Музыка в математике

1.

Введение.

2.

Музыка и математика.

I.

Ритм.

II.

Пропорции.

III.

Вариации.

IV.

Параллели.

V.

Противоположности.

3.

Заключение.

4.

Список использованной литературы.

Математика и музыка

требуют единого мыслительного процесса.

(А. Энштейн)

Введение

Значение музыки в школе далеко выходит за пределы искусства. Так

же как литература и изобразительное искусство, музыка решительно

вторгается во все области воспитания и образования наших школьников,

являясь могучим и ничем не заменимым средством формирования их

духовного мира.

Музыка и жизнь – это генеральная тема, своего рода сверхзадача

школьных занятий музыкой, которую ни в коем случае нельзя выделять в

самостоятельный, более или менее изолированный раздел. Она должна

пронизывать все занятия во всех звеньях от первого до последнего класса,

формируя мировоззрение учащихся, воспитывая их нравственность и

душевное благородство.

Изучая музыку, ребята уже с первого класса почувствуют и поймут (с

помощью учителя), что они изучают жизнь, что музыка – это сама жизнь.

1

Как показывает практика, межпредметные связи в школьном обучении

являются

конкретным

выражением

интеграционных

процессов,

происходящих сегодня в науке и в жизни общества. Эти связи играют

важную роль в повышении практической и научно-теоретической подготовки

учащихся,

существенной

особенностью

которой

является

овладение

школьниками

обобщенным

характером

познавательной

деятельности.

Обобщенность же дает возможность применять знания и умения в

конкретных ситуациях, при рассмотрении частных вопросов, как в учебной,

так и во внеурочной деятельности, в будущей производственной, научной и

общественной жизни выпускников средней школы.

С помощью многосторонних межпредметных связей не только на

качественно новом уровне решаются задачи обучения, развития и воспитания

учащихся, но также закладывается фундамент для комплексного видения,

подхода и решения сложных проблем реальной действительности. Именно

поэтому межпредметные связи являются важным условием и результатом

комплексного подхода в обучении и воспитании школьников.

Методической

основой

интегрированного

подхода

к

обучению

являются формирование знаний об окружающем мире и его закономерностях

в целом, а также установление внутрипредметных связей в усвоении основ

наук. В этой связи интегрированным уроком называют любой урок со своей

структурой, если для его проведения привлекаются знания, умения и

результаты анализа изучаемого материала методами других наук, других

учебных предметов. Не случайно поэтому интегрированные уроки именуют

ещё межпредметными, а формы их проведения самые разные: семинары,

конференции, путешествия и т.д.

О связи музыки с искусством (литературой и живописью), историей

говорится много, почти на каждом уроке музыки, посмотрим, как связаны

между собой два школьных предмета музыка и математика, хотя, на первый

взгляд, между ними мало общего.

Музыка и математика.

Математика имеет множество великолепных приложений к различным,

казалось бы, самым неожиданным аспектам человеческой деятельности,

когда как в школьном учебнике вскользь упоминается лишь о некоторых из

них. В результате в сознании учеников со стихийной неизбежностью

возникает представление о «сухости», формальном характере математики и

оторванности

её

от

жизни

и

практики.

Наполнив уроки конкретными фактами, яркими образами и сделав их

содержательнее, разнообразнее и занимательнее учитель может навести

мосты, соединяющие математику с окружающим миром.

2

В музыке немало математики. Мы используем западноевропейской

нотную систему, основа которой – две вполне строгие шкалы

частоты и

времени.

На практике музыкант значительно реже математика задумывается о

формальной основе музыкального произведения, которая зафиксирована в

нотах. То, что действительно в музыке является строгим, складывалось

столетиями,

обусловлено

акустическими

явлениями

и

психологией

восприятия звука. Но все это для традиционного музыканта некая данность,

фундамент, который в повседневной практике не требует ни ревизии, ни

пристального внимания. И это оправданно, поскольку предмет музыканта,

будь он исполнителем, композитором, педагогом или теоретиком, менее

формализован и включает собственные непростые задачи.

