Рабочая программа курса внеурочной деятельности

«Замечательные неравенства, их обоснование и применение»

(общеинтеллектуальное направление)

Возраст: 10 – 11 классы

Срок реализации: 2 года

Программа курса «Замечательные неравенства, их обоснование и применение»

составлена на основе методических рекомендаций автора С.А. Гомонова, кандидата

физико – математических наук и ориентирована на обучающихся 10 - 11 классов

общеобразовательных учреждений, реализующих профильную подготовку. Данный курс

расчитан на 35 часов в год 1 час в неделю.

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует

развитию

логического

мышления

учащихся,

намечает

и

использует

целый

ряд

межпредметных связей, что необходимо при решении примеров на установление

истинности простейших и более сложных числовых неравенств, встречающихся на ЕГЭ

по математике.

Целью данного курса является изучение избранных классов неравенств с

переменными и научное обоснование (в той степени строгости, которая соответствует

уровню школьной математики) методов их получения, а также применение изученного

теоретического материала при решении неравенств.

Задачи курса:

- закрепление основ знаний о неравенствах и их свойствах;

- расширение представления о неравенствах;

- формирование умений решать неравенства с переменными;

- повышение общей математической культуры;

- развитие логического мышления учащихся.

1.

Планируемые результаты

Личностные:

–

готовность и способность обучающихся к отстаиванию личного

достоинства, собственного мнения, готовность и способность вырабатывать

собственную позицию по отношению к общественно-политическим событиям

прошлого и настоящего на основе осознания и осмысления истории, духовных

ценностей и достижений нашей страны;

–

принятие и реализация ценностей здорового и безопасного образа

жизни, бережное, ответственное и компетентное отношение к собственному

физическому и психологическому здоровью;

–

воспитание уважения к культуре, языкам, традициям и обычаям народов,

проживающих в Российской Федерации

–

развитие компетенций сотрудничества со сверстниками, детьми младшего

возраста,

взрослыми

в

образовательной,

общественно

полезной,

учебно-

исследовательской, проектной и других видах деятельности.

Метапредметные:

Регулятивные универсальные учебные действия

Выпускник научится:

–

самостоятельно определять цели, задавать параметры и критерии, по которым

можно определить, что цель достигнута;

–

оценивать

возможные

последствия

достижения

поставленной

цели

в

деятельности, собственной жизни и жизни окружающих людей, основываясь на

соображениях этики и морали;

–

ставить и формулировать собственные задачи в образовательной деятельности и

жизненных ситуациях;

–

оценивать ресурсы, в том числе время и другие нематериальные ресурсы,

необходимые для достижения поставленной цели;

–

выбирать путь достижения цели, планировать решение поставленных задач,

оптимизируя материальные и нематериальные затраты;

–

организовывать эффективный поиск ресурсов, необходимых для достижения

поставленной цели;

Познавательные универсальные учебные действия

Выпускник научится:

–

искать и находить обобщенные способы решения задач, в том числе,

осуществлять развернутый информационный поиск и ставить на его основе новые

(учебные и познавательные) задачи;

–

использовать различные модельно-схематические средства для представления

существенных

связей

и

отношений,

а

также

противоречий,

выявленных

в

информационных источниках;

–

выходить за рамки учебного предмета и осуществлять целенаправленный поиск

возможностей для широкого переноса средств и способов действия;

–

выстраивать

индивидуальную

образовательную

траекторию,

учитывая

ограничения со стороны других участников и ресурсные ограничения;

Коммуникативные универсальные учебные действия

Выпускник научится:

–

осуществлять деловую коммуникацию как со сверстниками, так и со взрослыми

(как внутри образовательной организации, так и за ее пределами), подбирать партнеров

для деловой коммуникации исходя из соображений результативности взаимодействия, а

не личных симпатий;

–

при осуществлении групповой работы быть как руководителем, так и членом

команды в разных ролях (генератор идей, критик, исполнитель, выступающий, эксперт и

т.д.);

–

координировать и выполнять работу в условиях реального, виртуального и

комбинированного взаимодействия;

–

развернуто, логично и точно излагать свою точку зрения с использованием

адекватных (устных и письменных) языковых средств;

Предметные:

Выпускник научится:



Свободно оперировать понятиями: неравенство, равносильные неравенства,



решать разные виды неравенств и их систем, в том числе неравенства 3-й и 4-й

степеней, дробно-рациональные и иррациональные;



понимать смысл теорем о равносильных и неравносильных преобразованиях

неравенств и уметь их доказывать;



использовать метод интервалов для решения неравенств, в том числе дробно-

рациональных и включающих в себя иррациональные выражения;



решать

алгебраические

неравенства

и

их

системы

с

параметрами

алгебраическим и графическим методами;



владеть разными методами доказательства неравенств;



применять при решении неравенств свойства функций: четность, периодичность,

ограниченность;



применять для решения задач теорию пределов;

В повседневной жизни и при изучении других предметов:



составлять и решать неравенства, их системы при решении задач других

учебных предметов;



выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении

различных неравенств и их систем при решении задач других учебных предметов;



составлять неравенство или их систему, описывающие реальную ситуацию или

прикладную задачу, интерпретировать полученные результаты;



использовать

программные

средства

при

решении

отдельных

классов

неравенств.



