РАЗРАБОТКА УРОКА МАТЕМАТИКИ ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ НА ТЕМУ:

«СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ:

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ И ОБОСНОВАНИЕ»

1. Методологическое введение: место темы в системе

математических знаний и психолого-педагогические особенности

ее усвоения

Тема «Сложение и вычитание смешанных чисел» является ключевой

в блоке арифметики рациональных чисел. Она не только расширяет

вычислительный аппарат учащихся, но и углубляет понимание самой

сути числа, закрепляя взаимосвязь между неправильной дробью и

смешанным числом. Успешное освоение данной темы напрямую

зависит от прочности сформированных ранее компетенций: умения

выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями (в

том числе с разными знаменателями), навыков выделения целой

части из неправильной дроби и представления смешанного числа в

виде неправильной дроби. Психологически операция со смешанными

числами требует от учащихся способности к декомпозиции сложного

объекта (смешанного числа) на составляющие (целую и дробную

части) и последующей рекомпозиции, что является важным этапом в

развитии аналитического мышления.

Основная дидактическая цель урока: сформировать осознанный

алгоритм сложения и вычитания смешанных чисел на основе

понимания их структуры.

Триединые задачи урока:



Образовательные: Вывести и обосновать алгоритмы сложения и

вычитания смешанных чисел; отработать навыки их применения в

стандартных и нестандартных ситуациях; закрепить умение

переводить смешанное число в неправильную дробь и обратно.



Развивающие: Развивать логическое мышление через анализ

структуры числа и обоснование алгоритмов; совершенствовать

вычислительную культуру и навыки самоконтроля; развивать

математическую речь через использование точной терминологии.



Воспитательные: Воспитывать аккуратность, внимательность,

настойчивость в достижении цели; формировать позитивное

отношение к интеллектуальному труду.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Формы работы: Фронтальная, индивидуальная, парная.

Оборудование: Интерактивная доска или классическая доска с

мелом, раздаточный материал с заданиями для индивидуальной и

парной работы, учебник.

2. Содержательно-процедурная разработка этапов урока

Этап 1. Организационно-мотивационный (приблизительно 3-4

минуты).



Цель: Создать рабочую атмосферу, актуализировать субъектный

опыт учащихся, сформулировать проблему.



Содержание и методы: Учитель приветствует класс, формулирует

эпиграф урока: «Алгоритм – это последовательность действий,

понятная даже вычислительной машине. Наша задача – понять,

почему эта последовательность верна». Предлагается устная

разминка:

1. Представьте число 3 2/5 в виде неправильной дроби. Объясните

свойство, на котором основано это преобразование (3 2/5 = (3 * 5 +

2)/5 = 17/5).

2. Выделите целую часть из дроби 19/4. Как связаны делимое, делитель,

неполное частное и остаток? (19 : 4 = 4 (ост. 3), значит, 19/4 = 4 3/4).

3. Вычислите: 5/12 + 7/12; 5/9 + 1/6; 5 - 2/7.



Проблематизация: После решения последнего примера (5 - 2/7 = 4

5/7) учитель фиксирует внимание: «Мы легко выполнили вычитание

дроби из целого числа. А как быть, если нужно сложить или вычесть

числа вида 2 3/5 и 1 4/5 или 5 1/6 и 2 5/6?» Учащиеся высказывают

предположения. Учитель подводит к теме: «Сегодня мы не просто

узнаем правило, а построим и обоснуем алгоритм сложения и

вычитания смешанных чисел».

Этап 2. Актуализация опорных знаний и постановка учебной

задачи (приблизительно 5-7 минут).



Цель: Восстановить в памяти необходимые для открытия нового

знания понятия и приемы, четко сформулировать цель урока.



Содержание и методы: На доске записаны пары чисел: 3 2/7 и 1 3/7;

4 1/6 и 2 5/6; 5 3/4 и 2 1/2. Фронтально обсуждаются вопросы:

1. Что такое смешанное число? (Форма записи числа, содержащая

целую и дробную части).

2. Всегда ли удобно выполнять действия непосредственно с такой

записью? (Нет).

3. В каком виде удобнее складывать дроби? (Либо как дроби с

одинаковым знаменателем, либо как целые числа).

4. Какая у нас есть возможность преобразования смешанного числа?