Очень давно, начиная с Пифагора, а может быть и ранее, математики

обратили

внимание

на

формальную

сторону

организации

музыки

–

временную и частотную шкалы. Однако, механизмы, воспроизводящие

музыку по программе, появились раньше, чем механизмы-калькуляторы,

поэтому можно назвать музыкантов самыми первыми программистами.

Впрочем, и в письменном наследии древних культур, пожалуй, только

нотные записи, как описание временного процесса, ближе всего к текстам

программ. Как в партитурах, так и в текстах программ есть блоки, условия,

циклы и метки, только не многие программисты и музыканты знают об этих

параллелях. Но, помня об этом, уже нельзя удивляться тому, что инженеры

заставляли воспроизводить мелодии самые первые ЭВМ. Правда музыканты

не могли относить машинную музыку к настоящей, возможно потому, что в

ней не было ничего, кроме мертвых звуков или плана. Да и сам машинный

звук, являвшийся на первых шагах простым меандром, был крайне далек от

звучания

акустических

инструментов.

Видимо

поэтому

следующим

периодом

в

развитии

музыкальных

компьютерных

технологий

стали

исследования и разработки методов синтеза звука.

С давних пор до нас дошел афоризм, что математика и музыка –

сестры. Казалось бы, что общего между наукой, пользующейся строгой

логикой доказательств при изучении природы, и музыкой – одним из

прекраснейших видов искусства, произведения которых создаются в порыве

вдохновения? В Древней Греции слово «математа» означало «наука».

Древнегреческий философ Пифагор

со своими учениками занимался

четырьмя «математа»: арифметикой, геометрией, астрономией и музыкой. Он

создал учение о звуке, изучал философскую математическую стороны звука,

даже пытался связать музыку с астрономией. Используя особый инструмент

–

монохорд,

Пифагор

изучал

интервалы,

открывал

математические

соотношения между отдельными звуками. Пифагор развил учение о

врачевании болезней при помощи музыки. Он считал, что определенные

мелодии могут избавить человека то зависти, ревности, гордыни и других

пороков.

За многие века значение слова «математика» несколько сузилось. Из

науки вообще она превратилась в науку о всевозможных вычислениях. Зато

влияние ее на другие науки необыкновенно расширилось.

Мировое искусство во многом обязано математике. Пример этому –

многочисленные древнейшие сооружения, кремли, башни, дворцы и другие

произведения архитектуры.

3

Попробуем найти общие точки соприкосновения

точной науки математики и прекрасного, изящного искусства – музыки.

Математика (греч. - знание, наука). Математика – царица всех наук,

символ мудрости. Красота математики является одним из связующих звеньев

науки и искусства.

Слово “музыка” (греч. – искусство муз), значит искусство, отражающее

действительность в звуковых, художественных образах.

Между математикой и музыкой размещается вся творческая духовная

деятельность человека. Музыкальная логика и математика развивают

мышление,

даже

упражнение

пальцев

при

игре

на

музыкальных

инструментах укрепляет мозговые клетки.

Как в музыке при помощи всего семи нот создаются великие

произведения, так и в математике великие открытия совершаются десятью

натуральными числами от 0 до 9.

1.

РИТМ

Окружающий нас мир полон ритмов. О чем говорит это слово? Несколько

примеров помогут нам увидеть и услышать ритмы. Оглядимся вокруг:

ритмично звучат шаги, ритмично наше дыхание, ритмичен стук колес

поездов. Но стоит нам услышать слово ритм, как наши мысли невольно

обращаются к музыке и это вполне понятно: ведь ритм – один из важнейших

элементов музыки.