интерпретировать свойства в контексте конкретной практической ситуации;

определять по графикам простейшие характеристики периодических процессов в

биологии, экономике, музыке, радиосвязи и др. (амплитуда, период и т.п.).



решать прикладные задачи из биологии, физики, химии, экономики и других

предметов, связанные с исследованием характеристик процессов;



интерпретировать полученные результаты.



Выпускник получит возможность научиться:



свободно определять тип и выбирать метод решения показательных и

логарифмических

неравенств,

иррациональных

неравенств,

тригонометрических

неравенств, их систем;



интерпретировать свойства в контексте конкретной практической ситуации;

определять по графикам простейшие характеристики периодических процессов в

биологии, экономике, музыке, радиосвязи и др. (амплитуда, период и т.п.).



владеть понятием асимптоты и уметь его применять при решении задач;



применять методы решения дифференциальных неравенств первого и второго

порядков.



свободно

владеть

стандартным

аппаратом

математического

анализа

для

вычисления производных функции одной переменной;



свободно применять аппарат математического анализа для исследования

функций и построения графиков, в том числе исследования на выпуклость;



оперировать в стандартных ситуациях производными высших порядков;



уметь применять при решении задач свойства непрерывных функций;



уметь применять при решении задач теоремы Вейерштрасса;



использовать теоретико-множественный язык и язык логики для описания

реальных процессов и явлений, при решении задач других учебных предметов

- правильно употреблять математическую терминологию;

- находить наибольшее и наименьшее значения функции с помощью замечательных

неравенств;

- применять неравенства при решении статистических и оптимизационных задач.

- применять свойства числовых неравенств при решении задач.

2.

Содержание курса, формы и виды деятельности

10 класс

ЧАСТЬ I. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Числовые неравенства и их свойства. Основные методы установления истинности

числовых неравенств. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение.

Метод

математической

индукции

его

применение

к

доказательству

неравенств.

Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

Неравенство Коши – Буняковского и его применение к решению задач.

Часть II. Средние величины: их свойства и применение

Средние степенные величины: соотношения между ними и другие источники

замечательных неравенств.

Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения.

Генераторы замечательных неравенств.

Неравенства, обобщающие как неравенство

Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского. Генераторы замечательных неравенств.

Свойства одномонотонных последовательностей- источник замечательных неравенств.

Неравенство

Иенсона.

Неравенство

Коши-Гельдера

и

Минковского.

Применение

неравенств.

Неравенства

в

математической

статистике

и

экономике.

Задачи

на

оптимизацию.

11 класс

1. Замечательные неравенства

Числовые неравенства и их свойства. Понятия «больше» и «меньше» для

действительных чисел. Основные методы установления истинности числовых неравенств.

Понятие нестрогого неравенства. Сравнение значений двух числовых выражений «по

определению» и с помощью сравнения их отношений с единицей. Использование

замечательных

неравенств

и

свойств

определенного

интеграла.

Частные

случаи

неравенства Коши, их обоснование. Методы анализа и синтеза в решении задач. Метод

«от противного». Метод оценивания и метод введения новых переменных. Метод

математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Полная

индукция. Аксиома, принцип и метод математической индукции и их применение при

доказательстве неравенств с переменными. Неравенство Коши для произвольного числа

переменных и применение его для получения новых неравенств и решения задач.

Неравенство Коши—Буняковского и его применение к решению задач и условия в

варианте равенства. Тождество Лагранжа. Векторный вариант записи неравенства Коши

—Буняковского и тригонометрические подстановки. Неравенства подсказывают методы

их обоснования. Метод выравнивания значений переменных (Метод Штурма).

2. Средние величины: их свойства и применение

Средние степенные величины: соотношения между ними и другие источники

замечательных неравенств. Среднее арифметическое, геометрическое, гармоническое и

квадратическое в случае двух параметров. Геометрические интерпретации. Среднее

арифметико-

геометрическое

Гаусса

и

среднее

арифметико-гармоническое.

Симметрические средние. Теорема Мюрхеда. Среднее арифметическое взвешенное и его

свойства. Круговые неравенства. Средние степенные и средние взвешенные степенные.

Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием

одномонотонной

последовательности.

Неравенства,

обобщающие

как

неравенство

Чебышева,

так

и

неравенство

Коши—Буняковского.

