ПРОЕКТНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
«ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К РЕШЕНИЮ

ЗАДАЧ

С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ»
АВТОР – учащаяся 11 «а» класса Валеева Валерия УЧИТЕЛЬ - РУКОВОДИТЕЛЬ – Новых И.П., учитель математики
МБОУ «Мужевская СОШ имени Н.В. Архангельского»

Школьная научно-исследовательская конференция

«Ступень в будущее»

1


Введение
Характерной чертой современности является применение математических методов в самых различных областях человеческой деятельности. Математика является не только орудием количественного расчёта, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно чёткой и ясной формулировки понятий и проблем. Ф. Энгельс в своё время заметил, что «лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение». В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится всё более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач. Поэтому мы провели данное исследование - искали возможность практического применения производной. Применение производной довольно широко, и его сложно охватить в работе такого типа, однако мы попытались раскрыть основные, базовые моменты. Мы считаем, что наша работа актуальна, так как позволяет применить производную для более быстрого выполнения расчётов без использования компьютерных программ. При моделировании часто используются компьютерные программы, но иногда необходимо выполнить расчёты в короткие сроки, не имея специализированного дорогостоящего программного обеспечения – в этом преимущество нашей работы. Наш проект предназначен для выработки умений принимать оптимальные решения и находить рациональные приемы работы у учащихся 10-11 классов. Эпиграфом к нашей работе мы выбрали слова известного математика и философа Рене Декарта: «Недостаточно иметь хороший ум, главное - правильно его использовать». Цели работы:  познакомиться с проблемой;  проанализировать ситуацию с целью создания ее математической модели;  провести опрос среди учащихся с целью выдвижения гипотезы;  обработать результаты опроса;
2

 проверить выдвинутую гипотезу с помощью математических вычислений;  осмыслить полученный результат в рамках решения поставленной проблемы; Методика нашей работы состоит в следующем: 1) Знакомство с темой, определение целей и задач. 2) Поиск информации, работа с математической литературой. 3) Работа с дидактическими материалами. 4) Работа с презентацией и буклетом. Проблема задачи №1 состояла в следующем: нужно было найти высоту, на которую надо повесить фонари, чтобы они как можно лучше освещали улицу, причем расстояние между фонарями должно быть 30 метров. Математическая модель задачи, которую мы составили, выглядит так: Необходимо сконструировать функцию и исследовать ее на наибольшее и наименьшее значение с помощью аппарата производной. Прежде чем решать задачу мы опросили 20 учащихся.
3

X – искомая высота фонаря;

r – половина расстояния между соседними фонарями;

a – угол падения светового луча.
Х a r
Были даны следующие варианты ответа на единственный вопрос: «на какой высоте надо установить фонари?» Фонари надо установить на высоте -до 5 метров -от 5 до 10 метров -от 10 до 15 метров -затрудняюсь ответить Данные опроса находятся в таблице: До 5 метров От 5 до 10 м От 10 до 15 метров Затрудняюсь ответить Количество ответов
1

9

10

0
Процент от общего кол- ва опрошенных
5%

45%

50%

0%
Эти данные мы обработали, и результаты вы можете увидеть на диаграмме: Проверим эту гипотезу. Проверка проводится чисто математическим путем.
4

Проверка гипотезы.
Таким образом, выдвигается гипотеза: фонари надо установить на высоте от 10 до 15 метров.