Ритмы можно обнаружить и среди чисел. Например, дробь 1/81. Ее можно

записать в виде: 1/81=0,012345679012345679012345679… или, кратко 1/81=0,

(012345679). Какой ритм обнаруживается здесь? Дробь записывается в виде

бесконечной периодической десятичной дроби, и период ее отличается

необыкновенной правильностью: 012345679.

Можно привести примеры и других интересных дробей: 1/9=0,11111…;

1/99=0,010101…; 1/11=0,090909… и т.д.

Посмотрите на этот рисунок.

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Первые 100 натуральных чисел расположены в виде изящной правильной

фигуры – так называемого Пифагорова квадрата. У чисел, стоящих в одной

строке совпадают первые цифры, у чисел, стоящих в одном столбце,

совпадают вторые цифры. Отметим, например, в этой таблице числа, кратные

трем (0, 3, 6, 9, 12, 15, 18…) и увидим, что мы пришли к красивому,

правильному равномерному ритму, звучащему, как музыкальный размер ¾.

Правильный равномерный ритм выявляется при рассмотрении кратных не

только числа 3, но и других чисел.

II. ПРОПОРЦИИ

Повозка, которую построили для Гулливера лилипуты (роман Д.

Свифта «Путешествия Лемюэля Гулливера»), оказалась маленькой для него,

хотя для самих лилипутов она казалась гигантской. Велико что-нибудь или

мало, зависит от того, с чем сравнивать.

Слова “большой” и “маленький” содержат не оценку истинных

размеров предметов, а лишь указание на относительные размеры одного

предмета по сравнению с другим.

Чтобы имело смысл говорить о том, долги или коротки музыкальные

звуки, их длительность необходимо чем-то измерять.

Это «что-то» задает

биение пульса музыкального произведения, его метр. Шестнадцатая,

восьмая,

половинная,

целая

нота…

Названия

длительностей

служат

одновременно и названиями чисел.

Длительность

соответствует 1/16

соответствует 1/8

Нетрудно понять, почему длительности музыкальных нот заимствовали свои

названия у дробей

Мы видим, что длительности получаются так же как дроби: они

возникают при делении целой на равные доли. Поэтому длительность можно

подсчитывать как дробные числа, например:

Равенство здесь понимать в том смысле, что длительность слева равна

суммарной длительности справа. С помощью чисел то же равенство можно

записать в виде 1/4 = 1/8 + 2/16.

Все

пропорции

подразделяются

на

два

типа:

случайные

и

закономерные. «Закономерные» отношения подразделяются на две большие

хорошо

известные

группы:

прямо

пропорциональные

и

обратно

пропорциональные.

Прямо пропорциональны:

1.

В пределах одного и того же музыкального произведения длительность

нот и продолжительность их звучания (при условии, если темп

сохраняется неизменным от начала до конца произведения). Если

четвертная нота звучит одну секунду, то звучание половинной ноты

длится две секунды.

2.

Длина окружности и ее радиус.

Обратно пропорциональны:

1.

Продолжительность

звучания

одного

такта

и

число

тактов,

исполняемых за одну минуту.

2.

Радиус автомобильного колеса и число оборотов, совершаемых им на

расстоянии 1 км.

Итак, если все длительности в музыкальном произведении увеличатся вдвое,

оно станет медленнее. А если уменьшатся вдвое, то быстрее станет темп

произведения.

Множество примеров замедления и убыстрения темпа мы находим в

инструментальной, вокальной, хоровой и симфонической музыке. Различить

их на слух, не заглядывая в ноты исполняемого произведения, бывает

нелегко.

Говоря о «пропорции» и «пропорциональности» нельзя забывать, что

значения этих слов не только не совпадают, но даже существенно

отличаются. Находиться в пропорции могут лишь две такие величины,

которые

можно

выразить

в

общих

единицах

измерения.

О

пропорциональности можно говорить лишь в том случае, если элементы

каких-то двух множеств допускают разбиение на пары. Например: площадь и

длина стороны квадрата, вес и объем какого-нибудь вещества и др.

