина отрезка А А

1

. Точка О считается симметричной самой себе.

1

.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Э.Г. Поздняк, И.И. Юдина Геометрия учебник М., «Просвещение» 2017 с.110

3

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки

фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает

центральной симметрией.

С осевой и центральной симметрией мы познакомились недавно на уроках

геометрии. (Приложение 1 )

Наш учитель математики Эльза Исаевна ведёт занятия внеурочной деятельности

«Математика для увлеченных» с учащимися 5 «А» класса. На одном из занятий дети

построили треугольник, равный данному относительно точки О и относительно оси.

(Приложение 1)

Зеркальная симметрия

Зеркально симметричным считается объект, состоящий из двух половин, которые

являются зеркальными двойниками по отношению друг к другу. Каждой точке объекта

соответствует определенная точка зеркального двойника. Эти точки находятся на одном

перпендикуляре к прямой а, по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее.

Обычно считают, что наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией

самого объекта. В действительности это не совсем так. Зеркало не просто копирует

объект, а меняет местами передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. В

сравнении с самим объектом его зеркальный двойник оказывается "вывернутым" вдоль

направления перпендикулярного к плоскости зеркала. Этот эффект хорошо виден на

одном рисунке и фактически незаметен на другом. Эту плоскость называют плоскостью

симметрии. Предположим, что одна половина объекта является зеркальным двойником по

отношению к другой его половине. Такой объект называют зеркально симметричным.

Возьмём, к примеру, бабочку. Она может сложить крылья, и тогда две ее

одинаковые половинки совмещаются. Это можно описать по-другому. Любое из двух

крыльев бабочки отражается в зеркале. Половинки бабочки зеркально равны. Бабочка

обладает плоскостью симметрии. Она преобразуется сама в себя при отражении в

соответствующей зеркальной плоскости. (Приложение 2)

Одним из проявлений симметрии является отражение света. Существует такой

способ измерения, когда человек определяет высоту дерева, не срубая его и не взбираясь

на верхушку. Благодаря своему учителю, я стала свидетелем этого маленького чуда.

Оказывается, так просто выполняются такого рода чудеса.

Эксперимент 1. Измерили высоту дерева при помощи зеркала. (Приложение 2). На

некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С, кладут

горизонтально зеркало и отходят от него назад в такую точку

D, стоя в которой

наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево АВ во столько раз выше

4

роста наблюдателя ЕD, во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше

расстояния

CD

от зеркала до наблюдателя. Почему?

2

Способ основан на законе отражения света. Оно симметрично относительно

плоскости зеркала, т. е. находится на одинаковом расстоянии от этой плоскости. Вершина

А отражается симметрично в точке

А

'

,

АВ

=

А

'

В

. Из подобия треугольников

ВСА

'

и

СЕ D

следует, что

А

'

В : ED

=

BC :CD .

В этой пропорции остается лишь заменить А

'

В равным ему АВ .

АВ: ED

=

BC :CD .

Выполняя измерения, я получила следующие данные:

ED

=

150 см ВС

=

700 см CD

=

70 см АВ

−

? м

Подставила данные в пропорцию и в результате вычислила высоту дерева

АВ:150

=

700 : 70

АВ

=

700× 150

70

=

1500 см

=

15 м .

Приставил зеркало к прямой

Всего одним движением -

И вижу я рисунок твой

С красивым отражением.

Эксперимент

2

провели с учащимися 4 «А» класса.

Написали на листе бумаги

заглавными печатными буквами два слова "КОФЕ" и "ЧАЙ" или "НОС" и "ОКНО". Взяли

зеркало и поставили его вертикально так, чтобы линия пересечения плоскости зеркала с

плоскостью листа делила эти слова по горизонтали. Зеркало не подействовало на слова

"КОФЕ", "ОКНО", "НОС", тогда как слово "ЧАЙ" оно изменило до неузнаваемости.

