Урок № 64

Тема: «Формулы сложения»

Не бойтесь формул!

Учитесь владеть этим инструментом

Человеческого гения!

В формулах заключено величие и могущество

Человеческого разума!

А.А. Марков, академик

Цель урока: познакомить обучающихся с формулами сложения суммы и разности двух

углов для тригонометрических функций и применять их при выполнении преобразований

тригонометрических выражений.

Задачи:

Образовательные:

научить

применению

формул

сложения

при

вычислении

и

преобразовании тригонометрических выражений.

Развивающие: развивать у обучающихся познавательный интерес, умение излагать

мысли, делать выводы; развивать память и внимание.

Воспитательные:

прививать

обучающимся

интерес

к

предмету;

воспитание

добросовестного отношения к своей работе, ответственности, честности.

Оборудование: рабочие тетради, «Таблица достижений», учебник, таблицы: «Формулы

приведения», «Формулы сложения», дидактические материалы.

План урока:

1.Оргмомент-2 мин.

2.Актуализация опорных знаний-6 мин.

3.Объяснение нового материала-6 мин

4.Закрепление пройденного материала-10-13 мин.

5.Повторение ранее изученного материала-12 мин

6.Рефлексия-2 мин.

7.Домашнее задание-2 мин.

8.Подведение итогов урока, выставление оценок-2 мин.

Ход урока.

1.Организационный момент.

Добрый день. Рада всех Вас видеть. Давайте улыбнемся друг другу, пожелаем удачи в

работе, настроимся на поиск новых знаний и начнем урок.

(Проверить готовность к уроку, домашнее задание, отметить отсутствующих.)

Как вы считаете, почему эпиграфом урока выбраны эти слова?

-Речь на уроке пойдет о формулах. Сегодня мы будем работать с тригонометрическими

формулами, будем учиться их использовать в преобразованиях и применять в упрощении

тригонометрических выражений.

Если мы будем знать все формулы, тогда будет у нас результат.

2.Актуализация опорных знаний. («Таблица достижений».)

Сегодня сами примете участие в оценивании своей работы на уроке. Для этого вам

понадобиться «Таблица достижений». Слева записаны задания, с права надо будет

записать правильный ответ. В конце урока каждый посчитает количество правильных

ответов и сделает себе вывод о работе на уроке. Замечу, что работа требует честности и не

сомневаюсь в том, что вы студенты исключительно порядочные и ответственные.

Давайте, проверим свои знания, для этого проведем устный опрос.

1. Углом какой четверти является угол:

а) 56°; б) 330°; в) -170°

2. Какой знак имеет:

1.а) cos 290°; б) sin 179°; в) tq 400°; г) ctq 349°

2.а) sin (-α); б) cos (-α); в) tq (-α); г) ctq (-α)

3.Вычислить устно.

Фронтальный опрос по таблице значений тригонометрических

функций.

1. а) Чему равен sin (−

π

6

); б) Чему равен cos (−

π

4

)

2.Какие знаки имеет синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных

четвертей?

3. а) Выразить в радианах 270°; б) Выразить в градусах 2

.

радиан

𝜋

4. Назовите формулу, выражающую связь между синусом и косинусом одного и того же

угла.

5.Чтобы пользоваться формулами приведения, что для этого надо знать.

Чему равен cos (

𝜋

+ α); sin (

3

2

π

– α )?

6. cos105°.

7. sin 15°

3.Объяснение нового материала.

Итак, при выполнении устной работы мы повторили табличные значения синуса, косинуса

некоторых углов. И столкнулись с проблемой нахождения косинуса и синуса углов,

которых нет в таблице.

Когда-то известный мудрец со своими обучающимися поднимался к Храму. Навстречу им

спускалась греческая богиня. Вот ты в восторге от своих учеников, но стоит мне их чуть-

чуть поманить, как они быстро оставят тебя и пойдут вместе со мной. Мудрец ей ответил:

Правильно, ты их зовешь вниз, в красивую яркую долину, а я их веду вверх, к покорению

нераскрытых вершин.

Вот и мы с вами сегодня, должны подняться на одну ступеньку вверх, изучив формулы

сложения.

Слово обучающейся. (сообщение о истории развития тригонометрии, связанной с

формулами сложения и связи с профессией информационных технологий.)

Итак, тема нашего урока-Формулы сложения.

Цель нашего урока- познакомить вас с формулами сложения суммы и разности

тригонометрических функций и применять их на практике.

Сейчас запишем формулы, которые помогут нам в разрешении создавшейся ситуации.

Формулы сложения:

𝟏

.

𝐜𝐨𝐬

(

𝜶

+

𝜷

) =

𝐜𝐨𝐬𝜶

∗

𝐜𝐨𝐬𝜷

−

𝐬𝐢𝐧

𝜶

∗

𝐬𝐢𝐧𝜷

𝟐

.

𝒄𝒐𝒔

(

𝜶

−

𝜷

) =

𝐜𝐨𝐬𝜶

∗

𝐜𝐨𝐬𝜷

+

𝐬𝐢𝐧

𝜶

∗

𝐬𝐢𝐧

𝜷

𝟑

.