III. ВАРИАЦИИ

Что же такое “вариация”? Это музыкальное произведение, форма

музыкального произведения, состоящего из нескольких частей, каждая из

которых звучит с изменениями.

- Существуют 3 типа вариаций:

- Мелодические

- Ритмические

- Гармонические

Композитор, разрабатывая избранную им тему, может варьировать ее

мелодический рисунок, видоизменять ритм и гармонию, т.е. созвучия.

Разумеется, он может варьировать одновременно два или даже три элемента,

с каждой вариацией всё более уходя от начальной темы.

Существуют и такие музыкальные произведения, в которых лишь одна

часть написана в форме вариаций, например какая-нибудь часть сонаты или

симфонии. В таких случаях установить по названию всего произведения, что

оно содержит часть, написанную в форме вариаций, невозможно. Но стоит

лишь внимательно прослушать произведения, как после первой или второй

вариации

становится

ясно,

что

автор

музыки

раскрывает

тему,

соответствующую названию произведения, со все новой и новой стороны.

(Например, финал Девятой симфонии Л. Бетховена построен на вариациях на

музыкальную тему «Оды к радости»).

Слово же или число можно определить и описать многими способами.

Числа тоже можно задавать словами, иногда это даже удобнее, чем обычная

цифровая запись и наоборот. Между вариантами расположения в ряд букв и

цифр можно найти весьма интересные различия. (В математике такие

«варианты» принято называть перестановками.) Например, рассмотрим

число 246. Между возможными перестановками цифр числа 246 имеется

весьма тесная взаимосвязь: все эти числа делятся на 3. Случайно это или

закономерно?

Существует простой признак делимости на 3. Если сумма цифр числа

делится на 3, то и число делится на 3.

Сумма цифр числа 246 равна 12, т.е. делится на 3. следовательно, число

246 тоже делится на 3. изменится ли сумма цифр при перестановке?

Разумеется нет, поэтому все числа, получающиеся из числа 246 при любой

перестановке цифр, делится на 3.

Рассмотрим некоторые вариации чисел.

Возьмем

число

100.

Его

можно

представить

в

виде

50+50=38+62=14999-14899,

определить

как

наименьшее

трехзначное

натуральное число и т.д.

Эффективные вариации можно получить из числа 100 при помощи

цифр от 1 до 9, используя каждую цифру один и только один раз.

100=1+2+3+4+5+6+7+8*9=123+45-67+8-9

Еще интереснее такой вариант:

100=(1+2+3+4)

2

= 1

3

+2

3

+3

3

+4

3

IV. ПАРАЛЛЕЛИ

Не

будет

преувеличением

сказать,

что

созданная

человеком

цивилизация

полна

параллелей.

За

всеми

параллелями,

сколь

бы

многообразными ни были их проявления, кроются определенные физические

или математические закономерности.

И все же в природе чаще встречаются не параллели, а либо совершенно

беспорядочные линии, либо ломаные и кривые, обладающие какими-то

другими свойствами.

Но стоит обратиться к творениям рук человеческих, как мы почти в

каждом из них обнаружим параллельные элементы. Трамвайные рельсы

«параллельны», строки на страницах книги, полы и потолки в зданиях

горизонтальны и, следовательно, параллельны и т.д.

В нотах или сборниках песен также встречаются параллельные линии.

Прежде всего это пять прямых, образующих нотный стан. Они параллельны.

На протяжении своей долгой истории нотная запись неоднократно

изменялась. Древние греки записывали музыку при помощи букв. Древние

евреи, сирийцы и византийцы изобрели специальные знаки, изображавшие

жесты руководителя хора. В средние века музыку изображали графическими

знаками – невмами, передававшими общее направление интонации, но не

позволявшими выразить длительность звучания или его изменение по высоте

вверх или вниз. Невмы предназначались в первую очередь для тех, кто уже

был знаком с записанной мелодией и кому требовалось лишь напомнить ее.