(Приложение 3)

Этот "фокус" имеет простое объяснение. Разумеется, зеркало одинаковым образом

отражает нижнюю половину слов. Однако в отличие от слова " ЧАЙ " слова " КОФЕ ",

"НОС" и "ОКНО" обладают горизонтальной осью симметрии, именно поэтому оно не

искажается при отражении в зеркале.

Вывод: существует множество различных способов производить подобные измерения

при помощи весьма незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений.

2

Перельман Я.И. «Занимательная геометрия» Ленинград, «Просвещение» 1950 с. 27

5

Поворотная симметрия

Говорят, что объект обладает поворотной симметрией, если он совмещается сам с

собой при повороте на угол 360˚/n, где n – натуральное число. Центр симметрии называют

осью вращения n-го порядка.

Если фигуру повернуть вокруг некоторой точки на 360˚ то фигура совместится

сама с собой. Точно также можно повернуть фигуру четыре раза на 90˚ и т.д. Каждый раз

мы получим симметричную фигуру. Применяя симметрию поворота к разным фигурам,

например, к треугольнику, можно получить забавные узоры.

Мы с учащимися 1-х классов проверили разминку с использованием детских

спиннеров. Детям очень понравилась данная разминка. Они наглядно увидели различные

узоры при вращении спиннера вокруг своей оси. (Приложение 3 )

Измерить ширину реки, не переплывая её, реки, так же просто для знающего

геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на его вершину. Способ основан

на том свойстве прямоугольного треугольника, что если один из его острых углов равен

30

0

, то противолежащий катет составляет половину гипотенузы.

Убедиться в

правильности этого положения очень легко. Пусть угол В прямоугольного треугольника

АВС (Приложение 4 - рисунок 1) равен

30

0

; докажем, что в таком случае

АС

=

1

2

АВ

.

Повернем треугольник АВС вокруг ВС так, чтобы он расположился симметрично своему

первоначальному положению (Приложение – рисунок 2), образовав фигуру АВD; линия

АСD - прямая, потому что оба угла у точки С прямые. В треугольнике АВD угол А=

60

0

;

угол АВD, как составленный из двух углов по

30

0

,

тоже равен

60

0

. Значит, АD=BD как

стороны, лежащие против равных углов. Но АС=

1

2

А D

; следовательно,

АС

=

1

2

АВ.

3

Эксперимент.

Желая

воспользоваться

этим

свойством

треугольника,

мы

расположили булавки на дощечке так, чтобы основания их обозначали прямоугольный

треугольник, в котором катет вдвое меньше гипотенузы. С этим прибором мы

помещаемся в точке С так, чтобы направление АС совпадало с гипотенузой булавочного

треугольника. Смотря вдоль короткого катета этого треугольника, намечаем направление

СD и отыскиваем на нем такую точку Е, чтобы направление ЕА было перпендикулярно к

СD(это выполняется при помощи того же булавочного прибора). Легко сообразить, что

расстояние СЕ - катет, лежащий против угла

30

0

, равно половине АС. Значит, измерим СЕ,

удвоив это расстояние и отняв ВС, получим искомую ширину АВ реки.

(

Приложение 4)

СЕ

=

40 ш агов , ВС

=

45 шагов , АВ

=

? .

3

Перельман Я.И. «Занимательная геометрия» Ленинград, «Просвещение» 1950 с. 46

6

АВ

=

2 СЕ

−

ВС

=

2× 40

−

45

=

35 шагов .

2.3. Русский язык и симметрия

Язык – это система звуков, знаков, сочетаний. А любая система стремится к

сохранению общего, необходимого. Именно система ограничивает многообразие, т.е. в

языке обязательно должна проявляться симметрия.

Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии. Их

разделяют на горизонтальную и вертикальную симметрию.

К вертикальной симметрии оси относятся буквы: А, Д, Л, М, П, Т, Ф, Ш; а к

горизонтальной симметрии оси относятся В, Е, З, К, С, Э, Ю, Ж, Н, О, Ф, Х.