Генераторы

замечательных

неравенств:

свойства

квадратичной

функции;

геометрические

модели.

Свойства

одномонотонных

последовательностей

—

источник

замечательных

неравенств.

Неравенства

геометрического

происхождения.

Свойства

одномонотонных

последовательностей. Неравенства и определенный интеграл, методы трапеций и

треугольников. Неравенство Юнга. Свойства одномонотонных последовательностей.

Свертка двух одномонотонных последовательностей и ее свойства для двучленных и

трехчленных последовательностей. Неравенство Иенсона (выпуклые фигуры и выпуклые

функции) Надграфик и подграфик функции, заданной на промежутке. Неравенства Коши

—Гельдера и Минковского. Применение неравенств. Неравенства в математической

статистике и экономике. Задача Дидоны и другие задачи на оптимизацию. Поиск

наибольших и наименьших значений функций с помощью замечательных неравенств.

Формы и виды деятельности:

o

Познавательная деятельность

o

Конференция

o

Соревнование

o

Турнир

o

Практика

3.

Тематическое планирование

10 класс

№

Тема

Количес

тво

часов

1

Числовые неравенства и их свойства

2

Основные методы установления истинности числовых неравенств

3

Основные методы установления истинности числовых неравенств

4

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств

с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и

применение.

5

Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение

6

Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение

7

Метод математической индукции его применение к доказательству

неравенств.

8

Метод математической индукции его применение к доказательству

неравенств.

9

Неравенство Коши для произвольного числа переменных

10

Неравенство Коши для произвольного числа переменных

11

Неравенство Коши – Буняковского и его применение к решению задач

12

Неравенство Коши – Буняковского и его применение к решению задач

13

Неравенства подсказывают методы их обоснования

14

Средние степенные величины, соотношения между ними и другие

источники замечательных неравенств. Среднее арифметическое,

геометрическое, гармоническое и квадратическое в случае двух

параметров.

15

Средние степенные величины, соотношения между ними и другие

источники замечательных неравенств. Геометрические интерпретации.

16

Средние степенные величины, соотношения между ними и другие

источники замечательных неравенств. Среднее арифметико-

геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое.

17

Средние степенные величины, соотношения между ними и другие

источники замечательных неравенств. Симметрические средние.

Круговые неравенства.

18

Средние степенные величины, соотношения между ними и другие

источники замечательных неравенств. Среднее арифметическое

взвешенное и его свойства.

19

Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение,

порожденное понятием одномонотонной последовательности.

20

Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство

Коши-Буняковского

21

Генераторы замечательных неравенств: свойства квадратичной функции;

геометрические модели

22

Генераторы замечательных неравенств: свойства квадратичной функции;

геометрические модели

23

Генераторы замечательных неравенств: свойства одномонотонных

последовательностей-источника замечательных неравенств.

24

Генераторы замечательных неравенств. Свойства одномонотонных

последовательностей- источник замечательных неравенств.

25

Генераторы замечательных неравенств. Свойства одномонотонных

последовательностей- источник замечательных неравенств.

26

Генераторы замечательных неравенств. Свойства одномонотонных

последовательностей- источник замечательных неравенств.

27

Неравенство Иенсона

28

Неравенство Иенсона (выпуклые фигуры и выпуклые функции)

29

Неравенство Иенсона (выпуклые фигуры и выпуклые функции)

30

Неравенство Иенсона (выпуклые фигуры и выпуклые функции)

исследование функции на выпуклость и вогнутость средствами

математического анализа

31

Неравенство Коши-Гельдера и Минковского

32

Применение неравенств. Неравенства в математической статистике и

экономике. Задачи на оптимизацию

33

Применение неравенств. Неравенства в математической статистике и

экономике. Задачи на оптимизацию

34

Поиск наибольших и наименьших значений функции с помощью

замечательных неравенств

35

Поиск наибольших и наименьших значений функции с помощью

замечательных неравенств

11 класс

№

Тема

Количество

часов

1

Числовые неравенства и их свойства. Понятия «больше» и

«меньше» для действительных чисел

2

Основные методы установления истинности числовых

неравенств. Понятие нестрогого неравенства

3

Основные методы установления истинности числовых

неравенств, или как узнать «Что больше?».

4

Сравнение значений двух числовых выражений «по

определению» и с помощью сравнения их отношений с

единицей. Использование замечательных неравенств и свойств

определенного интеграла.

5

Частные случаи неравенства Коши, их обоснование. Методы

анализа и синтеза в решении задач

6

Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и

применение. Метод «от противного».

7

Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и

применение. Метод оценивания и метод введения новых

переменных.

8

Метод математической индукции и его применение к

доказательству неравенств. Полная индукция.

9

Аксиома, принцип и метод математической индукции и их

применение при доказательстве неравенств с переменными.