Чтобы точно запечатлеть мелодию в ее динамике, необходимо

изобразить ее графически, наглядно, на каком-нибудь чертеже или рисунке,

при взгляде на который каждый (по крайней мере, специально обученный)

человек мог бы ясно и однозначно воспроизвести записанную мелодию.

Более высокие по своему звучанию ноты должны располагаться на графике

выше, более низкие – ниже. Но музыканта интересует не просто то, что одна

нота выше или ниже другой: ему требуется знать, насколько одна выше или

ниже другой. Измерять высоту нот позволяют горизонтальные параллельные

линейки. К 14 веку в европейской музыке распространилась запись нот на

пяти линейках.

Параллельные линии можно наблюдать не только в нотах, но и во внешней

форме некоторых музыкальных инструментов (арфы, органные трубы).

Слово «параллельный» происходит от греческого «параллелос» - идти рядом.

От него уже происходит вам знакомое слово «параллелепипед».

Вернемся к музыке.

Параллели можно обнаружить не только в нотной записи, но и в самом

звучании музыки. Параллелизм в звучании достигается, например, в том

случае, когда мужской и женский голоса вместе исполняют одну и ту же

мелодию. Более высокий, тонкий, яркий женский голос как бы прокладывает

«путь», а более низкий, густой мужской голос вторит ему на восемь ступеней

звукоряда ниже, образуя параллель со сдвигом на октаву.

Параллель со сдвигом на октаву может возникать не только случайно,

но и умышленно. В некоторых случаях композиторы специально вводят

такие параллели в свои произведения, усиливая звучание, достигая большей

его плотности и делая его более выразительным. В «Сцене под Кромами» из

оперы «Борис Годунов» М. Мусоргского грозно звучит тема народного

восстания, исполняемая хором для четырех голосов.

Параллели со сдвигом на октаву встречаются не только в вокальной

литературе.

Так

могут

звучать,

например,

человеческий

голос

и

аккомпанирующий ему музыкальный инструмент, партии левой и правой

руки в пьесе для фортепиано (в этом случае движения рук также будут

параллельны) или скрипка и виолончель.

Параллелизм в музыке означает, что две мелодии звучат одновременно,

причем интервал между звуками в любой момент времени остается одним и

тем же. Это может быть параллель со сдвигом не только на октаву, но и на

квинту, кварту, терцию и т.п.

Если один певец запевает песню, а второй подхватывает (в точности

воспроизведя партию первого) с запозданием на один или несколько тактов и

в том же темпе поет всю песню до конца (а можно и на большее количество

голосов), то сдвиг мелодий порождает канон. Пение канонов первоначально

было задумано именно как музыкальная забава, хотя слово «канон» имеет

весьма серьезное значение: закон.

Есть ли что-нибудь общее между словом «закон» и пением канонов?

Если мелодия сдвигается во времени на один или несколько тактов, то

это

временное

перемещение

можно

уподобить

пространственному

перемещению – параллельному переносу. Сдвиг мелодии на несколько

тактов

на

нотном

листе

изображается

именно

таким

параллельным

переносом.

Каноны бывают не только мелодическими, но и ритмическими. Более

того, по образу и подобию канонов можно декламировать стихи и прозу.

V. ПРОТИВОПОЛОЖНОСТИ

Всем известны математические противоположности. Например,



Отрицательное число – положительное число



Плюс – минус



Сложение – вычитание



Четное число – нечетное число



Больше – меньше



Параллельно – перпендикулярно



Прямая – кривая

В музыке весьма важную роль играет пара противоположностей

медленно – быстро. Характер музыки во многом определяется ее темпом.

Музыкальное произведение, будь то детская песенка или симфония, нельзя

исполнять в произвольном темпе. Неправильно выбранный темп до

неузнаваемости исказит характер музыки. Изменения темпа, даже если речь

идет о «малом жанре» - песне, не случайны. Создавая классические

симфонии, великие композиторы прошлого часто предпосылали первой

части медленное вступление.