И вертикальные, и горизонтальные симметрии оси имеют буквы Ж, Н, О, Х, Ф.

А вот ни вертикальных, ни горизонтальных осей не имеют такие буквы, как: Б, Г, И, Й, Р,

У, Ц, Ч, Щ, Я. Буква И относительно центральной точки имеет центральную симметрию.

Мы со своим руководителем Хасмамедовой Э.И. ознакомили детей 1 «Б» класса с

симметрией. Затем дети распределяли буквы по трём группам: горизонтальная,

вертикальная и где не имеют симметрию. Мы провели творческое задание с рабочими

тетрадками на нахождение горизонтальной и вертикальной симметрии. Я познакомила

учащихся с геометрическими фигурами, имеющими симметрию.(Приложение 5)

Учащихся 1 классов учат выводить каждую букву . Я посетила урок в 1-А классе

(учитель

начальных

классов

Тимошенко

Н.Е.).

Наталья

Евгеньевна

показывала

симметрию буквы М (Приложение 6)

В русском языке больше всего букв, которые имеют вертикальную ось симметрии.

Также в русском языке есть симметричные слова – палиндромы, которые можно

читать одинаково в двух направлениях: слева направо и справа налево. Например: шалаш,

радар, казак, кок, поп, а могут быть палиндромическими и предложения «А роза упала на

лапу Азора», «А луна канула».

4

2.4. Симметрия вокруг нас.

Симметрия в архитектуре.

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат

строения архитектуры. Сколько живёт человек, столько он и строит. Велика роль

симметрии и пропорций в архитектуре. Человек всегда использовал симметрию и про-

порциональность в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков,

современным зданиям она придаёт гармоничность, законченность. Только неотступно

следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создавать свои шедевры.

4

Гончарова С.Г., Кукин Г.П. «В мире симметрии» // Математика в школе – 1996. С. 121

7

Прошли века, но роль симметрии не изменилась. Появляются новые строительные

материалы, но математические основы законов красоты в архитектуре остаются

неизменными. Одним из художественных средств, которые он использует, является

композиция здания.

И даже в нашем 21 веке мы наблюдаем удивительный мир симметрии в

архитектурных строениях, где соблюдены все правила зеркальной, осевой и центральной

симметрии.

Исследование . Я предложила своим одноклассницам прогуляться по городу и особенно

обратить внимание на композиции зданий и сооружений, на их симметричность. Меня

интересовала геометрическая симметрия – симметрия формы как соразмерность частей

целого. В одном из старейших и известнейших зданий нашего города - Краеведческом

музее имени П.Багратиона - можно

по фасаду здания легко определить осевую

симметрию. Такая же осевая симметрия наблюдается в городской больнице города

Кизляра. (Приложение 6)

Симметрия в ботанике.

Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она позволяет живым

организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

Специфика строения растений определяется особенностями среды обитания, к которой

они приспосабливаются, особенностями их образа жизни.

Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта же симметрия встречается и у цветов,

однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной

симметрией.

В природе встречается взаимное расположение лепестков разных видов.

Исследование. Наше исследование было направлено на выявление примеров симметрии в

растениях, то есть мы занимались проблемой поиска закономерностей внешнего строения

растений.

Мы с девочками собирали сухие лепестки деревьев и определяли, какой

симметрией обладают разные листья. (Приложение 7)

Например, симметричные листья при сложении пополам в точности не совпадают.

Многие из них обладают симметричностью относительно центральной жилки. Благодаря

симметричности, в листьях происходит равномерный процесс фотосинтеза.

Вывод: в любом лепестке можно найти какую-то его часть, обладающую осевой

симметрией. Это могут быть листья, стебли, стволы деревьев, плоды.