(Перевести в неправильную дробь).

5. Можем ли мы, опираясь на уже известное, предложить способ

решения? Учащиеся предлагают идею: перевести все смешанные

числа в неправильные дроби, выполнить действие, результат (если он

неправильная дробь) перевести в смешанное число.

Учитель соглашается: «Это универсальный и абсолютно верный

способ. Он основан на сведении новой задачи к уже решенной. Но

всегда ли он самый рациональный? Давайте исследовать его на

конкретных примерах и поискать возможные оптимизации».

Этап 3. Исследовательский этап: «Открытие» и обоснование

алгоритмов (приблизительно 15 минут).



Цель: Через анализ конкретных примеров вывести эффективные

алгоритмы для случаев сложения/вычитания с одинаковыми и

разными знаменателями дробных частей.



Содержание и методы:

Часть А. Случай одинаковых знаменателей дробных частей.

Задача 1: Найти сумму 2 3/8 + 1 1/8.

o

Способ 1 (универсальный): 2 3/8 + 1 1/8 = 19/8 + 9/8 = 28/8 = 7/2 = 3

1/2.

o

Способ 2 (на основе сочетательного закона): Представим сумму

как (2 + 3/8) + (1 + 1/8). Используя переместительный и сочетательный

законы сложения, сгруппируем целые и дробные части: (2+1) + (3/8 +

1/8) = 3 + 4/8 = 3 + 1/2 = 3 1/2.

Вывод 1: Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые

знаменатели, можно сложить целые части отдельно, дробные части

отдельно. Затем, если дробная часть результата оказалась

неправильной дробью, выделить из нее целую часть и прибавить к

уже найденной сумме целых частей.

Задача 2: Найти разность 5 1/6 - 2 5/6.

o

Способ 1 (универсальный): 5 1/6 - 2 5/6 = 31/6 - 17/6 = 14/6 = 7/3 = 2

1/3.

o

Способ 2 (на основе свойств вычитания суммы): (5 + 1/6) - (2 + 5/6)

= (5-2) + (1/6 - 5/6). Вторая скобка дает отрицательное число. Это

неудобно. Поэтому необходим анализ: дробная часть уменьшаемого

(1/6) меньше дробной части вычитаемого (5/6). Значит, «занимаем»

единицу из целой части уменьшаемого: 5 1/6 = 4 + 1 + 1/6 = 4 + 6/6 +

1/6 = 4 7/6. Теперь вычитание выполнимо: 4 7/6 - 2 5/6 = (4-2) + (7/6 -

5/6) = 2 2/6 = 2 1/3.

Вывод 2: При вычитании, если дробная часть уменьшаемого меньше

дробной части вычитаемого, необходимо преобразовать

уменьшаемое, «заняв» единицу из его целой части. Общий алгоритм:

вычесть целые части, вычесть дробные части. Если вычитание

дробных частей невозможно, выполнить преобразование

уменьшаемого.

Часть Б. Случай разных знаменателей дробных частей.

Задача 3: Найти сумму 3 2/5 + 1 1/2.

Учитель направляет рассуждение: «Можно ли здесь сразу сложить

целые и дробные части?» (Нет, так как дроби имеют разные

знаменатели). «Что необходимо сделать с дробными частями?»

(Привести их к общему знаменателю).

Решение: 3 2/5 + 1 1/2 = 3 4/10 + 1 5/10 = (3+1) + (4/10 + 5/10) = 4 9/10.

Вывод 3: Если дробные части имеют разные знаменатели, сначала

их нужно привести к наименьшему общему знаменателю, а затем

действовать по алгоритму для случая с одинаковыми знаменателями.

Формулировка общего алгоритма (составляется вместе с

учащимися и фиксируется на доске):

1. Привести дробные части чисел к общему знаменателю (если это

необходимо).

2. Выполнить сложение или вычитание целых частей и дробных частей

по отдельности.

3. Если при сложении дробная часть получилась неправильной дробью,

выделить из нее целую часть и прибавить к найденной целой части.

4. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части

вычитаемого, преобразовать уменьшаемое, заняв единицу из его

целой части.

5. Сократить дробную часть результата, если это возможно.

Этап 4. Первичное закрепление с комментированием

(приблизительно 10 минут).