𝐬𝐢𝐧

(

𝜶

+

𝜷

) =

𝐬𝐢𝐧

𝜶

∗

𝐜𝐨𝐬

𝜷

+

𝐜𝐨𝐬𝜶

∗

𝐬𝐢𝐧𝜷

𝟒

.

𝐬𝐢𝐧

(

𝜶

−

𝜷

) =

𝐬𝐢𝐧

𝜶

∗

𝐜𝐨𝐬𝜷

−

𝐜𝐨𝐬𝜶

∗

𝐬𝐢𝐧𝜷

𝟓

.

𝐭𝐠

(

𝜶

+

𝜷

) =

tg α

+

tgβ

1

−

tgα

∗

tg β

𝟔

.

𝐭𝐠

(

𝜶

−

𝜷

) =

tg α

−

tgβ

1

+

tgα

∗

tg β

7. сtg (α+β) =

ctgα

∗

ctgβ

−

1

ctgα

+

ctgβ

8. сtg (α-β) =

ctgα

∗

ctgβ

+

1

ctgα

−

ctgβ

Определение1: Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов

минус произведение синусов этих углов.

Определение2: Косинус разности двух углов равен сумме произведения косинусов этих

углов и произведения синусов этих углов.

Определение3: Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на

косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.

Определение4: Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на

косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.

Определение5: Тангенс суммы двух углов равен дроби, в числителе которой сумма

тангенсов искомых углов, а в знаменателе-единица минус произведение тангенсов этих

углов.

Определение6: Тангенс разности двух углов равен дроби, в числителе которой разность

тангенсов искомых углов, а в знаменателе-единица плюс произведение тангенсов этих

углов.

Определение7: Котангенс суммы двух углов равен дроби, в числителе которой

произведение котангенсов искомых углов минус единица, а в знаменателе сумма

котангенсов этих углов.

Определение8: Котангенс разности двух углов равен дроби, в числителе которой

произведение котангенсов искомых углов плюс единица, а в знаменателе разность

котангенсов этих углов.

А теперь вернемся к нашим примерам cos105° и sin15°

1

. cos 105 °

=

cos

(

60 °

+

45 °

)=

cos 60 °

∗

cos 45 °

−

sin 60°

∗

sin 45 °

=

1

2

∗

√ 2

2

−

√ 3

2

∗

√ 2

2

=

√ 2

−

√ 6

4

2

. sin 15°

=

sin

(

45°

−

30 °

)=

sin 45 °

∗

cos 30°

−

cos 45°

∗

sin 30 °

=

√ 2

2

∗

√ 3

2

−

√ 2

2

∗

1

2

=

√ 6

−

√ 2

4

4.Закрепление пройденного материала. (Работа у доски.) Обучающиеся по одному

выходят к доске и решают примеры.

№ 9(а; б)

№11(а)

Самостоятельная работа.

№11(в)

5.Повторение ранее изученного материала.

Дидактические материалы.

Найдите значение выражения:

а) sin 2

𝜋

/3;

б) cos (-240°)

б) упростите выражение: сtq (-α) sin α +сos α

Дополнительное задание:

Дано: sin α=-0,6;

𝜋

¿

α

¿

3

2

𝜋

.Найти: сos α-?; cos (

π

3

−¿

α) -?

Подсчет правильных ответов в таблице достижений. Самооценка работы обучающихся.

6.Рефлексия.

1.На уроке я работал активно/ пассивно

2. Своей работой на уроке я доволен/ не доволен

3. Урок для меня показался коротким / длинным

4. За урок я не устал / устал

5. Мое настроение стало лучше/ стало хуже

6. Материал урока мне был понятен / не понятен

полезен / бесполезен

интересен / скучен

7.

Домашнее задание

: §15 стр.134-136-. Башмаков М.И.

§1 стр.11 №13 (б) - Колмогоров А.Н.

8.

Подведение итогов урока, выставление оценок

«Таблица достижений» обучающегося группы 15.25

__________________________

1.Теоретический материал.

Ответы.

Углом какой четверти является угол:

56°

330°

-170°

Какой знак имеет:

cos 290°

sin 179°

tq 400°

ctq 349°

sin(-α)

cos(-α)

tq(-α)

сtq(-α)

2. Закрепление нового материала. (Работа у доски.)

№9(а)

№9(б)

№11(а)

3.Самостоятельная работа.

№11(в)

4.Повторение ранее изученного материала.

Найдите

значение

выражения:

Дидактические

материалы.

а) sin 2

𝜋

/3

б) cos (-240°)

5.Упростить выражение.

Сtq (-α) sin α +сos α

6.Дополнительное задание:

Дано: sin

α=-0,6;

𝜋

¿

α

¿

3/2

𝜋

.Найти: сos α-?;

cos (

𝜋

/3- α) -?

Количество успешно выполненных заданий.

Критерии оценивания.

20-правильных ответа-«5»

17-19-правильных ответа-«4»

12-16-правильных ответа-«3»

Список литературы:

1.Башмаков М.И. СПО ТОП-50-Москва: КНОРУС,2021г.

2.Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учеб.для10-11 кл. ср. шк.

Москва «Просвещение» 2021г.

3. Павлюченко Ю.В. Математика для колледжей.

4. Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа.

Москва: Просвещение 2022г