Исследуем функцию f на наибольшее значение.
Решение задачи внутри математической модели: 1. Находим производную данной функции: 2. Разделим числитель и знаменатель дроби на
5
3. Найдём критические точки функции Из курса физики известно, что освещенность плоскости обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения a: a r x    ) ( ) cos ( ) ( 2 2 r x k x f  2 2 cos x r x    2 3 ) ( ) ( 2 2 r x kx x f   3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( . 2 . ) ( ) ( ) ( ' 2 1 2 3 2 1 2 3 r x r x kx r x k r x kx x r x r x k x f            3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( . 2 . ) ( 2 3 ) ( ) ( 2 1 2 3 2 1 2 3 r x r x kx r x k r x kx x r x r x k x f            2 2 r x  5 , 2 2 2 2 2 5 , 2 2 2 2 2 2 5 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 ) ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ' 2 1 r x x r k r x x r x k r x kx r x k r x r x kx r x k r x r x kx r x k x f                      
Приравниваем производную к нулю, получаем, что половина расстояния равна 2х 2 . Отсюда х=0.7r . Вывод: Фонари на улице, расстояние между которыми 30м (r = 15), целесообразно установить на высоте
15 * 0.7 = 10,5 (м)

Гипотеза подтвердилась.
В работе представлены задачи практического характера с применением производной. Метод поиска наибольших и наименьших значений функций применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуем по следующей схеме: 1. Задача «переводится» на язык функций. Для этого выбираем удобный параметр x, через который интересующую нас величину выражаем как функцию f(x); 2. Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке; 3. Выясняем, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функции) результат. Вообще решение практических задач средствами математики, как правило, содержит три основных этапа: 1. Формализацию (перевод исходной задачи на язык математики); 2. Решение полученной математической задачи; 3. Интерпретация найденного решения («перевод» его с языка математики в терминах первоначальной задачи). Этот метод называют методом математического моделирования.
6
r r x x r x f 7 . 0 2 ; 2 0 ) ( ' 2 2     

Задача №2
Заготовлена изгородь длиной 480м. Этой изгородью надо огородить с трех сторон, примыкающий к реке, участок. Какова должна быть ширина и длина участка, чтобы его площадь была наибольшей при заданной длине изгороди?
Решение

Исследуем функцию на наибольшее значение на заданном интервале:

0 < х < 240

Находим производную данной функции:

S’ (x) = 480 - 4x

Найдём критические точки функции, т.е. внутренние точки области определения

функции, в которых производная равна нулю:

S’ (x) = 0, 480 - 4x =0

x = 120

7

Определим знак производной на каждом интервале:



S=AB·BC

Пусть АВ=х, тогда ВС= 480-2х

S(х) = х · (480 - 2х) = 480х - 2х

2

D(х) = (0;240), т.к. S(х) > 0

480х – 2х

2

> 0

2х · (240 – х) > 0

х

1

= 0, х

2

= 240
B A D C 0 240
Составим функцию площади

По смыслу задачи


Задача №3
Дан прямоугольный лист жести (АВ = 80см, ВС = 50см). Надо вырезать около всех углов одинаковые квадраты так, чтобы после загибания оставшихся кромок получилась открытая сверху коробка максимальной вместимости.
Решение

Составим математическую модель задачи.

Сконструируем функцию и исследуем её на наибольшее значение с помощью аппарата

производной.
8
Vmax (x) = V(10) = 1800см3

0

240

120

S’(x)

S’(x)

+

Т.о. Smax = S (120) = 28800м2 при АВ = 120м и ВС = 240м

Ответ: при ширине 120м и длине 240м площадь участка будет

наибольшей.

V(x) = ( 80-2x)( 50-2x)x = 4x3 – 260x2 – 4000x

D(V) = (0;25), т.к. V(x) > 0

( 80-2x)( 50-2x)x > 0



x1 = 40, x2 = 25, x3 = 0
A B D C x x x 80 50
0 < x < 25



V′ (x) = 12x2 – 520x + 4000



V′ (x) = 0, 12x2 – 520x + 4000 = 0



3x2 – 130x + 1000 = 0



D = 4900



x1 = 10, x2 = 33, 1/ 3

x1 Є (0;25)
x x x x x 0 25 40

Ответ: Объем коробки будет максимальным, если сторона вырезаемого квадрата равна

10см

Задача №4
Пусть электрическая лампочка движется с помощью блока вдоль вертикальной прямой ОВ. На каком расстоянии от горизонтальной плоскости следует ее разместить, чтобы в точке А этой плоскости освещённость была наибольшей (ОА = а, ∟ОАВ = , ВА = r)?
Решение

Составим математическую модель задачи.