10

Неравенство Коши для произвольного числа переменных и

применение его для получения новых неравенств и решения

задач.

11

Неравенство Коши—Буняковского и его применение к

решению задач и условия в варианте равенства. Тождество

Лагранжа

12

Векторный вариант записи неравенства Коши—Буняковского

и тригонометрические подстановки.

13

Неравенства подсказывают методы их обоснования. Метод

выравнивания значений переменных (Метод Штурма).

Часть 2.

Средние величины: их свойства и применение (21ч)

14

Средние степенные величины: соотношения между ними и

другие источники замечательных неравенств.

15

Среднее арифметическое, геометрическое, гармоническое и

квадратическое в случае двух параметров.

16

Геометрические интерпретации. Среднее арифметико-

геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое.

17

Симметрические средние. Теорема Мюрхеда

18

Среднее арифметическое взвешенное и его свойства.

Круговые неравенства

19

Средние степенные и средние взвешенные степенные.

20

Неравенство Чебышева :простейший вариант и его

обобщение, порожденное понятием одномонотонной

последовательности.

21

Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и

неравенство Коши—Буняковского.

22

Генераторы замечательных неравенств: свойства

квадратичной функции; геометрические модели.

23

Свойства одномонотонных последовательностей — источник

замечательных неравенств. Неравенства геометрического

происхождения

24

Свойства одномонотонных последовательностей.

Неравенства и определенный интеграл, методы трапеций и

треугольников. Неравенство Юнга.

25

Свойства одномонотонных последовательностей . Свертка

двух одномонотонных последовательностей и ее свойства для

двучленных и трехчленных последовательностей.

26

Свойства одномонотонных последовательностей — источник

замечательных неравенств.

27

Неравенство Иенсона (выпуклые фигуры и выпуклые

функции) Надграфик и подграфик функции, заданной на

промежутке.

28

Неравенство Иенсона (свойства центра масс конечной

системы материальных точек).

29

Генераторы замечательных неравенств. Неравенство Иенсона

(выпуклые фигуры и выпуклые функции, свойства центра

масс конечной системы материальных точек).

30

Исследование функции на выпуклость и вогнутость

средствами математического анализа.

31

Неравенства Коши—Гельдера и Минковского.

32

Применение неравенств. Неравенства в математической

статистике и экономике. Задача Дидоны и другие задачи на

оптимизацию.

33

Применение неравенств. Поиск наибольших и наименьших

значений функций с помощью замечательных неравенств.

34

Промежуточная аттестация

Оценочный материал

Методическая литература

Список литературы

Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. — М.: Наука, 1975.

Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987 (Б-чка

«Квант». Вып. 61).

Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. — М.: Мир, 1965.

Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965.

Блох А.Ш., Тру хан Т.Л. Неравенства. — Минск.: Народная асвета, 1972.

Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., Раббот Ж.М., Тоом А.Л. Заочные математические олимпиады.

— 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1986.

Гаврилов В.И. Математический анализ. Курс лекций. Ч. II. — М.: Школа имени академика

А.Н. Колмогорова, 1999. — 80 с.

Кипнис И.М. Сборник прикладных задач на неравенства: Пособие для учителей. — М.:

Просвещение, 1964.

Корн Г., Корн Т. Справочник для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1968.

Коровкин П.П. Неравенства. — М.: Наука. 1966.

Кречмар В. О. Задачник по алгебре. — М.: Наука, 1964. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г.

Практикум по решению математических задач: Алгебра. Тригонометрия. — М.: Просвещение,

1984.

Ляпин С.Е., Баранова И.В., Борчугова З.Г. Сборник задач по элементарной алгебре. — 2-е изд.

— М.: Просвещение, 1973.

Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее применение. — М.: Мир, 1983.

Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. — М.: Дрофа,

1998.

Моденов П. С. Сборник задач по математике с анализом решений. — М.: Советская наука,

1959.

Седракян Н.М., Авоян A.M. Неравенства. Методы доказательства/ Пер. с арм. Г.В. Григорян.

— М.: Физматлит, 2002.

Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. — М.: Наука, 1967.

Симонов А.С. Экономика на уроках математики.— М.: Школа-Пресс, 1999 (Б-ка журнала

«Математика в школе»).

Смышляев В. К. Практикум по решению задач школьной математики. Вып. 5: Практикум по

решению задач повышенной трудности. — М.: Просвещение, 1978.

Соминский И. С. Метод математической индукции. — М.: Наука, 1974.

Соминский И.С, Головина Л.И., Яглом И.М. О математической индукции. — М.: Наука,

1967.

Харди Г.Г., Литтлъвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: ИЛ, 1948.

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для

10 кл. средней школы.— М.: Просвещение, 1989.

Шклярскш Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М.

Геометрические неравенства и задачи на

максимум и минимум. — М.: Наука, 1970.