Еще одна противоположность в музыке – высокое и низкое.

Высота звука зависит от частоты колебаний: при большей частоте

колебаний звук выше, при меньшей – ниже. Изучением звуковых колебаний

тел занимается специальный раздел физики – акустика. О высоком звуке

можно сказать, что он тонкий, пронзительный, светлый, о низком – что он

«толстый», басовитый, густой, темный.

В

музыке

встречается

множество

других

противоположностей,

например громкий – тихий, солирующий инструмент – группа инструментов,

двухтактный

–

с

переменным

размером

и

др.

Противоположности

встречаются на каждом шагу в окружающем нас мире или в мире музыки.

Самая

глубокая,

извечная

противоположность

–

это

противоположность жизни и смерти. В «Мессе си-минор» И. С. Баха тема

смерти и тема жизни (воскрешения) сменяют друг друга. В них все

контрастно: темп, ритм, интонация, состав оркестра и хора, диапазон

звучания. После тихо и в то же время сильно звучащей мелодии, выраженной

в мрачных низких тонах, раздается ликующая, светлая и радостная тема.

Сомнения, неуверенность и подавленность перед лицом неизвестности

и торжество обретения истины – противоположные темы, звучащие между

концом третьей и началом четвертой части в Пятой симфонии Бетховена.

Борьба света и тьмы, слепой ненависти и мудрой снисходительности –

основная пружина действия оперы Моцарта «Волшебная флейта». В финале

оперы свет торжествует над тьмой.

Заключение.

Вопрос о связи музыки и математики волнует человечество с

древнейших времен по настоящее время. Где есть музыка, обязательно

появляется математика, а там где есть математика, обязательно образуется

музыка. Два разных предмета имеют какую-то неразрывную магическую

связь. Одна вызывает возбуждение и производит гипнотическое действие на

организм, тогда как вторая требует определенных мыслительных усилий и,

несомненно, куда менее приятнее первой.

Конечно, понять весь глубинный смысл связи музыки и математики

достаточно сложно и, пожалуй, невозможно маленькому ребенку. Но

почувствовать это интуитивно (как это почувствовали наши далекие предки),

возможно, но при условии, что дети будут слушать по-настоящему

художественную музыку (а не современный электронный суррогат), будут

исследовать, самостоятельно осваивать мир звуков и различные виды

музыкальной деятельности. Тогда они почувствуют и увидят, что звуки

бывают короткими и длинными, их бывает много и мало и т.д.

Музыкальное развитие особенно положительно влияет на общее

развитие детей. На уроках музыки активизируется познавательная и

умственная деятельность. Ведь музыкальная деятельность предполагает

умственные операции: сравнение, анализ, сопоставление, запоминание, и

таким образом способствует не только музыкальному, но и общему развитию

ребенка.

Музыка как средство умственного воспитания воздействует на ход

образовательного процесса в различных аспектах. Она делает любое занятие

необычным и более интересным. Как образец художественного творчества

музыка насыщенна образами, являющимися основой наглядно-образного

мышления. Музыка во взаимодействии с математикой делает процесс

познания весьма эффективным за счет целенаправленного осуществления

взаимосвязи интеллектуальных и эмоциональных компонентов человеческой

психики.

Список использованной литературы

1.

Программа по музыке для средней общеобразовательной школы под

ред. Д. Б. Кабалевского.

2.

Фёдорова Л. Б. Методическая разработка урока математики с

элементами музыкальной теории.

3.

В.

Лёвшин.

Фрегат

капитана

Единицы.

Издательство

«Детская

литература». Москва. 1968г.

4.

Варга Б., Димень Ю., Лопариц Э. Язык, музыка, математика: Пер. с

венгр. / Перевод Данилова Ю. А. – М.: Мир, 1981. – 248 с. с ил.