Сконструируем функцию и исследуем её на наибольшее значение с помощью аппарата

производной.

Пусть BO=x, тогда , где 0 < х < + ∞

Значит,



;

9
const k r k E    , sin 2  2 2 a x r   , sin r x   2 3 2 2 2 ) ( ) ( a x x k r r x k x E      2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ) ( 3 ) ( 1 ( 2 ) ( 2 3 ) ( )' ) ( ( ) ( ' a x x a k a x x a x k a x x a x k x a x kx a x k a x kx x E                           B x O a A r 0 ) ( 2 , 0 ) ( ' 2 5 2 2 2 2      a x x a k x E 2 0 2 2 2 a x x a    φ

Т.к. функция Е(х) имеет одну критическую точку, а в условии сказано, что

существует положение лампочки, при котором освещенность в точке А

наибольшая, то х является искомой точкой.

Ответ: для достижения наибольшей освещенности лампочка должна висеть на

высоте

Задача № 5
Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией f(x)=0,0017х-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход
.

Решение

Исследуем расход горючего с помощью производной: f′(х)=0,0034х-0,18.Тогда f′(х)=0 при

х≈53.

Определим знак второй производной в критической точке: f′′(х)=0,0034>0,

следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л.

Задача №6
Участок, площадью 2400м2, надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.
Решение

Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет

м, длина

изгороди Р(х)=3х+

;

Р’(х) = 3-

; Р’(х)=0;3х2=4800;х2=1600; х=40. Берем только положительное значение

по условию задачи.

По условию задачи х принадлежит (0; ∞)

Найдем знак производной на промежутке (0;40) и на промежутке (40; ?). Производная

меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м

наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая

=60м.
2 a

10

Заключение
В результате проведённого исследования можно сделать следующие выводы: 1. При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций. 2. В прикладной математике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции, то есть эти задачи решаются с помощью применения производной. 3. В процессе исследования практических функций, мы применили аппарат производной и убедились в том, что наши расчёты оказались компактны, и мы сэкономили своё время. Это и было нашей целью, то есть подойти к решению данной проблемы рационально. Современная прикладная математика предполагает быстроту и гибкость принятия решения, требует быстрых обоснованных решений. 4. Наиболее актуальна использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин. 5. Так же в своей работе мы показали, что исследование требует большой математической подготовки, наблюдательности и аккуратности в расчётах. К нашей работе прилагается буклет. В нём представлена история появления и развития производной, предложена краткая информация о людях, сыгравших главную роль в развитии дифференциального исчисления, а также представлены интересные сведения из истории создания нового исчисления, известные далеко не всем. Например: производная раньше называлась не производной, а флюксией, также с помощью аппарата производной было предсказано возвращение кометы Галлея, что стало большим триумфом науки того времени.

11

«Применение производной к решению математических задач

практического содержания.»

Цель:
формирование практических навыков применения теоретических знаний и общеучебных компетенций учащихся.
Задачи:

познавательный

аспект-
расширение общего кругозора школьников, стимулирование познавательной деятельности, умение находить и обрабатывать информацию; 
учебный

аспект
- активизация мыслительной деятельности учащихся при решении задач прикладного характера, алгоритмизация деятельности; 
воспитательный