В 1 «В» классе (классный руководитель Попова Г.А.) на классном часу я показала

презентацию «Симметрия вокруг нас». После показа презентации провела беседу, в ходе

которой дети показали хорошие знания по симметрии. (Приложение 7)

8

Симметрия и асимметрия в одежде.

Симметрия в одежде воплощает в себе не только повторение, но и завершённость.

Такое построение можно видеть в симметричном относительно центральной осевой линии

фигуры расположении декоративных линий, деталей и элементов отделки.

Симметрия и асимметрия постоянно взаимодействуют.

Асимметрия в одежде – это композиционный прием, при котором различные

детали, швы и отделка располагаются несимметрично друг другу. Отсутствие симметрии

может подчеркиваться сочетанием разных фактур и цветов. Создать асимметрию можно и

с помощью неравномерно распределенных складок и сборок, запаха на одно плечо,

отсутствием одного рукава.

Асимметрию в одежде по достоинству оценили дизайнеры ведущих домов мод.

Часто асимметрию в одежде можно встретить в платьях, особенно вечерних. С

пятиклассниками мы провели демонстрацию по асимметрии одежды. (Приложение 7)

2.5. Социологический опрос.

- Знакомо ли Вам понятие «симметрия»?

- Используете ли Вы в своей одежде, аксессуарах, бижутерии элементы симметрии и

асимметрии?

Основное количество респондентов дало положительный ответ. (Приложение 8 -

диаграмма).

К учителю биологии, к старшеклассникам, к старшему повару я обратилась с

вопросом: «Часто ли Вы сталкиваетесь с симметрией и асимметрией в окружающем нас

мире?»

Учитель биологии рассказала о том, что есть симметрия как в растениях, так и в

животных. Также узнала я о том, что и в биологии существуют разные виды симметрии.

(Приложение 8)

Старшеклассники вспомнили изучение темы «Симметрия» и показали симметрию на

примере ворот. (Приложение 8)

Интересная беседа получилась со старшим поваром. Она не только рассказала о

существовании симметрии в быту, но и показала её. (Приложение 8)

3.

Заключение

Я изучила различные толкования понятия «симметрия» и виды симметрии, выяснила,

где и в каких разделах науки и искусства встречается симметрия, провела мини-

9

исследования по нахождению явлений симметрии в математике, русском языке,

архитектуре, ботанике, одежде, в быту.

Симметрия воспринимаемая человеком как закономерность структуры, как внешнее

проявления внутреннего порядка, начинает обладать эстетической ценностью, т.е.

воспринимается как красота.

Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Она присутствует в нашей жизни

буквально во всём, но мы настолько к ней привыкли, что не замечаем этого. Некоторым

она кажется скучной, а другие любят её за спокойствие, которое она вносит в нашу

жизнь. Но как бы мы к ней ни относились, она есть в нашей жизни буквально во всём и

добавляет в неё мир, спокойствие и состояние чего-то нечуждого глазу. И в итоге пришли

к следующим выводам:

-

симметрия устанавливает забавное и удивительное родство между предметами,

явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными.

- абсолютно симметричной одежды не существует, и некоторые проявления асимметрии

делают человека более симпатичным.

- весь мир симметричен.

- симметрия является общепризнанным критерием красоты как в науке, так и в искусстве.

Список использованной литературы

1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков И.А., Юдина И.И. Геометрия учебник М.,

«Просвещение» 2017

2. Гончарова С.Г., Кукин Г.П. «В мире симметрии» // Математика в школе – 1996.

3. Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский А.Г. Задачи по геометрии М., «Просвещение» 2017

4.Житомирский В.Г., Шеврин Л.Н. «Путешествие по стране геометрии» М.,

«Педагогика» 1991

5. Кошелев А.И. Проявление симметрии в различных формах материи. М., 1998

6. Перельман Я.И. «Занимательная геометрия» Ленинград, «Просвещение» 1950

7. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир – М., Провещение, 1982

8. Ресурсы в сети Internet.

10