Урок «Решение показательно-степенных уравнений» в 11 классе проводится после

изучения тем «Решение степенных уравнений» и «Решение показательных уравнений» с

целью систематизации знаний.

Анализ письменных работ учащихся показывает, что при решении показательно-

степенных уравнений не освещённость вопроса об отрицательном значении аргумента

показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей

и ведет к появлению ошибок. А также возникают проблемы на этапе систематизации

полученных результатов, когда в силу перехода к уравнению – следствию или

неравенству – следствию, могут появиться посторонние корни. С целью устранения

ошибок была использована проверка по исходному уравнению и алгоритм решения

показательно-степенных уравнений

.

Анализ урока в 11-м классе по теме:

" Решение показательно-степенных уравнений. " (45 минут)

Жданова Наталья Георгиевна

учитель математики, МБОУ СОШ №25 города Абакана Республики Хакасия.

План- конспект урока

Тема:

Решение показательно-степенных уравнений.

Цели урока:

образовательные: формирование умений и навыков решать «показательно-

степенные уравнения»; ознакомить с основными приемами и методами

решения уравнений этого вида; обеспечить овладение всеми учащимися

основными

алгоритмами

приемами

решения

показательно-степенных

уравнений;

формирование

заинтересованности

учащихся

в

решении

показательных уравнения при подготовке к ЕГЭ.

развивающие: активизация познавательной деятельности; развитие навыков

самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.

воспитательные:

формирование

умений

работать

самостоятельно;

принимать решение и делать выводы; воспитание устремлённости к

самообразованию

и

самосовершенствованию;

осознание

учащимися

социальной практической значимости учебного материала по изучаемой

теме.

I. Организационный момент: (1 минута)

II. Подготовка к основному этапу урока: (7 минут)

1.Устно:

1) Найти значение числовых выражений:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

2) Сравните числа:

а)

и

б)

и

в) 2

и 3

г) 2

и 3

3) Внесите множитель под знак корня:

а) 2

б) 2

в) а

, а 0 г) в

, в

0 д) 2

е) 3

4) Укажите какое-либо число, больше 2, удовлетворяющее данному условию:

=9

2. Показательные уравнения, повторение изученного:

Пример №1.

125

3х-1

=5

Решение

5

9х-3

=5(5

-3

)

х

5

9х-3

=5

1-3х

9х-3=1-3х

х=

Ответ: х=

Пример №2.

3

=9

2х-2

Решение

3

=3

4х-4

=4х-4

Х

=

Ответ:

Х

=

III Усвоение новых знаний и способов действий: (23 минуты)

1. Познакомить учащихся с понятием «показательно-степенные уравнения»;

2. Изучить теорему о показательно- степенном уравнении вида

, где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

3. Ввести алгоритм решения уравнении вида

. Для этого надо

обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус

единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то

положительными или отрицательными) возможно лишь при условии

равенства показателей. То - есть все корни уравнения

будут

корнями уравнения f(x) = g(x)

Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и

g(x) выражения а(х)

f(x)

и а(х)

g(x)

теряют смысл.

То - есть при переходе от

к f(x) = g(x) при

и

могут

появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по

исходному уравнению. А случаи, а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть

отдельно.

Итак, для полного решения уравнения

рассматриваем

случаи:

а(х) = 0 . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и

g(x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае,

нет.

а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и

g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо

оба нечетные), то это решение. В противном случае, нет.

При

и

решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой

полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

4. Разобрать и оформить решение примеров:

Пример №3.

Решение

x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 3

2

> 0, то x

1

= 3 - это решение.

x – 3 = 1, x

2

= 4.

x – 3 = -1, x

3

= 2. Оба показателя четные. Это решение x

3

= 2.

x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x

2

, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)

0 =

(-3)

0

–верно это

решение x

4

= 0. При x = 1, (-2)

1 =

(-2)

1

– верно это решение x

5

= 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

Пример №4.

Решение

По определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1.

x – 1 = 0 или x = 1,

= 0, 0

0

это не решение.

x – 1 = 1 x

1

= 2.

x – 1 = -1 x

2

= 0 не подходит в ОДЗ.

=

Д = -16 – корней нет.

Ответ: 2.

IV Закрепление нового материала. Первичная проверка понимания.

Пример №5.

Решение

1)

= 0 решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2)

≠ 0 т.е.

. Тогда можем записать:

2.1)

= 1.

= 0

и

2.2)

= -1 х = 0 или х = 1. При х = 0

= -1. (-1)

-1

≠ (-1)

0

.

Это не решение.

При х = 1 (-1)

0

= (-1)

0

.

Это решение х

3

= 1.

2.3)

≠ 0 и

≠ ±1 имеем

= 0,

= -1 или

= 1. Эти корни уже учтены.

Ответ: -1, 1, 2.

Пример №6.

Решение

1) при

решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) при

,

,

.

3)

,

.

, (-1)

0

= (-1)

0

это решение.

.

4)

и

или

При

(-4)

0

= 1 – верно.

Ответ: -1, 2, 4.

Пример №7.

Решение

1)

,

,

это не решение.

2)

,

и

.

3) отрицательных значений основание не имеет. При

и

,

,

,

х = 5, 3

15

= 3

15

– верно. х

3

= 5,

х = 2 – не является решением.

Ответ: 1,3,5.

Пример №8

Решение

ОДЗ:

,

,

,

и

Все решения принадлежат уравнению

=2.

,

,

и

. Оба значения принадлежат к ОДЗ.

Ответ: -4, -1.

Работа учащихся в группах по 4 человека, группы получили одинаковый

набор заданий, но в разном порядке. (10 минут)

Пример №1

Решение

1)

,

,

,

. Это решение

.

2)

,

.

3)

,

,

- четное и -3х – четное. Это решение. х

2

= -4.

4)

и

,

,

,

, 4

-3

= 4

-3

– верно.

.

Ответ: -4, -3, -2, 1

Пример №2

Решение

1)

не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.

2)

.

или

.

3) отрицательных значений

не имеет.

4) При

,

, т.к.

, то

. Проверка 2

0

= 1 – верно.

Ответ: -1, 1, 2.

Пример №3

Решение

ОДЗ:

,

,

.

1)

решений не имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

При

,

или

,

ОДЗ,

ОДЗ.

Значит все решения содержатся в уровнении

= 0,

или

.

Проверка:

, 2

0

= 1 – верно.

,

- верно.

Ответ: 0, 3/2.

Пример №4

Решение

1)

решений не дает, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) При

,

,

. Все решения принадлежат

уравнению

.

или

.

3)

,

и

.

Второе решение не подходит, т.к

,

. А

является решением

Ответ:

, 2, 4.

Проверочная работа: По одному ученику из групп - на доске записывается

первый пример, тем самым проверяется решение всех заданий.

V . Подведение итогов урока: (2 минуты)

VI. Информация о домашнем задании, инструктаж

по его выполнению: (2 минуты)

Домашнее задание:

1.

Ответ: 0; 3.

2.

Ответ: 1; 3.

3.

Ответ: 1; 8.

4.

Ответ: -1; 1; 2.

5.

Ответ:

.