аспект
- развитие умения работать в команде, активно слушать, уважать чужое мнение, формировать потребности в самовыражении и научном творчестве. Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, экономике, медицине, экологии, а так же в быту. Мы рассмотрим задачи, которые можно решить с помощью производной . Эти задачи не совсем обычны как по форме изложения, так и по применяемым методам решения. Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции.
В приложениях математики к решению конкретных задач приходится иметь дело с величинами, числовые значения которых получены путем измерений и, следовательно, точное их значение неизвестно. Если исходные данные содержат погрешности измерений, то применение точных методов измерения не целесообразно. Для упрощения и облегчения вычислений в таких случаях лучше использовать приближенные методы. Теоретической основой одного из простейших приемов приближенных значений вычислений является понятие дифференциала. Приближенное значение приращение функции называется дифференциалом функции и обозначается dy, причем dy=y’(x)dx. Среди многих задач, решаемых с помощью производной, наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций. Рассмотрим некоторые из них. ( Образцы задач может приводить как сам учитель, так и заранее подготовленные ученики).
Задача №1
Докажите, что уравнение 3x 5 – 25x 3 + 60x + 15 = 0 имеет только один действительный корень.
Решение:
Рассмотрим функцию f(x) = 3x 5 – 25x 3 + 60x + 15 = 0 и найдем её интервалы монотонности. Имеем: f’(x) = 15x 4 – 75x 2 + 60 = 15(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2). Производная f’(x) обращается в нуль в четырех точках: -2, -1, 1, 2. Эти точки разбивают числовую прямую на пять промежутков: (- ∞; -2), (-2; -1), (-1; 1), (1; 2), (2; +∞). На каждом из указанных промежутков производная сохраняет постоянный знак. Отсюда заключаем, что на каждом из этих промежутков функция y = f(x) монотонна, т.е. или возрастает или убывает. Тогда график функции на каждом из указанных промежутков может пересекать ось абсцисс не более∞ чем в одной точке. Это значит, что функция y = f(x) на каждом из рассматриваемых промежутков может иметь не более одного корня, причем корни функции могут
быть в тех и только тех промежутках, на концах которых функция имеет разные по знаку значения. Имеем lim f(x) = - ∞, f(- 2) < 0, f(- 1) < 0, f(1) > 0, f(2) > 0, lim f(x) = +∞ x → - ∞ x → +∞ f(1) > 0, f(2) > 0, lim f(x) = +∞ x → + ∞ Так как f(x) имеет различные знаки только на концах промежутка (-1; 1), то заданное уравнение имеет лишь один действительный корень, лежащий внутри этого интервала.
Задача

№2.

При

извержении

вулкана

камни

горной

породы

выбрасываются перпенди- кулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с.

Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра

пренебречь?
Решение: Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени- h(t) = Vо t -1/2gt 2 .Откуда следует: h  (t)= v(t) = vо–gt. Следовательно, 0= 120-9,8t и t≈13 сек. Тогда h=745м, т.е. камни горной породы достигают уровня 720 м от края вулкана.
Задача

№3.

Нагруженные

сани

движутся

по

горизонтальной

поверхности под действием силы F, приложенной к центру тяжести. Какой

угол α должна составлять линия действия силы F с горизонтом, чтобы

равномерное

движение

саней

происходило

под

действием

наименьшей

силы? Коэффициент трения саней о снег равен к.
Решение: Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие. Сила нормального движения саней и вертикальной составляющей силы F:N=P-F sinα, поэтому сила трения F тр =kN= =k(P-Fsinα). Сани будут двигаться равномерно при условии компенсации горизонтальных сил: Fx=Fтр., то есть Fcosα=k (P-Fsinα). Далее находим силу как функцию угла α:
F(α) = kP/(ksinα+cosα) . F′(α) =kP(sinα-kcosα)/(ksinα+cosα) 2 . Тогда F′(α)=0 при k=tgα. Определим знак второй производной в этой точке…
Из

решения этой задачи можно сделать практический вывод: когда

необходимо

везти

на

санях

груз

по

дороге

с

большим

коэффициентом

трения, нужно тянуть сани за короткую веревку. Если же коэффициент

трения мал, веревка должна быть длинной.

Задача№4. Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в

зависимости

от

скорости

х

км/ч

при

движении

на

четвертой

передачи

приблизительно описывается функцией

f(x)=0,0017х-0,18х+10,2;

х>30.