Цель: Отработать применение алгоритма в стандартных ситуациях

под контролем учителя с проговариванием каждого шага.



Содержание и методы: Учитель предлагает решить 3-4 примера у

доски с пошаговым комментированием. Важно, чтобы объяснение

велось не просто как перечисление действий («сначала делаем то,

потом это»), а с обоснованием («приводим к общему знаменателю,

потому что складывать можно только дроби с одинаковыми

знаменателями»).

Примеры:

1. 4 5/9 + 2 1/9 (простейший случай).

2. 7 1/4 + 2 5/6 (разные знаменатели, без образования неправильной

дроби в результате).

3. 5 1/3 - 2 3/4 (вычитание с преобразованием уменьшаемого и разными

знаменателями).

4. 6 3/8 + 1 7/8 (сложение с переходом через единицу в дробной части).

Этап 5. Самостоятельная работа в парах с элементами

взаимопроверки (приблизительно 8-10 минут).



Цель: Организовать деятельность учащихся по применению

алгоритма в условиях сотрудничества и самоконтроля.



Содержание и методы: Учащимся раздаются карточки с двумя

блоками заданий.

Блок А (базовый, на отработку алгоритма): 3-4 примера на

сложение и вычитание смешанных чисел с постепенным усложнением

(одинаковые знаменатели -> разные знаменатели -> с

преобразованием).

Блок Б (задача на применение): Практическая задача, требующая

выполнения операций со смешанными числами. Например: «Длина

маршрута составляет 8 3/5 км. Турист прошел сначала 2 1/2 км, а

потом еще 3 4/5 км. Сколько километров ему осталось пройти?»

Учащиеся решают задания в парах, советуясь. Затем пары

обмениваются решениями (или сверяются с эталоном,

подготовленным учителем на переносной доске или слайде) и

проводят взаимопроверку, обсуждая возможные ошибки.

Этап 6. Рефлексия и подведение итогов. Домашнее задание

(приблизительно 4-5 минут).



Цель: Проанализировать степень достижения целей урока, оценить

деятельность, дать дифференцированное домашнее задание.



Содержание и методы: Учитель инициирует рефлексивную беседу:

o

Какую учебную задачу мы ставили?

o

Какие два основных способа выполнения действий со смешанными

числами мы рассмотрели? (Преобразование в неправильные дроби и

алгоритм с отдельной работой с целыми и дробными частями).

o

В чем преимущества и недостатки каждого способа?

(Универсальность первого, рациональность и часто меньшая

громоздкость второго, особенно при одинаковых знаменателях).

o

Когда при вычитании обязательно требуется преобразование

уменьшаемого?

o

Что было самым сложным?

Учитель обобщает: «Мы сегодня не просто выучили правило, а

построили и обосновали алгоритм, опираясь на свойства сложения и

вычитания и умение работать с дробями. Это пример того, как новое

знание вырастает из уже имеющегося».



Домашнее задание (дифференцированное):

o

Базовый уровень: №№ из учебника на применение алгоритма (5-6

примеров).

o

Повышенный уровень: №№ из учебника, включающие цепочки

действий и текстовые задачи; творческое задание: составить и решить

свой пример на сложение и вычитание смешанных чисел, который

потребует двух преобразований (приведение к общему знаменателю и

«заем» единицы).

3. Методический комментарий и критерии оценки

Урок построен на принципах проблемного обучения и деятельностного

подхода. Критериями успешности усвоения материала на данном

уроке являются:

1. Правильность воспроизведения алгоритма (верная

последовательность действий).

2. Осознанность выбора действия (понимание, почему необходимо

привести к общему знаменателю, когда нужно «занять» единицу).

3. Вычислительная грамотность (безошибочное выполнение

арифметических операций с дробями и целыми числами).

4. Способность к самоконтролю (умение проверять результат,

оценивая его правдоподобность).

Особое внимание следует уделить типичным ошибкам: путаница в

процедуре «заема» единицы (ученики забывают уменьшить целую

часть уменьшаемого), ошибки при приведении дробей к общему

знаменателю, арифметические ошибки при работе с целыми числами.

Предложенная структура урока, сочетающая исследование,

комментированное закрепление и парную работу, направлена на

минимизацию этих ошибок через глубокое понимание, а не

механическое запоминание.