При

какой

скорости

расход

горючего

будет наименьший? Найдите этот расход.
Решение: Исследуем расход горючего с помощью производной: f′ (х)=0,0034х-0,18.Тогда f′(х)=0 при х≈53. Определим знак второй производной в критической точке: f′′ (х)=0,0034>0, следовательно, рас- ход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л.
Задача№5. Оборот предприятия за истекший год описывается через

функцию U(t)=0,15t

2

– 2t

2

+ 200, где t –месяцы,

U-миллионы. Исследуйте

оборот предприятия.
Решение. Исследуем оборот предприятия с помощью производной:U′ (t)=0,45t 2 - 4t U′′(t)=0,9t-4 U″′(t)=0,9. Момент наименьшего оборот а при U(t)=0, т.е.при t=8,9.Наименьший оборот был на девятом месяце. Первая производная показывает экстремальное изменение оборота. Из U(t)=0 следует t=4,4.Так как U″ ′(t)>0, то на пятом месяце имеется сильное снижение оборота
. Точки перегиба


важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой

конкретно момент произошло изменение.
Так, например, по решению предложенной задачи можно сделать выводы: 1.В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота; 2.Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные средства. На пятом месяце ( точка перегиба) что-то было предпринято и предприятие стало выходить из кризиса, а на девятом месяце стало набирать обороты.
Задачи из биологии и химии

Биологический смысл производной.
Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов
у
и временем
t
её размножения задана уравнением: у=p(t). Пусть ∆t-промежуток времени от некоторого начального значения t до t+∆t. Тогда у+∆у=p(t+∆t)- новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+∆t, а ∆y+p(t+∆t)-p(t)-изменение числа особей организмов.
Химический

смысл

производной.
Пусть дана функция m=m(t),где m- количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆m величины m. Отношение ∆m/∆t- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t. Предел этого отношения при стремлении t∆ к нулю- есть скорость химической реакции в данный момент времени . Р а с с м о т р и м н е с к о л ь к о з а д а ч
Задача №6. Зависимость между количеством х вещества, получаемого

в результате некоторой

химической реакции и временем t выражается уравнением Х=А(1+е)

Определите скорость химической реакции в момент времени t.


Задача

№7.

Закон

накопления

сухой

биомассы

у

винограда

сорта

Шалса определяется уравнением y=0,003x-0,0004x , где x- число дней от

распускания

почек, y-накопление

биомассы

в

кг

на

1

куст.

Равенство

отражает зависимость величин x и y как средний результат массовых

наблюдений. Выясните, как изменится сухая биомасса при изменении

от 50 до 60 дней.

Задача

№8.

Реакция

организма

на

введенное

лекарство

может

выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры

тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень

реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х

обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции.

У=f(x)=x

2

(a-x) ,где а - некоторая положительная постоянная. При каком

значении Х реакция максимальна?
Решение: 0<x<а. Значит f′(x)=2ax-3x 2 . Тогда f′(x)=0 при x=⅔ а. В этой точке f″(⅔ а)= -2а<0, то х=⅔-а - тот уровень дозы, который дает максимальную реакцию.
Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия,

при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее

( или наименее) чувствительна к каким-либо

воздействиям.

Предлагается творческое задание (при наличии времени на уроке, если

имеем в наличии сдвоенные уроки. Если такая возможность отсутствует,

творческое задание выполняется дома).

Задача №9.
За последние 10 лет численность грызунов в городе Н выросла в 5 рази достигла 1 миллиона особей: по одной крысе на каждого жителя. За год одна пара крыс способна воспроизвести 50 штук себе подобных. По словам
эпидемиологов, крысы являются переносчиками многих болезней – чумы, бешенства, энцефалита. Составьте задачу по приведенным данным и решите её.
Задача №10
. Зависимость суточного удой У в литрах от возраста коров Х в годах определяется уравнением У(х)= -9,3+6,86х-0,49х , где х>2.Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.